Superfícies Parametrizadas e suas Áreas

16 Cálculo Vetorial 166 Superfícies Parametrizadas e suas Áreas 3 Superfícies Parametrizadas e suas Áreas Aqui usaremos funções vetoriais para descrever superfícies mais gerais chamadas superfícies parametrizadas e calcularemos suas áreas A seguir tomaremos a fórmula para a área de superfícies gerais e veremos como se aplica a superfícies especiais Superfícies Parametrizadas 5 Superfícies Parametrizadas 1 de 7 De modo muito semelhante à nossa descrição de curvas espaciais por uma função vetorial rt de um único parâmetro t podemos descrever uma superfície por uma função vetorial ru v de dois parâmetros u e v Suponhamos que u v x u v y u v z u v i j 1 r k seja uma função a valores vetoriais definida sobre uma região D do plano uv 6 Superfícies Parametrizadas 2 de 7 Então x y e z os componentes de funções de r serão funções das duas variáveis u e v com domínio D O conjunto de todos os pontos x y z em ℝ3 tal que x x u v y y u v z z u v 2 e u v varia ao longo de D é chamado de superfície parametrizada S e as Equações 2 são denominadas equações parametrizadas de S 7 Superfícies Parametrizadas 3 de 7 Cada escolha de u e v resulta um ponto em S fazendo todas as escolhas temos todos os pontos de S Em outras palavras a superfície é traçada pela ponta do vetor posição ru v enquanto u v se move ao longo da região D Veja a Figura 1 Figura 1 Uma superfície parametrizada 8 Exemplo 1 Identifique e esboce a superfície com equação vetorial r 𝑢 𝑣 2 cos 𝑢 i 𝑣 j 2 sen 𝑢 k Solução As equações paramétricas para essa superfície são 𝑥 2 cos 𝑢 𝑦 𝑣 𝑧 2 sen𝑢 9 Exemplo 1 Solução 1 de 2 Então para qualquer ponto x y z da superfície temos 𝑥2 𝑧2 4 cos2 𝑢 4 sen2 𝑢 4 Isso significa que todas as seções transversais paralelas ao plano xz isto é com y constante são circunferências de raio 2 10 Exemplo 1 Solução 2 de 2 Uma vez que y v e não existe restrição ao valor de v a superfície é um cilindro circular de raio 2 cujo eixo é o eixo y veja a Figura 2 Figura 2 11 Superfícies Parametrizadas 4 de 7 Se uma superfície parametrizada S é dada por uma função vetorial ru v então existem duas famílias de curvas úteis contidas em S uma família com u constante e outra com v constante Essas famílias correspondem a retas verticais e horizontais no plano uv 12 Superfícies Parametrizadas 5 de 7 Se mantivermos u constante impondo u u0 então ru0 v se torna uma função vetorial com um único parâmetro v que define uma curva C1 sobre S Da mesma forma se mantivermos v constante tomando v v0 obteremos a curva C2 dada por ru v0 que está sobre S Figura 4 13 Superfícies Parametrizadas 6 de 7 Chamamos essas curvas curva da grade No Exemplo 1 exemplificando as curvas da grade obtidas tornando u constante são linhas horizontais enquanto as curvas da grade obtidas com v constante são circunferências Na verdade quando um computador elabora em gráfico uma superfície parametrizada que normalmente apresenta a superfície traçando as curvas da grade como podemos ver no exemplo a seguir 14 Exemplo 2 Use um computador para traçar o gráfico da superfície r 𝑢 𝑣 2 sen 𝑣 cos 𝑢 2 sen 𝑣 sen 𝑢 𝑢 cos 𝑣 Quais são as curvas da grade com u constante Quais têm v constante 15 Exemplo 2 Solução 1 de 3 Traçamos o pedaço da