Controle e Servomecanismos - Aulas do Prof. Victor

Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 CONTROLE E SERVOMECANISMOS Engenharia da Computacao Modulo 3 Metodos Modernos de Analise e Projeto Prof Dr Victor Leonardo Yoshimura Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Faculdade de Computacao 20222 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Aula 21 Controle PID Aula 22 Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Controlabilidade Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Realimentacao Dinˆamica de Saıda Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Aula 27 Introducao ao Controle Otimo Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Aula 21 Controle PID Aula 22 Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Controlabilidade Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Realimentacao Dinˆamica de Saıda Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Aula 27 Introducao ao Controle Otimo Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Introducao A estrutura do Proporcional mais Integral mais Derivativo PID foi apresentada em 10101011 ˆcpids kp kp Tis kpTds 211 Amplamente utilizada na industria devido a natureza incerta das plantas Alem disto e comum haver apenas dados experimentais da planta Muitas regras de sintonia de PIDs foram feitas Metodo de ZieglerNichols ZN Metodo de CohenCoon Metodo de TyreusLuyben Metodo de AstromHagglund Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 1º Metodo de ZieglerNichols Supoe planta sem integradores nem polos conjugados dominantes Forma assumida para a planta ˆgs K Ts 1eLs 212 Aplique um degrau a entrada da planta e verifique sua saıda t y L T L K Sintonia proposta ˆcs T L se P 09T L 027 T L2s se PI 06T s L12 s se PID 213 Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 2º Metodo de ZieglerNichols Monte um sistema em realimentacao unitaria com compensador P Eleve kp ate um valor kcr onde o sistema apresente oscilacoes sustentadas De posse de kcr e Tcr perıodo da oscilacao sustentada a sintonia proposta e ˆcs 05kcr se P 045kcr 054 kcr Tcrs se PI 0075kcrTcr s 4T 1 cr 2 s se PID 214 Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Comentarios aos Metodos de ZN 1º As regras de ZNs sao muito usadas em plantas nao precisamente conhecidas controle robusto de sistemas incertos 2º essas regras podem ser utilizadas em plantas precisamente conhecidas 3º Se a planta apresentar integrador as regras podem nao ser aplicaveis 4º Ambos os metodos almejam overshoot inferior a 25 para entrada degrau Exemplo Projete compensadores PID para as plantas ˆgs s 2s 3 ss 1s 5 e ˆgs 1 ss 1s 5 Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Controle PID Convencional Σ 1Tis 1 Tds Σ kp Σ ˆgs Σ ˆrs ˆus ˆds ˆys ˆns O degrau introduz um termo impulsivo devido a parcela D Ao inves de Tds e comum a introducao de ˆcds Tds 1 γTds γ 01 215 Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Controle PID Trocase o impulso por um pulso abrupto set point kick A fim de evitalo usase o PID Σ 1Tis 1 Σ Tds kp Σ ˆgs Σ ˆrs ˆus ˆds ˆys ˆns Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Controle IPD Existem aplicacoes onde nao se deseja um sinal degrau na atuacao Para evitalo usase o IPD Σ 1Tis 1 Σ kp Tds Σ ˆgs Σ ˆrs ˆus ˆds ˆys ˆns Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Funcoes Transferˆencia As FTMFs para os diferentes PIDs sao ˆys ˆrs ˆcsˆgs 1 ˆcpidsˆgs 216 onde ˆcs ˆcpids se PID kp kp Tis se PID kp Tis se IPD 217 Observacao ˆys ˆds nao se altera nas estruturas apresentadas Sim provar este fato e 216217 e um exercıcio Controle com Dois Graus de Liberdade a nace AVAL g Considere o sistema de controle ds a Fs 7 7 gs LO S ie fs Gs 3 as es 1 s ds 218 1 ésGs fils Observacao Como a planta é dada ao projetar Cs para o canal referénciasaida os demais ficam fixos Controle com Dois Graus de Liberdade II a Prof Victor Para aumentar a flexibilidade do projeto fazse ds Segoe als I g r jy 7 4 1 a e d 219 y Grey 1 4 Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Consideracoes