Slide - Integrais de Linha - 2023-2

16 Cálculo Vetorial 16.2 Integrais de Linha Integrais de Linha no Plano 5 Integrais de Linha no Plano (1 de 13) Começamos com uma curva plana C dada pelas equações paramétricas ( ) ( ) = = ≤ ≤ x x t y y t a t b 1 ou, o que é equivalente, pela equação vetorial r(t ) = x(t ) i + y(t ) j, e supomos que C seja uma curva suave. [Isso significa que r′ é contínua e r′(t ) ≠ 0. 6 Integrais de Linha no Plano (2 de 13) Se dividirmos o intervalo do parâmetro [a, b] em n subintervalos [ti − 1, ti] de igual tamanho e se fizermos xi = x(ti) e yi = y(ti), então os pontos correspondentes Pi(xi, yi) dividem C em n subarcos de comprimentos Δs1, Δs2, . . . , Δsn. (Veja a Figura 1.) Figura 1 7 Integrais de Linha no Plano (3 de 13) Escolhemos um ponto qualquer ( , ) i i i P x y ∗ ∗ ∗ no i-ésimo subarco.(Isso corresponde it∗ a um ponto em [ti −1, ti].) Agora, se f for uma função de duas variáveis cujo domínio inclui a curva C, calculamos f no ponto ( , ), i i x ∗ y ∗ multiplicamos pelo comprimento Δsi do subarco e somamos ( ) 1 , n i i i i f x y s ∗ ∗ = ∆ ∑ que é semelhante à soma de Riemann. 8 Integrais de Linha no Plano (4 de 13) Em seguida, tomamos o limite dessa soma e fazemos a seguinte definição, por analogia com a integral unidimensional: 2 Definição Se f é definida sobre uma curva suave C dada pelas Equações 1, então a integral de linha de f sobre C é ( ) ( ) 1 , lim , n i i i c n i f x y ds x y s ∗ ∗ = →∞ = ∆ ∑ ∫ se esse limite existir. Verificamos que o comprimento da curva C é 2 2 b a dx dy L dt dt dt     = +         ∫ 9 Integrais de Linha no Plano (5 de 13) Argumentação semelhante pode ser usada para mostrar que, se f é uma função contínua, então o limite na Definição 2 sempre existe e a fórmula seguinte pode ser empregada para calcular a integral de linha: ( ) ( ) ( ) ( )     = +         ∫ ∫ 2 2 , , b c a dx dy f x y ds f x t y t dt dt dt 3 O valor da integral de linha não depende da parametrização da curva, desde que a curva seja percorrida uma única vez quando t cresce de a para b. 10 Integrais de Linha no Plano (6 de 13) Se s(t ) é o comprimento de C entre r(a) e r(t ), então     ′ = = +         2 2 ( ) ds dx dy r t dt dt dt Um modo de memorizar a Fórmula 3 é escrever tudo em termos do parâmetro t: use a parametrização para exprimir x e y em termos de t e escreva ds como 2 2 dx dy ds dt dt dt     = +         11 Integrais de Linha no Plano (7 de 13) Observação No caso particular em que C é o segmento de reta que liga (a, 0) a (b, 0), se usarmos x como parâmetro, poderemos escrever as equações paramétricas de C da seguinte forma: x = x, y = 0, a ≤ x ≤ b. Nesse caso, a Fórmula 3 se torna Formula 3 then becomes ( ) ( ) , ,0 b C a f x y ds f x dx = ∫ ∫ e, nesse caso, a integral de linha se reduz a uma integral unidimensional. 12 Integrais de Linha no Plano (8 de 13) Assim como para as integrais unidimensionais, podemos interpretar a integral de linha de uma função positiva como uma área. De fato, se ( ) ( ) , 0, , C f x y ≥ ∫ f x y ds representa a área da “cerca” ou “cortina” da Figura 2, cuja base é C e cuja altura acima do ponto (x, y) é f (x, y). Figura 2 13 Exemplo 1 Calcule ( 2 ) 2 , C + x y ds ∫ onde C é a metade superior do círculo unitário 2 2 1. x + y = Solução: Para utilizar a Fórmula 3, primeiro precisamos