Prova Álgebra Linear

Prova I - Álgebra Linear 1. Considere as matrizes abaixo. (2,0 pontos) A = { {2, -3}, {5, 8} } B = { {1, -4, 6}, {2, 7, -5} } C = { {1, 9}, {2, 7}, {3, -8} } D = { {-1, 3, -2}, {5, 9, 1}, {2, 7, -3} } (a) Calcular a matriz inversa de E = (B * C) (b) Calcular a matriz transposta de F = (D * C) 2. Resolva o sistema de equações abaixo utilizando o método da matriz inversa. (3,0 pontos) 3x + 2y - z = 9 -4x + 3y + 2z = 11 2x - y + 3z = 6 3. Resolva o sistema de equações abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan. (2,0 pontos) -2x + 6y = -8 3x + 5y = 10 4. Resolva o sistema de equações abaixo utilizando a regra de Cramer. (3,0 pontos) 5x + 4y = 2 -2x + 5y + z = 3 7x - 3y + 2z = 4 Universidade Veiga de Almeida Curso: Engenharia Disciplina: Álgebra Linear Nome: Ana Beatriz de Moura Rodrigues Data: 24/05/14 Nº de Ordem: Grau/Conceito: Prova: Turma: Matrícula: 1 a) E = (B_{3x2} * C_{2x2}) + E_{3x2} 1 9 2 7 * C = 3 -8 B = 1 -4 6 2 7 -5 det(E) = 76 coef(E) = 10 3 0 = adj(E) = 10 7 67 67 9 3 9 b) F = (D_{3x3} * C_{3x2}) + F_{3x2} -1 9 2 7 * 2 = 3 -8 D = -1 3 -2 5 9 1 = F 2 7 -3 F^T = 1 16 3 28 100 91 2. 3x + 2y - z = 9 -4x + 3y + 2z = 11 2x - y + 3z = 6 A * x = B => x = A^{-1} * B 3 2 -1 -4 3 2 * x 2 -1 3 y = B z => Calcular A^{-1} det(A) = (27) + (8) + (-4) - (-6) - (-6) - (-24) = 67 coef(A) = 11 16 -2 = adj(A) = 11 -5 7 5 11 7 16 11 -2 7 -2 17 -2 7 17 x = A^{-1} * B 11 -5 7 16 11 -2 -1 -2 7 17 86 y = 253 A^{-1} * 67 x = 86 67 y = 253 67 z = 161 67 -2x + 6y = -8 3x + 5y = 10 -2 6 | -8 3 5 | 10 - Passo 1: L1/(-2) -> L1 1 -3 | 4 3 5 | 10 -> Passo 2: (-3)L1 + L2 -> L2 1 -3 | 4 0 14 | -2 -> Passo 3: L2/14 -> L2 1 -3 | 4 0 1 | -1/7 -> Passo 4: 3L2 + L1 -> L1 1 0 | 25/7 0 1 | -1/7 x = 25/7 y = -1/7 5x + 4y - 6z = 7 -2x + 5y + z = 3 7x - 3y + 2z = 4 | 7 | 3 | 4 A = 5 4 -6 -2 5 1 7 -3 2 => det(A) = (50) + (28) + (-36) - (-210) - (-15) - (-16) = 283 Ax = 7 4 -6 3 5 1 4 -3 2 => det(Ax) = (70) + (16) + (54) - (-120) - (21) - (24) = 257 Ay = 5 7 -6 -2 3 1 7 4 2 => det(Ay) = (30) + (49) + (48) - (-126) - (20) - (-28) = 261 Az = 5 4 7 -2 5 3 7 -3 4 => det(Az) = (100) + (84) + (42) - (245) - (45) - (-32) = 58 x = det(Ax)/det(A) = 257/283 y = det(Ay)/det(A) = 261/283 z = det(Az)/det(A) = 58/283