no Controle Robusto Na presenca de perturbacoes e ruıdos alem dos criterios ja estudados devese incluir a Bom desempenho no seguimento de referˆencia b Rejeicao de perturbacoes c Insensibilidade a erros de modelagem d Margem de estabilidade e e Insensibilidade ao ruıdo Observacao Estes parˆametros dependem de uma funcao a ser estabelecida a sensibilidade Controle Prof Victor Aula 21 O Compensador PID Metodo de ZieglerNichols Controle PID Modificado Introducao ao Controle Robusto Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Sensibilidade Seja ˆgs a FT de um dado sistema Suponha que ˆgs nao seja precisamente conhecida mas varie para ˆgs ˆgs Neste caso ˆys variara para ˆys ˆys Importante A sensibilidade e o quociente entre a variacao relativa da saıda para uma variacao relativa da FTMF Ou seja Ss lim ˆgs0 ˆys ˆys ˆgs ˆgs d ˆys d ˆgs ˆgs ˆys d ln ˆys d ln ˆys 2110 Sensibilidade Sistemas em Malha Fechada onvel ed col AAT ROE Considere o sistema realimentado com um grau de eee liberdade A planta Gs é incerta mas ndo o compensador s Assim temse com a definido 2110 dgg 34 1g d CG 1 Ss cud ad Tog 5 2111 dggj gee 8E dg 1ég 1 g Observacdo Note que a sensibilidade coincide com a FT da referéncia para o erro para sistemas sem perturbacao e ruido poy s Controle Sensibilidade Sistemas sob Perturbacdo e Ruido i ed col AAT ROE Neste caso lembrando que r y e aplicando 2111 a 218 temse 1 ar e 4 es9s inode 20 Convo és fs Gs ds fis 2112 Ln co T Asyats 9 9sds T asas s 2112 wr Ss Ts Importante Ts é chamada sensibilidade complementar e corresponde a FT do ruido para o erro Note queS 7 1 Logo s40 parametros conflitantes Obedecer a todos os critérios estabelecidos para o controle robusto é impossivel Ha trade off Exercicio Estude para o caso com dois graus de liberdade Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 EDOs e o Espaco de Estado Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Aula 21 Controle PID Aula 22 Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Controlabilidade Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Realimentacao Dinˆamica de Saıda Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Aula 27 Introducao ao Controle Otimo Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 EDOs e o Espaco de Estado Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Introducao A analise no espaco de estado pode ser usada para sistemas SISO Para sistemas MIMO simplifica enormemente a abordagem matematica Projetos avancados de controladores sao feitos no espaco de estado Realimentacao de estado Realimentacao estatica e dinˆamica de saıda Alguns detalhes a respeito da notacao Letras em negrito sao vetorescoluna minusculas ou matrizes maiusculas Transposicoes sao notadas por Autovalores Polos e Representacao Foi mostrado em 43 que os autovalores de A sao os polos da FT A representacdo no espaco de estado nado é Unica DECOR DERE Tome entao uma transformacao linear bijetora isomorfismo T R e um vetor x Tz Aplicando a 41 zTATzTBu 221a y CTzDu 221b Observacao 221 mostra que com um isomorfismo adequadamente escolhido podese trocar as matrizes de estado Aw TAT B46 TB C4 CT eD Deo vetor de estado x Z O que acontece com os autovalores com a aplicacdo de T Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 EDOs e o Espaco de Estado Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Autovalores Polos e Representacao II Lema Invariˆancia de Autovalores Sejam A T Rnn T invertıvel Entao os autovalores de A e os de T1AT sao iguais Demonstracao Basta notar que detλI T1AT detλT1IT T1AT detT1λI AT detT1 detλI A detT detT1T detλI A detλI A Controle Exemplo Permutades ed col AAT ROE Matrizes de permutacdo P R sao invertiveis e P P Logo prestamse a ser transformacées de eo similaridade Considere o caso Z TQ 0 1 x 7 LY 7 1 O SS p1 Desta forma as matrizes do sistema considere SISO ficam b A PAP Azx22 x21 B P B a Ar12 Axl1 bert CCP leas cor D D Caso Homogéneo u 0 renee ed col AAT ROE Considere a EDO 41a com u 0 xAx x0x ER a E razodvel pense na série de Taylor supor a solucdo