de equações paramétricas para representar C. Recorde-se de que o círculo unitário pode ser parametrizado por meio das equações 𝑥𝑥 = cos 𝑡𝑡 𝑦𝑦 = sen 𝑡𝑡 e a metade superior do círculo é descrita pelo intervalo do parâmetro 0 ≤ t ≤ π. (Veja a Figura 3.) Figura 3 Exemplo 1 – Solução Portanto, a Fórmula 3 dá \( \int_{C} (2 + x^2y) ds = \int_{0}^{\pi} (2 + \cos^2 t \sen t) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \int_{0}^{\pi} (2 + \cos^2 t \sen t) \sqrt{\sen^2 t + \cos^2 t} dt = \int_{0}^{\pi} (2 + \cos^2 t \sen t) dt = \left[ 2t - \frac{\cos^3 t}{3} \right]_0^{\pi} = 2\pi + \frac{2}{3} \ 15 Integrais de Linha no Plano (9 de 13) Suponha agora que C seja uma curva suave por partes; ou seja, C é a união de um número finito de curvas suaves C1, C2, …., Cn, onde, como ilustrado na Figura 4, o ponto inicial de Ci + 1 é o ponto final de Ci. Figura 4 Curva suave por partes 16 Integrais de Linha no Plano (10 de 13) Nesse caso, definimos a integral de f ao longo de C como a soma das integrais de f ao longo de cada parte suave de C: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , , n C C C C f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ L 17 Integrais de Linha no Plano (11 de 13) Qualquer interpretação física de uma integral de reta ( ) , ∫Cf x y ds depende da Interpretação física da função f. Suponhamos que ρ(x, y) represente a densidade linear de um ponto de (x, y) de um fio fino com a forma de uma curva C. Então, a massa da parte do fio a partir de Pi − 1 até Pi na Figura 1 é de cerca de ( , ) i i i x y s ρ ∗ ∗ ∆ e assim a massa total do fio é de cerca de ( ) , . i i i x y s ρ ∗ ∗ ∆ ∑ Figura 1 18 Integrais de Linha no Plano (12 de 13) Tomando cada vez mais pontos sobre a curva, obtemos o valor da massa m do fio como o valor-limite dessas aproximações: ( ) ( ) 1 lim , , n i i i n C i m x y s x y ds ρ ρ ∗ ∗ →∞ = = ∆ = ∑ ∫ [Por exemplo, se ( ) 2 , 2 f x y x y = + semicircular, então a integral no Exemplo 1 representa a massa do fio.] representa a densidade de um fio 19 Integrais de Linha no Plano (13 de 13) O centro de massa do fio com a função densidade ρ encontra-se no ponto ( ) , x y , onde ( ) ( ) ρ ρ = = ∫ ∫ 1 1 , , C C x x x y ds y y x y ds m m 4 20 Integrais de Linha com Relação a x ou a y 21 Integrais de Linha com Relação a x ou a y (1 de 6) Duas outras integrais de linha são obtidas trocando-se Δsi por Δxi = xi − xi −1 ou Δyi = yi − yi − 1 na Definição 2. Elas são chamadas, respectivamente, integrais de linha de f ao longo de C com relação a x e y: ( ) ( ) ( ) ( ) ∗ ∗ →∞ = ∗ ∗ →∞ = = ∆ = ∆ ∑ ∫ ∑ ∫ 1 1 , lim , , lim , n i i i C n i n i i i C n i f x y dx f x y x f x y dx f x y x 5 6 22 Integrais de Linha com Relação a x ou a y (2 de 6) Quando queremos distinguir a integral de linha original ( ) , ∫Cf x y ds das Equações 5 e 6, esta é chamada de integral de linha com relação ao comprimento de arco. As fórmulas seguintes dizem que as integrais de linha com relação a x e y podem ser calculadas escrevendo-se tudo em termos de t: x = x(t ), y = y(t ), dx = x′(t ) dt, dy = y′(t ) dt. