A1 Álgebra Linear

Esta prova vale 10,0 pontos; * Em cada questão você encontrará a pontuação determinada; * Esta prova é individual, não sendo permitido qualquer tipo de comunicação e(ou) troca de material entre os presentes; * Não é permitido o uso de telefones, tablets, computadores ou qualquer dispositivo eletrônico, exceto calculadoras científicas; * Não é permitido consultas a material bibliográfico, cadernos ou anotações de qualquer espécie. Esta prova tem duração de duas horas. Utilize apenas o espaço reservado para escrever as soluções das questões. 1) (1,5 pt) Dada uma matriz quadrada qualquer A, pode-se obter uma matriz simétrica a partir dela utilizando o seguinte método: S_A = A . A^T. Considere as matrizes C = [3 1] e D = [4 -2], obtenha a matriz simétrica S_CD a partir do produto CD. 2)(1,5 pt) Calcule o determinante da matriz [ -2 1 -3 ] [ 2 4 -3 ] [ -1 3 -2 ] utilizando o método da triangularização. Seja A a matriz A = [-1 2 3] [4 (5) 6] [5 4 3]. Sabendo que cof(A) = [ -9 18 a 6 b 14 c 18 -13 ] determine: a)(1,0 pt) os valores de a, b e c; a = -9 b = -18 c = -3 b)(1,0 pt) o determinante de A pelo método dos cofatores. 4) Dado o sistema linear x - 3y = -10 10x - 5y = 0. a)(1,0 ponto) Determine a inversa da matriz dos coeficientes através do método da adjunta. b)(1,0 ponto) Encontre a solução do sistema utilizando o método da inversa. II - Cada quilograma do adubo Y custa R$ 6,00 e contém 10 g de nitrato e 100 g de fosfato. III - Cada quilograma do adubo Z custa R$ 5,00 e contém 50 g de nitrato e 20 g de fosfato. O dono do terreno está disposto a gastar R$ 31,00 para comprar uma mistura dos adubos X, Y e Z e conseguir o efeito necessário em seu terreno. a) (1,0 pt) Escreva um sistema linear que modele tal situação: 10X + 10Y + 50Z = 140 10X + 100Y + 20Z = 130 5X + 6Y + 5Z = 31 b) (1,0 pt) Encontre a solução desse sistema utilizando o método de Gauss-Jordan (Escalonamento). [ 10 10 50 | 140 ] [ 10 100 20 | 130 ] [ 5 6 5 | 31 ] L1 -> L1 5 1 5 14 L2 - L1 = L2 0 90 -30 80 L1 - 2L3 = L1 [ 1 1 5 | 1 ] [ 0 90 -30 | 80 ] [ 0 3 0 | 2 ] L3 . 1/3L3 [ 1 1 5 | 14 ] [ 0 90 -30 | 80 ] [ 0 2 0 | 1 ] L3 . 1/3L3 ... c) (1,0 pt) Qual é o valor do determinante da matriz [ 3 4 0 0 ] [ 0 5 -1 0 ] [ 2 3 0 0 ] [ 2 0 2 -2 ] a) 78 b) -102 c) 102 d) -78 x 10