da forma so xt f So fit 222 i1 com vetores f IR fixos e adequadamente escolhidos Note que com esta escolha x0 x f Caso Homogéneo u 0 Controle nace AVAL g Substituindo 222 na EDO CO CO Yo ifit AD it a i1 i0 Ou seja f Af Ax 1 1 1 fo g Afi aA to 5 AXo 1 1 1 f Af Af A 3 3 2 2 3 O 2 3 Xo 1 1 f Af Ax i a Caso Homogéneo u 0 ae ed col AAT ROE Substituindo em 222 x0 2 a 0223 ee 1 eAt Importante A série e 6 chamada matriz exponencial de At A matriz exponencial de At converge absolutamente para todo t finito eAt t é a matriz de transicdo de estado para SLITCs pois Atto t txto e xto xt 224 transita o estado do tempo t para o tempo t Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 EDOs e o Espaco de Estado Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 A Matriz Exponencial eA Lema Propriedades da Matriz Exponencial Sejam A B Rnn e a b R Valem entao as propriedades e0 I 225a eabA eaAebA 225b AB BA eAeB eBeA eAB 225c A1 eA1BA A1eBA 225d eA eA 225e d d teAt AeAt 225f Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 EDOs e o Espaco de Estado Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Caso Homogˆeneo via TL Aplicando a TL a 41a com u 0 Lx LAx sˆx xo Aˆx ˆx sI A1xo Aplicando a TIL ao resultado anterior escrevese x L1sI A1xo 226 Observacao Comparando 223 e 226 L1sI A1 eAt 227 Exe m p O Controle nage VA Leino s 0 1 Solucionemos o sistema xX x x0 Xo s l sI A s Para inverter esta matriz usamos djsIA 1 sIA1 adjsI A tl fs3 1 detsIA s543s22 5s s3 1 f Ys 2 s1s s s1s2 s1s2 Exemplo Controle ed col AAT ROE Aplicando a TIL ene eal s3 1 earner feeare oe s1s2 s1s2 eFP 2et et et e2t leet 2e72t et4 2e24 E a solucdo é imediata com o uso de 226 para qualquer condicao inicial Caso NdoHomogéneo u 0 ae ed col AAT ROE Considere a EDO 41a x Ax Bu x0 x R salar Rearranjando a EDO e prémultiplicando por e e Atix Ax e Bu Observe que o lado esquerdo da igualdade corresponde a Ai Aty dt t t eATx e 47Budr 0 0 Portanto x eAtx cA Budr 228 0 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 EDOs e o Espaco de Estado Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Caso NaoHomogˆeneo via TL Aplicando a TL a 41 Lx LAx Bu sˆx xo Aˆx Bˆu ˆx sI A1xo Bˆu Aplicando a TIL ao resultado anterior escrevese x L1sI A1xo L1sI A1Bˆu 229 Observacao 228 e obtida de 229 com a aplicacao do Teorema da Convolucao Exe m p O Controle ed col AAT ROE Solucionemos o sistema 0 1 0 x H x0 7 or us I Cet a PLOran Te Usando 228 e os resultados obtidos no exemplo anterior t x eAx eA Budr 0 2Qe e 2 ete oe be ect a Xot t tT 2tT e e os 4 be xe dr Portanto 1 1 2et ete e t e 7 x oe 422 et 4 Qe2t Fo F 2 ent ot Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Controlabilidade Realimentacao de Estado Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Aula 21 Controle PID Aula 22 Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Controlabilidade Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Realimentacao Dinˆamica de Saıda Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Aula 27 Introducao ao Controle Otimo Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Introducdo onvel ed col AAT ROE Até agora vimos esquemas de realimentacao pela oe leitura da saida Estratégia até entdo adotada detectar o erro e levalo a zero Realimentacao de estado leitura de x via sensores Objetivo da realimentacdo de estado transferir o estado de um sistema xX xf no tempo t tf Pergunta imediata Sob quais condicdes isto é possivel Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Controlabilidade Realimentacao de Estado Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Definicao de Controlabilidade Definicao Controlabilidade A EDO 41a e dita controlavel se dados um estado inicial e um final xto xf Rn existe uma entrada u tal que xt xf para algum instante de tempo to t A controlabilidade responde a questao E possıvel transferir o estado a qualquer ponto em tempo finito com um sinal de controle conveniente Se a controlabilidade for verificada para um dado sistema dizse que o par A B e controlavel Como verificar a controlabilidade