superfície com os parâmetros delimitados por 0 u 4π 0 v 2π na Figura 5 Figura 5 16 Exemplo 2 Solução 2 de 3 Esse gráfico tem a aparência de um tubo espiral Para identificarmos as curvas da grade escrevemos as equações paramétricas correspondentes 𝑥 2 sen 𝑣 cos 𝑢 𝑦 2 sen 𝑣 sen 𝑢 𝑧 𝑢 cos 𝑣 Se v é constante então sen v e cos v são constantes portanto as equações paramétricas se assemelham às da hélice Assim as curvas de grade com v constante são as curvas em espiral na Figura 5 17 Exemplo 2 Solução 3 de 3 Deduzimos que as curvas de grade com u constante devem ser curvas que parecem círculos na figura Maior evidência dessa afirmação é que se mantivermos u constante u u0 então as equações z u0 cos v mostram que os valores de z variam de u0 1 até u0 1 18 Exemplo 4 Determine uma representação parametrizada da esfera 2 2 2 2 x y z a Solução A esfera tem uma representação simples ρ a em coordenadas esféricas então vamos escolher os ângulos parâmetros e θ das coordenadas esféricas como 19 Exemplo 4 Solução 1 de 2 Tomando ρ a nas equações para conversão de coordenadas esféricas para coordenadas retangulares obtemos 𝑥 𝑎 sen 𝜙 cos 𝜃 𝑦 𝑎 sen 𝜙 sen 𝜃 𝑧 𝑎 cos 𝜙 como equações parametrizadas da esfera A equação vetorial correspondente é r 𝜙 𝜃 𝑎 sen 𝜙 cos 𝜃i 𝑎 sen 𝜙 sen 𝜃j 𝑎 cos 𝜙 k Temos 0 𝜙 𝜋 e 0 𝜃 2𝜋 de modo que o domínio dos parâmetros é o retângulo D 0 π 0 2π 20 Exemplo 4 Solução 2 de 2 As curvas da grade com constante são as circunferências de latitude constante incluindo o equador As curvas da grade com 𝜃 constante são os meridianos semicircunferências que ligam os polos Norte e Sul veja a Figura 7 Figura 7 Gráficos de função 1 de 3 EXEMPLO 6 Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elíptico z x² 2y² SOLUÇÃO Se olharmos para x e y como parâmetros as equações paramétricas ficam simplesmente x x y y z x² 2y² e a equação vetorial é rx y x i y j x² 2y²k Gráficos de função 2 de 3 Em geral uma superfície dada como o gráfico de uma função de x e y ou seja com equação da forma z fx y pode sempre ser olhada como uma superfície parametrizada tomando x e y como parâmetros e escrevendo as equações paramétricas como x x y y z fx y Representações parametrizadas também chamadas parametrizações de superfícies não são únicas O próximo exemplo mostra dois modos de parametrizar um cone Gráficos de função 3 de 3 EXEMPLO 7 Determine uma representação parametrizada para a superfície z 2x² y² ou seja a metade superior do cone z² 4x² 4y² SOLUÇÃO 1 Uma possível representação é obtida escolhendose x e y como parâmetros x x y y z 2x² y² Assim a equação vetorial é rx y x i y j 2x² y² k SOLUÇÃO 2 Outra representação resulta da escolha das coordenadas polares r e θ Um ponto x y z sobre o cone satisfaz x r cos θ y r sen θ e z 2x² y² 2r Assim uma equação vetorial para o cone é rr θ r cos θ i r sen θ j 2r k onde r 0 e 0 θ 2π Superfícies de Revolução 25 Superfícies de Revolução 1 de 2 As superfícies de revolução podem ser representadas na forma parametrizada Por exemplo vamos considerar a superfície S obtida pela rotação da curva y f x a x b sobre o eixo x onde f x 0 Seja θ o ângulo de rotação como mostrado na Figura 12 Figura 12 26 Superfícies de Revolução 2 de 2 Se x y z é um ponto em S então Portanto tomamos