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ∫ ∫ ∫ ∫ , , , , b C a b C a f x y dx f x t y t x t dt f x y dy f x t y t y t dt 7 ′ ′ 23 Integrais de Linha com Relação a x ou a y (3 de 6) Veremos ao longo deste capítulo que as integrais de linha com relação a x e a y frequentemente aparecem agrupadas. Quando isso acontece, é costume abreviar, escrevendo ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , C C C P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy + = + ∫ ∫ ∫ Quando estamos nos preparando para resolver uma integral de linha, às vezes o mais difícil é pensar na representação paramétrica da curva cuja descrição geométrica foi dada. 24 Integrais de Linha com Relação a x ou a y (4 de 6) Em especial, frequentemente precisamos parametrizar um segmento de reta e, portanto, é útil lembrar que a representação vetorial do segmento de reta que inicia em r0 e termina em r1 é dada por ( ) ( ) = − + ≤ ≤ 0 1 1 0 1 t t t t r 8 r r 25 Exemplo 4 Calcule 2 C y dx + xdy ∫ para dois diferentes caminhos de C. (a) C = C1 é o segmento de reta de (-5, -3) a (0, 2). (b) C = C2 é o arco da parábola 2 4 x y = − de (−5, −3) a (0, 2). (Veja a Figura 7.) Figura 7 26 Exemplo 4 – Solução (a) A representação parametrizada para o segmento de reta é x = 5t − 5 y = 5t − 3 0 ≤ t ≤ 1 (Utilize a Equação 8 com r0 = −5, −3 e r1 = 0,2 . ) Assim, dx = 5 dt, dy = 5 dt, e a Fórmula 7 fornecem ( ) ( ) + = − + − = − +   = − + = −     ∫ ∫ ∫ 1 1 2 0 1 2 0 1 3 2 0 5 3 2(5 ) (5 3)(5 ) 5 25 25 4 25 25 5 5 4 3 2 6 C y dx xdy t dt t dt t t dt t t t 27 Exemplo 4 – Solução (1 de 1) (b) Como a parábola é dada em função de y, usamos y como parâmetro e escrevemos C2 como 2 4 3 2 x y y y y = − = − ≤ ≤ Então dx = −2y dy e, pela Fórmula 7, temos ( ) − − − + = − + − = − − +   = − − + =     ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 4 3 3 ( 2 ) (4 ) 2 4 5 4 40 2 3 6 C y dx xdy y y dy y dy y y dy y y y 28 Integrais de Linha com Relação a x ou a y (5 de 6) Em geral, dada a parametrização x = x(t ), y = y(t ), a ≤ t ≤ b, esta determina- se uma orientação da curva C, com a orientação positiva correspondendo aos valores crescentes do parâmetro t (veja a Figura 8, onde o ponto inicial A corresponde ao valor do parâmetro a e o ponto terminal B corresponde a t = b). Figura 8 29 Integrais de Linha com Relação a x ou a y (6 de 6) Se -C denota a curva constituída pelos mesmos pontos que C, mas com orientação contrária (do ponto inicial B para o ponto terminal A na Figura 8), então temos ( ) ( ) ( ) ( ) − − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ , , , , C C C C f x y dx f x y dx f x y dy f x y dy Mas, se integrarmos em relação ao comprimento de arco, o valor da integral de linha não se altera ao revertermos a orientação da curva: ( ) ( ) , , C C f x y ds f x y ds − = ∫ ∫ Isso ocorre porque Δsi é sempre positivo, enquanto Dxi e Dyi mudam de sinal quando invertemos a orientação de C. Integrais de Linha no Espaço 31 Integrais de Linha no Espaço (1 de 3) Suponhamos agora que C seja uma curva espacial suave dada pelas equações paramétricas ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t a t b = = = ≤ ≤ ou por uma equação vetorial r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. Se f é uma função de três variáveis que é contínua em alguma região contendo C, então definimos a integral de linha de f ao longo de C (com relação ao comprimento de arco) de modo semelhante ao feito nas curvas planas: ( ) ( ) 1 , , lim , , n i i i i C n i f x y z ds f x y z s ∗ ∗ ∗ →∞ = = ∆ ∑ ∫ 32 Integrais de Linha no Espaço (2 