Matéria de Algebra Linear - Prof Levilaam - Uva

17 / 08 / 15\nMatriz\nEjemplo:\nA = 2 3 1\n 1 5 2\nA = A^t =\n0 3 4\n\n2) Matriz Lineal:\nEs una matriz con 1 línea y n columnas. Representa un vector.\nEjemplo: u = (3, 2, 1) <-> u = [3 2 1]\n\n3) Matriz Columna:\nEs la matriz traspuesta de la matriz lineal, es decir, se para en líneas y columnas.\nEjemplo:\n2\n3\n\n4) Matriz Cuadrada:\nEs cuando m = n.\nEjemplo:\nA_{33}\n A_{11}\n A_{mn}\n\n5) Matriz Triangular Superior:\nEs una matriz cuyos elementos están por encima de la diagonal principal.\nEjemplo:\nA = [0 2 3]\n [0 0 4]\n\n6) Matriz Triangular Inferior:\nEs la matriz cuyos elementos están por debajo de la diagonal principal. 17 / 08 / 15\nEjemplo:\nA: 3\n\nf) Matriz Diagonal:\nLos elementos que no pertenecen a la diagonal principal son nulos.\nEjemplo:\nA: 3 0 0\n 0 0 0\n 0 0 0\n\n7) Matriz Identidad:\nEs una matriz diagonal con elemento 1.\nEjemplo:\nI = 1 0 0\n 0 1 0\n 0 0 1\n\n8) Matriz Cero:\nMatriz con elemento nulo.\nEjemplo:\nA: 0 0 0\n 0 0 0\n 0 0 0\n\nd) Matriz Unitaria:\nUna matriz con un único elemento: un escalar.\nEjemplo:\nA: 3 17 / 07 / 15\n[5 2 1]\n [3 4 5]\nA: 678\n(6) para ser pensado como un valor 5.\n\n3) Matriz Transpuesta:\nEs una matriz A transpuesta, se denota A^t.\nEjemplo:\nA = 3 1\n 5 2\nA^t = 3 5\n 4 2\n\n\[5 2 1\]\nA = 3 1 5\nA^t = 5 2 1\n\n4x3 = A^t = \n3 1 5\n\n1 6 1\n\n5) Suma de dos matrices:\nEs la matriz que representa la suma de elementos.\nEjemplo:\nA = 2 5 9\n 1 6 11\nA_{3,3} = 9\n\n6) Matriz Simétrica:\nEs la matriz que representa el elemento de las lineas iguales en las dos columnas. Ejemplos:\nA = 1 2 3 9\nA^t = 1 2 5\nA = A^t = 3 6 7. 17/08/15\nSoma de duas Matrizes:\nA = [3 1] \nB = [3 1] \n \n para A=[aij] m*n e B=[bij] m*n\n C = A+B onde C = [cij] m*n.\n então Cij=aij + bij\nC = [5 4]\nD = [3 4]\nDiferença de duas Matrizes:\nPara A=[aij] m*n e B=[bij] m*n\nD = [dij] onde D = A-B onde \ndij=aij-bij\n D=[3-3 1-2]\nD=[0 -1]\n D=[-1 2]\n D=[1-8 7-4]\n D=[-7 3]\nProduto de Matrizes:\nC = A*B\n C = [c11 c12 c13]\nA:\n3 1 2\nB:\n2 3\n4 3\nC = c11 c12 c13\n [12 9 13 8]\nC = [6 7 10 8]\n5 10 13 11\n10 15 20 16\n 24/08/15\nProduto Escalar:\nSeja \nU = [1 3 2]\nV = [1 1 2]\n\n\\langle \\mathbf{u},\\mathbf{v}\\rangle = \\mathbf{u} . \\mathbf{v} = \n\n\\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\end{bmatrix}\n1\n\\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\end{bmatrix}\n2\n= 8 \n\nMódulo de um