x e θ como parâmetros e olhamos as Equações 3 como equações paramétricas de S O domínio do parâmetro é dado por a x b 0 θ 2π 3 X x y fxcosθ z fxsen θ 27 Exemplo 8 Encontre equações paramétricas para a superfície gerada pela rotação da curva y sen x 0 x 2π sobre o eixo x Use essas equações para o gráfico da superfície de revolução Solução Das Equações 3 as equações paramétricas são 𝑥 𝑥 𝑦 sen 𝑥 cos 𝜃 𝑧 sen 𝑥 sen 𝜃 e o domínio do parâmetro é 0 x 2π 0 θ 2π 28 Exemplo 8 Solução Usando um computador para traçar essas equações e girar a imagem obtemos o gráfico da Figura 13 Figura 13 Planos Tangentes 30 Planos Tangentes 1 de 3 Agora vamos determinar o plano tangente a uma superfície parametrizada S determinada por uma função vetorial u v x u v y u v z u v r i j k em um ponto P0 com vetor posição ru0 v0 31 Planos Tangentes 2 de 3 Se mantivermos u constante usando u u0 então ru0 v tornase uma função vetorial do parâmetro único v e define uma curva de grade C1 em S Veja a Figura 14 O vetor tangente a C1 em P0 é obtido tomandose a derivada parcial de r em relação a v 0 0 0 0 0 0 v x y z u v u v u v v v v j 4 r i k Figura 14 32 Planos Tangentes 3 de 3 Da mesma forma se mantivermos v constante tomando v v0 obteremos a curva da grade C2 dada por ru v0 que está sobre S e cujo vetor tangente em P0 é 0 0 0 0 0 0 u x y z u v u v u v u u u j 5 r i k Se ru rv não é 0 então a superfície S é dita suave sem bicos Para uma superfície suave o plano tangente é o que contém os vetores tangentes ru e rv e ru rv é o vetor normal ao plano tangente 33 Exemplo 9 Determine o plano tangente à superfície com equações paramétricas 2 2 2 x u y v z u v no ponto 1 1 3 Solução Primeiro vamos calcular os vetores tangentes 2 u x y z u u u u r i j k i k 2 2 v x y z v v v v r i j k j k 34 Exemplo 9 Solução 1 de 2 Assim o vetor normal ao plano tangente é 2 0 1 0 2 2 2 4 4 u v u v v u uv i j k r r i j k Observe que o ponto 1 1 3 corresponde aos valores dos parâmetros u 1 e v 1 de forma que o vetor normal ali é 2 i 4 j 4 k 35 Exemplo 9 Solução 2 de 2 Portanto uma equação do plano tangente em 1 1 3 é 2x 1 4y 1 4z 3 0 ou x 2y 2z 3 0 Área da Superfície 37 Área da Superfície 1 de 8 Definiremos agora a área de uma superfície parametrizada S geral dada pela Equação 1 Para simplificar vamos considerar inicialmente uma superfície cujo domínio dos parâmetros D é um retângulo que dividiremos em subretângulos Rij u v x u v y u v z u v i j 1 r k 38 Área da Superfície 2 de 8 Vamos escolher i j u v como o canto inferior esquerdo do retângulo Rij Veja Figura 16 A imagem do subretângulo Rij é o retralho Sij a Figura 16 39 Área da Superfície 3 de 8 A parte Sij da superfície S que corresponde a Rij é chamada retalho e tem um ponto Pij com vetor posição i j u v r como um de seus cantos Sejam r𝑢 r𝑢 𝑢𝑖 𝑣𝑗 e r𝑣 r𝑣 𝑢𝑖 𝑣𝑗 os vetores tangentes em Pij calculados pelas Equações 5 e 4 40 Área da Superfície 4 de 8 A Figura 17a mostra como os dois lados do retalho que se encontram em Pij podem ser aproximados por vetores Esses vetores por sua vez podem ser aproximados pelos vetores ser aproximadas pelos quocientes de diferenças Δ𝑢r𝑢 e Δ𝑣r𝑣 porque as derivadas parciais podem Figura 17a Aproximando um retalho por um paralelogramo 41 Área da Superfície 5 de 