Teorema de Green: Integrais de Linha e Dupla

3 Teorema de Green 1 de 1 O Teorema de Green fornece a relação entre uma integal de linha ao redor de uma curva fechada simples e uma integral dupla sobre a região plana delimitada pela curva 5 Teorema de Green 1 de 4 Seja C uma curva fechada simples e seja D a região delimitada por C como mostrado na Figura 1 Assumimos que D é constituído por todos os pontos dentro de C bem como todos os pontos de C Figura 1 6 Teorema de Green 2 de 4 Ao enunciarmos o Teorema de Green usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C referese ao sentido antihorário de C percorrido uma só vez Assim se C é dada pela função vetorial rt a t b então a região D está sempre do lado esquerdo quando rt percorre C Veja a Figura 2 Figura 2 a Orientação positiva b Orientação negativa 7 Teorema de Green 3 de 4 Teorema de Green Seja C uma curva plana simples fechada contínua por partes orientada positivamente e seja D a região delimitada por C Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D então C D Q P P dx Qdy dA x y 9 Exemplo 1 Calcule 4 C x dx xy dy onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de 0 0 a 1 0 de 1 0 a 0 1 e de 0 1 a 0 0 Solução Apesar desta integral poder ser calculada pelos métodos usuais da Seção 162 isso envolveria o cálculo de três integrais separadas sobre os três lados do triângulo Em vez disso vamos usar o Teorema de Green Observe que a região D englobada por C é simples e que C tem orientação positiva veja a Figura 4 Figura 4 10 Exemplo 1 Solução Se tomarmos 4 P x y x e Qx y xy então teremos 4 1 1 0 0 1 1 2 0 0 1 2 0 1 3 0 0 1 2 1 1 2 1 1 6 1 6 C D x y x y Q P x dx xy dy dA x y y dy dx y dx x dx x 11 Teorema de Green 4 de 4 No Exemplo 1 consideramos que a integral dupla era mais fácil de calcular que a integral de linha Mas às vezes é mais simples calcular a integral de linha e nesses casos usaremos o Teorema de Green na ordem inversa Por exemplo se sabemos que Px y Qx y 0 sobre uma curva C então o Teorema de Green fornece 0 C D Q P dA P dx Qdy x y não importando quais os valores das funções P e Q em D 12 Determinando Áreas com o Teorema de Green 13 Determinando Áreas com o Teorema de Green 1 de 4 Outra aplicação da direção inversa do Teorema de Green está no cálculo de áreas Como a área de uma região D é 1 D dA desejamos escolher P e Q tais que 1 Q P x y Existem várias possibilidades 1 0 2 1 0 2 P x y P x y y P x y y Q x y x Q x y Q x y x 14 Determinando Áreas com o Teorema de Green 2 de 4 Assim o Teorema de Green dá as seguintes fórmulas para a área de D 15 Exemplo 3 Determine a área delimitada pela elipse 2 2 2 2 1 x y a b Solução A elipse tem equações paramétricas x a cos t e y b sen t onde 0 t 2π Usando a terceira fórmula da Equação 5 temos 𝐴 1 2 න 𝑐 𝑥𝑑𝑦 𝑦𝑑𝑥 1 2 න 0 2𝜋 𝑎 cos 𝑡 𝑏 cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 sin 𝑡 𝑎 sen 𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑏 2 න 0 2𝜋 𝑑𝑡 𝜋𝑎𝑏 16 Determinando Áreas com o Teorema de Green 3 de 4 A Fórmula 5 pode ser usada para explicar como funcionam os planímetros Um planímetro é um engenhoso instrumento mecânico inventado no século XIX para medir a área de uma região seguindo o traçado de sua fronteira 17 Determinando Áreas com o Teorema de Green 4 de 4 A Figura 5 mostra o funcionamento de um planímetro polar o polo é fixo e como o traçador é movido ao longo da curva limite da região a roda desliza parcialmente e parcialmente rola perpendicular ao braço do traçador O planímetro mede a distância a que a roda gira e é proporcional à área da região fechada Figura 5 Um planímetro polar Keuffel e Esser 18 Versões estendidas do Teorema de Green 19 Versões estendidas do Teorema de Green 1 de 6 Apesar de termos demonstrado o Teorema de Green somente para o caso particular onde D é do tipo I ou II podemos estendêlo agora para o caso em que D é a união finita de regiões destes tipos Por exemplo se D é uma região como a mostrada na Figura 6 então podemos escrever 1 2 D D D onde D1 e D2 são ambas mais simples Figura 6 20 Versões estendidas do Teorema de Green 2 de 6 A fronteira de 𝐶1 𝐶3e a fronteira de 𝐷2é 𝐶2 𝐶3 portanto aplicando o Teorema de Green separadamente obtemos 1 3 1 2 3 2 C C D C C D Q P P dx Qdy dA x y Q P P dx Qdy dA x y 21 Versões estendidas do Teorema de Green 3 de 6 Se somarmos essas duas equações as integrais de linha sobre C3 e C3 se cancelam e obtemos 1 2 C C D Q P P dx Qdy dA x y que é o Teorema de Green para 1 2 D D D uma vez que sua fronteira é 𝐶 𝐶1 𝐶2 O mesmo tipo de argumentação nos permite estabelecer o Teorema de Green para qualquer união finita de regiões simples que não se sobreponham veja a Figura 7 Figura 7 22 Exemplo 4 Calcule 2 3 C y dx xy dy onde C é o limite da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos 𝑥2 𝑦2 1 e 𝑥2 𝑦2 4 Solução Observe que apesar de D não ser simples o eixo y divide em duas regiões simples veja a Figura 8 Em coordenadas polares podemos escrever 1 2 0 D r r Figura 8 23 Exemplo 4 Solução Portanto o Teorema de Green fornece ර 𝐶 𝑦2𝑑𝑥 3𝑥𝑦𝑑𝑦 ඵ 𝐷 𝑥 3𝑥𝑦 𝑦 𝑦2 𝑑𝐴 ඵ 𝐷 𝑦𝑑𝐴 න 0 𝜋 න 1 2 𝑟 sen 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 න 0 𝜋 sen 𝜃 𝑑𝜃 න 1 2 𝑟2𝑑𝑟 cos 𝜃 0 𝜋 1 3 𝑟3 1 2 14 3 24 Versões estendidas do Teorema de Green 4 de 6 O Teorema de Green pode ser aplicado para regiões com furos ou seja regiões que não são simplesmente conexas Observe que a fronteira C da região D na Figura 9 é constituída por duas curvas fechadas simples C1 e C2 Assumimos que estas curvas de contorno são orientadas de modo que a região D está sempre do lado esquerdo enquanto a curva C é percorrida Assim o sentido antihorário é positivo para a curva exterior e C1 mas no sentido horário para o interior da curva C2 Figura 9 25 Versões estendidas do Teorema de Green 5 de 6 Se dividirmos D em duas regiões D e D pela introdução das retas mostradas na Figura 10 e então aplicarmos o Teorema de Green a cada uma das regiões D e D obteremos D D D D D Q P Q P Q P dA dA dA x y x y x y P dx Qdy P dx Qdy Figura 10 26 Versões estendidas do Teorema de Green 6 de 6 Como as integrais de linha sobre a fronteira comum são em sentidos opostos elas se cancelam e obtemos 1 2 C C C D Q P dA P dx Qdy P dx Qdy P dx Qdy x y que é o Teorema de Green para a região D