vetor\n|\\mathbf{u}| = \\sqrt{u1^2 + u2^2 + u3^2}\n|\\mathbf{v}| = \\sqrt{v1^2 + v2^2 + v3^2}\n|\\mathbf{u}| = \\sqrt{(1)^2+(3)^2+(2)^2}\n\nVerres de um vetor\n\\mathbf{v} = \\frac{\\mathbf{u}}{|\\mathbf{u}|}\n 31/08/15\nCálculo C:\nA+B = C\n A:\n3 1 2\n B:\n4 3 1\n C:\n5 5 4\nC= 4 6 5\n5 5 4\nSistemas de Equações Lineares:\nAx + By + Cz = 0 -> Equação Linear\nExemplo: 3x + 5y + 7z = 0\n\\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 & D \\ \\end{bmatrix}\n\\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} h_1 \\ , h_2 \\ , h_3 \\ \\end{bmatrix}\n\\text{Matriz de Sistema:}\n\\begin{bmatrix}\nA_{11} & A_{12} & A_{13} & h_1 \\\\\nA_{21} & A_{22} & A_{23} & h_2 \\\\\nA_{31} & A_{32} & A_{33} & h_3\n\\end{bmatrix} • Escalonamento\n\nPara escalonar precisamos na 1º linha da matriz o 1º coluna ser nula. O próximo elemento da coluna deve ser zero 1 e seu elemento básico deve se tornar nulo. Para isso usamos os propriedades da matriz. Depois duas pessoas para o próximo linha, repetimos e passamos:\n\nAtenção – elemento a toma 1, claro, do todo são nulos e não devem elementos para a sem pivo a sua coluna se torna uma coluna pai.\n\nExercícios:\nEnclanoa a matriz abaixo:\n\nA 3 1 ; 1 1 4 2\n2 4 1 2\n2 1 3 ; 2\n\n3.1\n\n0 5 2 1 2 1\n0 2 -2 0 0 5\n2 0 -3 1 2 -2\n\n0 2 3 ;\n1 0 0 2 3 1\n2 0 1 2 ;\n0 0 0 2 ;\n\nSimplificar ainda mais:\n\n1 5 1 2 3 1 ;\n1 0 1 -5 3 0 ;\n0 0 1 0 ;\n0 0 0 1 ; • Determinante\n\nSe A = determinante da matriz |A|\n\nA : A 2 1\nA 2 1\n\nA 3 4\n\ndeta = (1.3.7)-(1.3.2)-(3.2)-(3.0)-(2.1)\ndet : (3 + 4 + 12) - (18 + 24)\n\ndet = 19 - 24 = -5\n\nDesenvolvimento de Laplace\n\né um método melhor para trabalhar e determinar a matriz.\nA : [ a1 a2 a3 ]\nA : |a1 a2 a3|\n\n-(-1) a2 a3 a2\n\nEncerramos aqui como já dimos a recebo um maior valor. • Exercício de cálculo\nUtilizar a regra de 3 com mais fácil com mais\n\nA =\n3 9 0\nB =\n0 2 3\n0 0 0\n\ndeta = 2 ( 15 ) 1 = 3 (-15) ; 5= 2 = -5 ( 5 -0 ) -5 ( 0 - 0 )- + k( 0 ) -0.0 ;\n\ndetB = -2 ( -1 ) - 3 ( 0 ) - 5(0) - -10.\n\ndeta = 2 - 3 ; -10;\n\n3 1 0;\n0 0 0 ;\n0 0 0 ; 1) Resolver o Sistema de equações lineares por escalonamento:\n3x + 2y - z = 8 \n2y - 3y + 4z = 0 \n4m = 5y - 2z + 3\n\n- - - - - - - - - - -\n\n2) Use o transformação de Laplace e calcule o determinante:\n0 1 2 3\n2 1 0 0\n3 3 2 0\nA: 3 2 2 1\n0 1 2 3\n\nad1: 2(0-1)-(3)(-3) -(3)(3) = -1\n\nad2: 2(0-1)-(3)(3) -(2)(-3) = 5\n\nad3: 1(a)-2(b)-3(c)+vd = -1-1-3 = -5\n\nResposta: