A1 Álgebra Linear

• Esta prova vale 10,0 pontos; • Em cada questão você encontrará a pontuação determinada; • Esta prova é individual, não sendo permitido qualquer tipo de comunicação e(ou) troca de material entre os presentes. • Não é permitido o uso de telefones, tablets, computadores ou qualquer dispositivo eletrônico, exceto calculadoras científicas. • Não é permitido consultas a material bibliográfico, cadernos ou anotações de qualquer espécie. • Esta prova tem duração de duas horas. Utilize apenas o espaço reservado para escrever as soluções das questões. 1) (1,5 pt) Dada uma matriz quadrada qualquer A, pode-se obter uma matriz simétrica a partir dela utilizando o seguinte método: S^A = A.A^T. Considere as matrizes C = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} e D = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix}, obtenha a matriz simétrica S_CD a partir do produto CD. 2) (1,5 pt) Calcule o determinante da matriz \begin{bmatrix} -2 & 1 & -3 \\ 2 & 4 & -3 \\ -1 & 3 & -2 \end{bmatrix} utilizando o método da triangularização. Universidade VEIGA DE ALMEIDA Flavia T. Martins Coordenadora Coord. dos Cursos Ext. de Produção e Eng. Civil Cabo Frio 20/09/2015 \begin{bmatrix} -2 & 1 & -3 \\ 2 & 4 & -3 \\ -1 & 3 & -2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 4 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 10 & 9 \\ 0 & 5 & 7 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -5 \end{bmatrix} \text{det} = -05 1,5 3) Seja A a matriz A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 3 \end{bmatrix}. Sabendo que co(A) = \begin{bmatrix} -9 & 18 & a \\ 6 & b & 14 \\ c & 18 & -13 \end{bmatrix}, determine: a) (1,0 pt) os valores de a, b e c; c_{12} = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} -25 \begin{vmatrix} -15 & 3 \\ -15 & 3 \end{vmatrix} = -9 b = -18 c = -3 Universidade VEIGA DE ALMEIDA Flavia T. Martins b) (1,0 pt) o determinante de A pelo método dos cofatores. \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 3 \end{vmatrix} \text{det} = a11 . C11 + a12 . C12 + a13 . C13 \text{det} = (-1) . 1 . (0) + 6 - 1 . (0) - 18 + 3 . (-9) = 18 1,0 det = 18 4) Dado o sistema linear \begin{cases} x - 3y = -10 \\ \text{10x} - \text{5y} = 0 \end{cases}. a)(1,0 ponto) Determine a inversa da matriz dos coeficientes através do método da adjunta. A^{-1} = \frac{1}{25}\begin{bmatrix} -5 & 3/25 \\ -10 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow A^{-1} = \begin{bmatrix} -1/5 & 3/25 \\ -2/5 & 1/25 \end{bmatrix} 1,0 b) (1,0 ponto) Encontre a solução do sistema utilizando o método da inversa. \text{X} = \text{A}^{-1} \text{B} = \begin{bmatrix} 1/5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \text{x} = 2 \text{y} = 4 1,0 5) Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10 m^2 140 g de nitrato e 170 g de fosfato. Dispõe-se de três qualidades de adubo com as seguintes características: I - Cada quilograma do adubo X custa R$ 5,00 e contém 10 g de nitrato e 10 g de fosfato; Universidade VEIGA DE ALMEIDA II – Cada quilograma do adubo Y custa R$ 6,00 e contém 10 g de nitrato e 100 g de fosfato. III – Cada quilograma do adubo Z custa R$ 5,00 e contém 50 g de nitrato e 20 g de fosfato. O dono do terreno está disposto a gastar R$ 31,00 para comprar uma mistura dos adubos X, Y e Z e conseguir o efeito necessário em seu terreno. a) (1,0 pt) Escreva um sistema linear que modele tal situação; 10x + 10y + 50z = 140 10x + 100y + 20z = 130 5x + 6y + 5z = 31 b) (1,0 pt) Encontre a solução desse sistema utilizando o método de Gauss-Jordan (Escalonamento). 10 50 140 1 5 14 0 5 14 10 100 130 0 90 80 -50 0 90/18 80/13 5 6 31 0 6 81 1 -20 -39 L₂ -L₂ L₂ 0 5 14 1 5 14 0 9/13 0 -29 0 0 -29 0 -29 V3 0 0 -29 0 -29 V3 L₅-L₃ -5/14 0 0 0 L₅-L₂ 5/9 41/19 L₅-L₄ 5/9 41/3 L₃-14=27/19 21/19 L₂-L₃ -37/41 9/13 L₂-9/3 L₃ L₄-7/3 41/3 5/9 9/3 9/3 L-Lo L-L L, ↓ S2 9 6) (1,0 pt) Qual é o valor do determinante da matriz c 7 -4 0 0 2 5 1 0 0 3 0 2 -4) 0 0 0 -2 c1 C1 λ 0 0 3 L2 -6 -1 63 1 0 λ =; 78 b) -102 c) 102 d) -78 x x 102 1 2 3 3 -(-364) -102 61 0 0 0 0 -4 3 C4 30 0 0 8 0 20 12 O=34 F AN Alion líaurel VERGIA BRALENEI FUR ITAR Profes REDACA Prof. De Eng. Entr. Você Test: 20/09/2015