de um dado par A B Matriz de Controlabilidade emmes A soluc3o de 41a 228 com a definicao acima tp 0 e rer wees xf O tf xty Xf 0 eAttx Ar Budr Controlabilidade 0 Assim tf Xo e 7Budr 0 Usando a formula de interpolaao de Sylvester n1 ty Xo S ats azTudtr k0 0 Ly Br Bo By B AB A B 231 Bn1 Matriz de Controlabilidade II onvel ed col AAT ROE Ao observar 231 notase que a transformagao linear cB AB A 1B 232 deve ser capaz de gerar qualquer vetor x R Teorema A EDO 41a é controladvel se e somente se rankC n 233 além disto a controlabilidade de um sistema nao é afetada por nenhuma transformacdao de similaridade T Exe m p O eotnitce i Prof Victor Considere o sistema massamolaamortecedor aula 04 0 1 0 Controlabilidade X Bb kXt144 mom m y i 0 x Determinemos a matriz de controlabilidade 1 0 cB AB m 1 k mm Neste caso para km 0 rankC 2 Logo este sistema é controlavel Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Controlabilidade Realimentacao de Estado Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Forma Canˆonica Controlavel Definicao Forma Canˆonica Controlavel Um SLITC da forma x 0 Im 0 0 0 0 0 Im 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Im α0Im α1Im α2Im αn2Im αn1Im x 0 0 0 0 Im u 234a y Cx Du 234b e dito estar na Forma Canˆonica Controlavel FCC Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Controlabilidade Realimentacao de Estado Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Qual a importˆancia da FCC Calculemos a matriz de controlabilidade de 234 B 0 0 0 0 Im AB 0 0 0 Im αn1Im An1B Im αn1Im α2 n1 αn2Im que possui sempre n colunas LI Lema i A FCC e controlavel ii Todo SLITC similar a FCC e controlavel sos Controle Alguns Comentarios ed col AAT ROE No item ii do lema anterior vale a reciprocal ren A controlabilidade no plano s ocorre se nao ocorrer cancelamentos na FT Pm Pode ser necessdrio determinar a controlabilidade de saida Neste caso é possivel mostrar que a matriz CyCB CAB CAB D 235 deve ser tal que rankC p para tal controlabilidade Diagrama de Blocos em Malha Fechada onmons ed col AAT ROE y nee mene oD EO Up O sinal de controle é u KMr x 236 Todas as varidveis de estado devem possuir sensor Representacdo em Malha Fechada onvel ed col AAT ROE r u aa y on m OO Uy Ko Substituindo 236 em 41 temse x A BKx BKMr 237a y C DKx DKMr 237b Principios de Projeto SISO rene ed col AAT ROE Tome um SLITCSISO Ao usar a lei 236 trocase a FT 42 por me ue C DK sI A BKBD KM Fs 238 Dada uma regiao 12 como posicionar os autovalores nessa regiao Note que apenas K interfere nesta etapa de projeto Este é 0 chamado problema de alocacao de polos Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Aula 21 Controle PID Aula 22 Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Controlabilidade Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Realimentacao Dinˆamica de Saıda Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Aula 27 Introducao ao Controle Otimo Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Forma Canénica Controlavel de SLITCSISO renee Prof Victor Dada a EDO 41 se pode escrever sua FCC com 0 1 O 0 0 0 0 0 1 Lee 0 0 0 x x 4 u Be Cet 0 0 O 1 0 0 0 0 O 0 1 0 Ho O2 On2 On1 1 An An An an an 241a y 0 By Ba Bn Bn1 x Bn u 241b Observacdo P A saida de interesse 241b nao corresponde 4 da EDO 41 Obter 241 é um exercicio Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Alocacao de Polos I Neste problema iremos impor uma dinˆamica desejada ao sistema 41 transformandoo em 237 Para tanto devemos projetar a matriz de realimentacao de estado K de forma a localizar os polos de malha fechada na regiao Ω desejada Perguntas Isto e possıvel Se for como se faz o projeto da matriz K Existe alguma restricao aos polos impostos ao sistema em malha fechada Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Alocacao de Polos II Seja um SLITCSISO com realimentacao de estado dado por 41 236 e r 0 Considere ainda uma condicao inicial x0 xo devida a uma perturbacao Sua solucao a partir de 223 tornase x eABKtxo 242 Alocacao de Polos Condicao Suficiente rene ed col AAT