sim perdemos:\nalte: 2(0-1)(2+3)\n\n(-1)\n\n(-1)\n\n(d+\n\n- - -\n\nad4:\n\n(a)(2)(-1-2)-(3)(-6)\n\ns = 1+4+3-1-2\n(-1)\n\n-2(18)=9=3 19/10/15\n\nTeorema de uma Matriz\n\nSeja A = [ a 1 ] [A.A^-1 = I] C inversa para:\n [ 3 1 ]\n\n1 2 [a b] = 0 ==> Multiplicação de => a + 2c = 1 3a + c = 0\n3 1 [ c d ] = 0 b + 2d = 0 3b + d = 1\n\nSendo: b a = 1 \n (3a + 1)(5=0:1-2 = d = -1/5 \nb=2/5)\n\nMatrix Inversa : A^-1 =\n [ 5 2 ]\n [ 5 3 ]\n\nExperimento:\n\nEncontre a Matriz A:\nA = \n[ 3 2 3 4 ]\n[ 2 3 1 2 ] \n[ 1 2 3 4 ] 19/10/15\n\nSistema em Matriz:\nS1: A = [ 1 3 4 ] S2: B = [ 1 3 4 ] S3: C = [ 1 3 4 ]\n\nMatriz S1: 2 3 1 3 4 \n3 2 1(p – 0) 1 2 (xd)\n\nS2: S1 = 2e1 x 3 S3: C = [ 2 3 4 ]\n\n1 3 4 (xd)\nS2: [ 0 3 -0 ] 3\n\n- - - - - (4) 2(1-1)\n ...\n1 1 2 0 S3 deductively:\n S2: +1. (1 1) + 2(3) - 1 + (5-1) 19/10/15\nX I I I I B\n3 8 = [ 1 2 4 07 ]\n[3 3 4 0]\n3 1 1 1 16 29-31-0 5-8-10 1\n0 3 0 2 [ 0 ]\n1 1 1 1 1 23 0 9\n1 2 3 4 7 0 7 3 3 9\n1 2 3 4\na 1 2 3 4\na 3 8 10 1 1 2 5 9\n0 5 9\n[1 2 3 0]\n1 1 1 4 4-1 1 0-1 1 2 1\n1 4 0\n1 7 3 3 8 0 0 0\n0 -3 0 5 0 \n1 1 2 1 0 9 21 0 5\n0 0 0 0 0 1 2 1 9\n0 0 1\nz\n0 19/10/15\nS e palo forzar uma con matrizera quadrada.\nMatrizas com Determinant = 0 não possui inversas.\nComo podemos observar a Matriz inversa dividindo a matriz contendo pelo Determinante de matriz original. 09/11/15\nX I I I I B\nLinares Algebras By Szymon Lippschutz\npg. 76\n(29). Escreva a matriz E = (3,1) como uma combinação linear dos vetores A=(1,1), B=(9) e C=(0,-2).\nE = (x(1,1) + y(0,2) + z(0,0)) = E(3,1) - (x)(0,0) + 0 + z\n(3,1)\n(x)(X,1) x=3\nx(1,1) y=1-2 - 1\n-\nx Z\n-\ny/2 - z\n-\nz/1 pag 99\nDeterminăm se sunt liniari dependenți sau independenți:\n(a) 1. \u2192 (3,1), 1. \u2192 (1,-3)\n(vi) 1. \u2192 0.5+4t+(6t^2)-3\nv= 3t^2+(t-4t^2)+5t^3\n\nVII. 0.5+4t^4-t^5+(3t^2+6t^4+t^4)\n(2a+0.5+4t^2-4t^5)+(\u2192 a^3-1v'(1+2))+0t+0\n\n5t+a(b)<0\n(in)\n({-1,0},{0,0} \n\n(0,3)\n0\n\n(2,-1) \n0 16 / 11 / 15\nEntre Vitório Cuto Valera\nAuto valores \nA = I; N = auto vetor \nMétodo:\nEx: A : ( 2 ) \u2192 ( x ) \n { 3 }\n 4\nY 1+2x : x \n 1x + 2y: x \n 3x + 2y: y \n { 3y + 2y + 1}\n(1^0)(y)\n(2-3)\n\ny + 2y = 0\n3x + 3y = 0\n(1x + 2y = -1x)\n1x + 2y = -1y\n3x + 3y = 0\n\ny = 3x\ny - x\n\ny = 2x Ejercicios:\n1) Siga A, (4,4) manera no auto valores de 1 o correspondencia para\n(3,y)\n\n(1)(x)(0,y) \n(1)(2)(3)(0)(\n0)\n\n\na=16,20 \nA=36? \n\ny -y= 0\ny- y = 0\nz = x \n\ny - x \n\ny= (y-y)\n\ny-y= 0