8 Assim aproximamos Sij pelo paralelogramo determinado pelos vetores Δ𝑢r𝑢 e Δ𝑣 r𝑣 Esse paralelogramo está representado na Figura 17b e está contido no plano tangente a S em Pij Figura 17b Aproximando um retalho por um paralelogramo 42 Área da Superfície 6 de 8 A área desse paralelogramo é u v u v u v u v r r r r e então uma aproximação da área de S é 1 1 m n u v i j u v r r 43 Área da Superfície 7 de 8 A intuição nos diz que essa aproximação fica melhor à medida que aumentamos o número de subretângulos e reconhecemos a soma dupla como a soma de Riemann para a integral dupla u v D du dv r r 44 Área da Superfície 8 de 8 Isso justifica a seguinte definição 6 Definição Se uma superfície parametrizada suave S é dada pela equação u v x u v y u v z u v u v D r i j k e S é coberta uma única vez quando u v abrange todo o domínio D dos parâmetros então a área da superfície de S é u v D A S dA r r onde r𝑢 𝑥 𝑢 i 𝑦 𝑢 j 𝑧 𝑢 k r𝑣 𝑥 𝑣 i 𝑦 𝑣 j 𝑧 𝑣 k 45 Exemplo 10 Determine a área da esfera de raio a Solução No Exemplo 4 encontramos a representação parametrizada 𝑥 𝑎 sen 𝜙 cos 𝜃 𝑦 𝑎 sen 𝜙 sen 𝜃 𝑧 𝑎 cos 𝜙 onde o domínio dos parâmetros é 0 0 2 D 46 Exemplo 10 Solução 1 de 3 Vamos calcular primeiro o produto cruzado dos vetores tangentes r𝜙 r𝜃 i j k 𝑥 𝜙 𝑦 𝜙 𝑧 𝜙 𝑥 𝜃 𝑦 𝜃 𝑧 𝜃 i j k 𝑎 cos 𝜙 cos 𝜃 𝑎 cos 𝜙 sen 𝜃 𝑎 sen 𝜙 𝑎 sen 𝜙 sen 𝜃 𝑎 sen 𝜙 cos 𝜃 0 𝑎2 sen2 𝜙 cos 𝜃i 𝑎2 sen2 𝜙 sen𝜃j 𝑎2sen 𝜙 cos𝜙k 47 Exemplo 10 Solução 2 de 3 Logo Uma vez que sen 𝜙 0 for 0 𝜙 𝜋 48 Exemplo 10 Solução 3 de 3 Portanto pela Definição 6 a área da esfera é 𝐴 ඵ 𝐷 r𝜙 r𝜃 𝑑𝐴 න 0 2𝜋 න 0 𝜋 𝑎2 sen 𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝑎2 න 0 2𝜋 𝑑𝜃 න 0 𝜋 sen 𝜙𝑑𝜙 𝑎2 2𝜋 2 4𝜋𝑎2 49 Área de Superfície do Gráfico de uma Função 50 Área de Superfície do Gráfico de uma Função 1 de 2 Para o caso especial de uma superfície S com equação z f x y onde x y está em D e f tem derivadas parciais contínuas tomamos x e y como parâmetros As equações paramétricas são x x y y z f x y assim x y f f x y r i k r j k e 1 0 0 1 x y f f f x x y f y 7 i j k r r i j k 51 Área de Superfície do Gráfico de uma Função 2 de 2 Então temos 2 2 2 2 1 1 x y f f z z x y x y r r 8 e a fórmula de área da superfície do gráfico de uma função na Definição 6 fica 2 2 1 D z z A S dA x y 9 52 Exemplo 11 Determine a área da parte do paraboloide 2 2 z x y que está abaixo do plano z 9 Solução O plano intercepta o paraboloide no círculo 2 2 9 9 x y z Portanto a superfície dada fica acima do disco D com centro na origem e raio 3 veja a Figura 18 Figura 18 53 Exemplo 11 Solução 1 de 2 Usando a Fórmula 9 temos 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 4 D D D z z A dA x y x y dA x y dA 54 Exemplo 11 Solução 2 de 2 Convertendo para coordenadas polares obtemos 3 2 2 3 2 0 0 2 3 2 0 0 3 2 1 2 8 3 0 1 4 1 4 2 1 4 37 37 1 6 A r r dr d d r r dr r Consideremos a superfície S obtida pela rotação da curva y fx a x b em torno do eixo x onde fx 0 e f é contínua Da Equação 3 sabemos que as equações paramétricas de S são x x y fx cos θ z fx sen θ a x b 0 θ 2π Para calcularmos a área da superfície S precisamos dos vetores tangentes rx i fx cos θ j fx sen θ k rθ fx sen θ j fx cos θ k Logo rx ru i j k 1 fx cos θ fx sen θ 0 fx sen θ fx cos θ fxfx i fx cos θ j fx sen θ k E também