ROE Lema Seja AB R x R um par controlavel AB R x R 0 par canénico controlével eC eC suas respectivas matrizes de controlabilidade Entao TCC 243 ie é a transformaao de similaridade entre estes pares Demonstracao Se existe a similaridade entao A B TAT TB Note que ABTATTAT TAT TBTAB Assim SS i Vezes c B AB AB rB TAB TA BTC O Alocagao de Polos Condi4o Suficiente emmes Sejam Aji A2An C os autovalores escolhidos possivelmente Pro Victor em pares conjugados Ento podese escrever o polindmio caracteristico desejado n n1 Ps G Ai 8 So ai418 Q4012An ER i 1 i0 hn ea LeeLee To 244 Seja T a similaridade que leva A B em AB Logo temse uKxKTX ki ko kin 245 Assim referindo ao sistema em FCC temse em 41 x Ax Bu T1AT TBKT Desejase fazer lembre da invariancia de autovalores Ps detsIABK detsITATTBKT detsI A BKT ow 4 Controle Alocacao de Polos Condicao Suficiente III i nage VA Leino s Por outro lado detsI A BKT 8 1 0 oa 0 0 CRA Conese 0 s 1 wee 0 0 Cesscet 0 0 s wee 0 0 det 0 0 0 a 8 1 ay ky ag ko a3 kg wee Qn1 kn1 stankn n1 s Sin kisi i0 Donde sai a condicao ky a a t12n 246 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Alocacao de Polos Condicao Suficiente IV As condicoes 246 sempre podem ser atendidas se o sistema for controlavel Assim podese enunciar o seguinte Teorema Se o par A B Rnn Rn1 for controlavel entao K R1n tal que os autovalores de A BK podem ser alocados em qualquer posicao do plano complexo desde que os autovalores complexos ocorram em pares conjugados A condicao do teorema e tambem necessaria Alocacao de Polos Procedimento de Projeto ed col AAT ROE 1 Verifique se o sistema dado é controlavel 2 Escreva o polindmio caracteristico de A n1 db Esietin detsI A 8s S ai418 247 i0 3 Determine T com 243 se necessario use 241 também 4 Determine o polinémio caracteristico desejado com 244 5 Determine a matriz de ganho de realimentacdo de estado com 245 e 246 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Exemplo Posicione os autovalores em 2 j4 e 10 para o SLITC com matrizes A 0 1 1 1 5 0 1 5 1 B 0 1 1 1º passo Matriz de controlabilidade det C det 0 0 1 1 5 25 1 6 31 1 Sistema controlavel 2º passo Polinˆomio caracterıstico detsI A det s 1 1 1 s 5 0 1 5 s 1 s3 6s2 5s 1 Exe m p O Controle ed col AAT ROE 3 passo Transformacao de similaridade Com o polindmio caracteristico do passo anterior e observando 241a fo o 1 6 Das 100 a G0 1 6sé6 1 0 r01 1 a aaa 1 6 31 1 0 0 0 0 1 4 passo Polindmio desejado Ps s2j4s2j4s10 s14s60s200 5 passo Determinacdo de K Com 246 KT 199 55 8K199 55 47 Férmula de Ackermann a nace AVAL g Considere o SLITCSISO controlavel 41 com realimentado de estado 246 e r 0 Defina od ABK 248 i Observe as identidades DA 1 dABK wAABKBKyY Ou seja k1 AAS A BK a 249 il s Controle Férmula de Ackermann II nage VA Leino s Tome os autovalores desejados 1 A2An C gerando 244 Entao n n1 PssAjs Dl ajusdetsI 7 nn jl j0 de Ett Pelo Teorema de CayleyHamilton temse n1 0 PA A S aja j0 n n1 J Aar SCA BK So aj41 AT SO AI BK il j0 il tj PA BKo anKo 02K ABK74 anKa3K A 1BK Férmula de Ackermann III onvel ed col AAT ROE Em notaao matricial Kav aKv2 aK Kog2 AnKa3 eee a3k Era oR TER Scent ate tet PA C de Estado K Lema Formula de Ackermann Nas condiées do Teorema da Alocacdo de Polos a expressao K0 0 0 1CPA 2410 determina a matriz de ganho de estado Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Regime Permanente a Entrada Degrau Para que a saıda do sistema siga uma referˆencia degrau a FT 238 deve apresentar valor unitario para s 0 Assim D C DKA BK1BKM 1 2411 E possıvel provar o seguinte lema Lema O SLITCSISO com realimentacao de estado 237 seguira uma referˆencia degrau com erro nulo em regime permanente se a matriz de ganho de referˆencia M satisfizer 2411 Alem disto a solucao com menor norma euclidiana e dada por M 1 D C DKA BK1B K2 K 2412 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Observabilidade Realimentacao Dinˆamica de Saıda Teorema da Separacao Aula 26 Aula 27 Aula 28 Aula 21 Controle PID Aula 22 Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Controlabilidade Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Realimentacao