Lista de exercícios de Álgebra Linear: Determinação de matriz mudança de base, linearidade de aplicações e base de KerT

Segunda Lista Álgebra Linear Problema 1 Sejam V R3 β 1 2 1 1 3 4 2 5 6 e γ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 duas bases ordenadas de V Determine a matriz mudança da base γ para a base β Problema 2 Determine quais das seguintes aplicações T são lineares a T R2 R2 definida por Tx y x 1 y 2 b U R3 R3 definida por Ux y z x y 2z 2x y x 2z Problema 3 Mostre que a transformação linear T R3 R3 definida por Tx y z x y x z x y z é injetora Problema 4 Considere a aplicação T R3 P3R definida por Te1 x3 2x Te2 x2 2x Te3 x3 x2 a Determine uma base para KerT b Calcule dimTR3 Problema 1 β 1 2 1 1 3 4 2 5 6 γ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 2 2 3 5 1 4 6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 h2 l2 2l1 h3 l3 l1 1 1 2 0 1 1 0 3 4 2 1 0 1 0 1 L3 l3 3l2 1 1 2 0 1 1 0 0 1 2 1 0 5 3 1 l1 l1 l2 l2 l2 l3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 3 1 0 2 1 0 5 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 1 7 4 1 5 3 1 Logo Pγβ 2 2 1 7 4 3 5 3 1 Problema 2 a Txy x1 y2 Limo T0 0 T00 12 T Não é Linear b Uxyz xy2z 2xy x2z condição Txy Tx Ty Ux x 2x x Uy y y 0 Uz 2z 0 2z Logo Uxyz Ux Uy Uz ok condição 2 Tαx α Tx Uαx αy αz αx αy 2αz 2αx αy αx 2αz αx y 2z 2x y x 2z α Uxyz Logo U é Linear Problema 3 Txyz xy xz x y z Txyz 0 x y 0 I x z 0 II x y z 0 III I II 2x z 0 x z 0 x 0 Logo x y z 0 Imição NT KerT 0 Logo T é Injetora Problema 4 T100 x3 2x T010 x2 2x T001 x3 x2 Tabc ax3 2x bx2 2x cx3 x2 Logo Tabc x3ac x2bc x2a 2b Tabc 0 x3ac x2bc x2c 2b 0 ac 0 bc 0 2c 2b 0 Lb a c a a a a a1 1 1 Logo KerT 111 a β 112 é base do Kent b dimR³ nulidade Póslo Nulidade dim Nt 1 Logo dim TR³ 3