de 3) Calculamos essa integral utilizando uma fórmula análoga à Equação 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       = + +             ∫ ∫ 2 2 2 , , , , b C a dx dy dz f x y z ds f x t y t z t dt dt dt dt 9 Observe que as integrais das Equações 3 e 9 podem ser escritas de modo mais compacto pela notação vetorial ( ( ) ) ( ) b a f t ′ t dt ∫ r r Para o caso especial em que f (x, y, z) = 1, temos ( ) b C a ds t dt L ′ = = ∫ ∫ r onde L é o comprimento da curva C. 33 Integrais de Linha no Espaço (3 de 3) Também podemos definir integrais de linha ao longo de C em relação a x, y e z. Por exemplo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∗ ∗ ∗ →∞ = = ∆ ′ = ∑ ∫ ∫ 1 , , lim , , , , n i i i i C n i b a f x y z dz f x y z z f x t y t z t z t dt Portanto, como para as integrais de linha no plano, podemos calcular integrais da forma ( ) ( ) ( ) + + ∫ , , , , , , CP x y z dx Q x y z dy R x y z dz 10 escrevendo tudo (x, y, z, dx, dy, dz) em termos do parâmetro t. Exemplo 5 Calcule \( \int_{C} y \sen z ds \), onde \( C \) é a hélice circular dada pelas equações \( x = \cos t, y = \sen t, z = t, 0 \leq t \leq 2\pi \). (Veja a Figura 9.) Exemplo 5 – Solução A Fórmula 9 nos dá \int_C y \sen\ z\ ds = \int_0^{2\pi} (\sen\ t) \sen\ t \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2} dt = \int_0^{2\pi} \sen^2\ t \sqrt{\sen^2\ t + \cos^2\ t + 1}\ dt = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} (1 - \cos\ 2t)\ dt = \frac{\sqrt{2}}{2} \left[ t - \frac{1}{2} \sen\ 2t \right]_0^{2\pi} = \sqrt{2\pi} 36 Integrais de Linha de Campos Vetoriais; Trabalho 37 Integrais de Linha de Campos Vetoriais; Trabalho (1 de 9) Sabemos que o trabalho feito por uma força variável f (x) que move uma partícula de a até b ao longo do eixo x é dado por ( ) . b a W f x dx = ∫ Depois, vimos que o trabalho feito por uma força constante F para mover um objeto de um ponto P para outro ponto Q do espaço é W = F · D, onde D = PQ uuur é o vetor deslocamento. Suponha agora que F = P i + Q j + R k seja um campo de força contínuo em ℝ3. (Um campo de força em ℝ2 pode ser visto como um caso especial onde R = 0 e P e Q dependem só de x e y. Queremos calcular o trabalho exercido por essa força ao mover uma partícula ao longo de uma curva suave C. Veja a Figura 11. 38 Integrais de Linha de Campos Vetoriais; Trabalho (2 de 9) Para determinar o trabalho realizado por F ao mover uma partícula ao longo de C, dividimos C em subarcos Pi − 1 Pi com comprimentos Δsi por meio da divisão de intervalos de parâmetros [a, b] em subintervalos de igual largura. (Veja a Figura 1 para o caso bidimensional, ou a Figura 12, para o caso tridimensional.) Figura 1 Figura 12 39 Integrais de Linha de Campos Vetoriais; Trabalho (3 de 9) Escolha um ponto ( , , ) i i i i P x y z ∗ ∗ ∗ ∗ no i-ésimo subarco correspondente ao valor do . it∗ Se Δsi é pequeno, o movimento da partícula de Pi−1 para Pi na curva ocorre aproximadamente na direção de T t𝑖𝑖 ∗ , vetor tangente unitário a𝑃𝑃𝑖𝑖 ∗. parâmetro 40 Integrais de Linha de Campos Vetoriais; Trabalho (4 de 9) Então, o trabalho feito pela força F para mover a partícula de Pi−1 para Pi é aproximadamente ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , i i i i i i i i i i x y z s t x y z t s ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗     ⋅ ∆ = ⋅ ∆     F T F T e o trabalho total executado para mover a partícula ao longo de C é aproximadamente ( ) ( ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =   ⋅ ∆   ∑ 1 , , , , n i i i i i i i i x y z x y z s F T 11 onde T(x, y, z) é o vetor tangente unitário no ponto (x, y, z) em C. 41 Integrais de Linha de Campos Vetoriais; Trabalho (5 de 9) Intuitivamente, vemos que essas aproximações devem se tornar melhor quando n torna-se maior. Portanto, definimos o trabalho W feito por um campo de força F como o limite da soma de Riemann dada por (11), ou seja, ( ) ( ) = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ , , , , C C W x y z x y z ds F Tds 1 F T 2 A Equação 12 nos diz que o trabalho é a integral com relação ao comprimento de arco da componente tangencial da força. 42 Integrais de Linha de Campos Vetoriais; Trabalho (6 de 9) Se a curva C é dada pela equação vetorial r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, então, ( ) ( ) ( ) t , t t ′ = ′ r T r e, pela Equação 9, podemos reescrever a Equação 12 como ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) b b a a t W t t dt t t dt t   ′ ′ ′ = ⋅ = ⋅   ′     ∫ ∫ r F r r F r r r Essa última integral é frequentemente abreviada como c ∫ F ⋅d r e ocorre também em outras áreas da física. 43 Integrais de Linha de Campos Vetoriais; Trabalho (7 de 9) Portanto, definimos a integral de linha de qualquer campo vetorial contínuo como a seguir: 13 Definição Seja F um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva suave C dada pela função vetorial r(t ), a ≤ t ≤ b. Então, a integral de linha de F ao longo de C é ( ( ) ) ( ) ds b C a C d t ′ t dt ⋅ = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ ∫ F r F r r F T Ao utilizar a Definição 13, tenha em mente que F(r(t )) é apenas uma abreviação de F(x(t ), y(t ), z(t )), então podemos avaliar F(r(t )) simplesmente colocando x = x(t ), y = y(t ) e z = z(t ) na expressão para F(x, y, z). Observe também que podemos formalmente escrever que dr = r′(t ) dt. 44 Exemplo 7 Determine o trabalho feito pelo campo de força ( ) 2 , x y x xy = − F i j ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo ( ) cos sin , 0 2 . t t t t π = + ≤ ≤ r i j Solução: Uma vez que x = cos t e y = sen t, temos F r 𝑡𝑡 = cos2 𝑡𝑡 i − cos 𝑡𝑡 sen 𝑡𝑡𝑡 e r′ 𝑡𝑡 = − sen 𝑡𝑡𝑡 + cos 𝑡𝑡𝑡 45 Exemplo 7 – Solução Portanto, o trabalho realizado é 46 Integrais de Linha de Campos Vetoriais; Trabalho (8 de 9) Finalmente, observamos a relação entre as integrais de linha de campos vetoriais e as integrais de linha de campos escalares. Suponha que o campo vetorial F em seja dado na forma de componente, a equação F = P i + Q j + R k. ℝ3 Usamos a Definição 13 para calcular a sua integral de linha ao longo de C ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , b C a b a b a d t t dt P Q R x t y t z t dt P x t y t z t x t Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t ′ ⋅ = ⋅ ′ ′ ′ = + + ⋅ + +   ′ ′ +   ′   +  ∫ ∫ ∫ ∫ F r F r r i j k i j k 47 Integrais de Linha de Campos Vetoriais; Trabalho (9 de 9) Mas essa última integral é exatamente a integral de linha de (10). Portanto, temos where C C d P dx Qdy R dz P Q R ⋅ = + + = + + ∫ ∫ F r F i j k Por exemplo, a integral C y dx zdy x dz + + ∫ poderia ser expressa como C ∫ F ⋅ d r onde F(x, y, z) = y i + z j + x k