Dinˆamica de Saıda Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Aula 27 Introducao ao Controle Otimo Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Observabilidade Realimentacao Dinˆamica de Saıda Teorema da Separacao Aula 26 Aula 27 Aula 28 Introducao Estrategia da realimentacao de estado medir todas as variaveis de estado e usar 236 E se nao se dispuser de todos os sensores requeridos Nova estrategia fazer a leitura da saıda e de alguma forma estimar o estado Realimentacao dinˆamica da saıda Usar o estado estimado no lugar do real em 236 Pergunta imediata Sob quais condicoes isto e possıvel Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Observabilidade Realimentacao Dinˆamica de Saıda Teorema da Separacao Aula 26 Aula 27 Aula 28 Definicao de Observabilidade Definicao Observabilidade O SLITC homogˆeneo 41 e dito observavel se dada a saıda do sistema em um intervalo to tf entao e possıvel determinar xto A observabilidade responde a questao E possıvel determinar o estado a partir da leitura da saıda Se a observabilidade for verificada para um dado sistema dizse que o par A C e observavel Como verificar a observabilidade de um dado par A C Matriz de Observabilidade onmons ed col AAT ROE Considere a solucdo homogénea de 41 223 y Cx Cex Aplicando novamente a formula de interpolacdo de Sylvester Obervabitdade n1 n1 yC S atAx S a tCAx k0 k0 n1 CA agtx k0 Sem perda de generalidade com x O devese resolver o sistema CAx0 k01n1 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Observabilidade Realimentacao Dinˆamica de Saıda Teorema da Separacao Aula 26 Aula 27 Aula 28 Matriz de Observabilidade II Assim a transformacao linear O C CA CAn1 251 deve ser injetora Teorema O SLITC autˆonomo 41 e observavel se e somente se rankO n 252 alem disto a observabilidade de um sistema nao e afetada por nenhuma transformacao de similaridade T Exe m p O Controle ed col AAT ROE Considere o sistema massamolaamortecedor aula 04 fo Fy fe x b x 1 U oleae ee mm m y i 0 x Determinemos a matriz de observabilidade C O ca 1 Logo este sistema é observavel Forma Canénica Observavel renee Prof Victor Definiao Forma Canénica Observavel Um SLITC da forma 0 oO O O0 O aolm Ln 0 0 wae 0 0 ayln Coes 0 In O O O agIy x 0 0 In see 0 0 az3ly x Bu 0 O O In O an2Im 0 O O O In aniIm 253a y0 00 0 0 InxDu 253b é dito estar na Forma Canénica Observavel FCO Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Observabilidade Realimentacao Dinˆamica de Saıda Teorema da Separacao Aula 26 Aula 27 Aula 28 Qual a importˆancia da FCO Teorema Dualidade O par A C e observavel se e somente se o par A C for controlavel Tendo em vista o que ja foi exposto para a FCC Lema i A FCO e observavel ii Todo SLITC similar a FCO e observavel No item ii do lema anterior vale a recıproca A observabilidade no plano s ocorre se nao ocorrer cancelamentos na FT Forma Candénica Observavel de SLITCSISO a nace AVAL g P Considere a FCC 241 da EDO 41 Pm Faca o seguinte mapeamento Sheenabitdede A B A GC 3 fA Desta forma obtémse a Forma Canénica Observavel FCO O vetor de estado nao é o mesmo Diagrama de Blocos ROR MOMEO a BP OTe Lm Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Observabilidade Realimentacao Dinˆamica de Saıda Teorema da Separacao Aula 26 Aula 27 Aula 28 Observador de Estado Nem todas as variaveis de estado possuem sensor Assim x nao esta completo e devese estimalo a partir de y Estrategia construir um clone do sistema original da forma ˆx Aˆx Bu Lˆy y 255a ˆy Cˆx Du 255b ˆx e a estimacao de x Note que em geral x0 ˆx0 C nao e invertıvel do contrario o problema seria trivial Trocase a realimentacao de estado 236 por u KMr ˆx 256 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Observabilidade Realimentacao Dinˆamica de Saıda Teorema da Separacao Aula 26 Aula 27 Aula 28 Questoes para Projeto Sob quais condicoes temse ˆx x Sob quais condicoes o sistema mostrado e estavel A insercao do observador altera a dinˆamica do sistema De que forma O projeto do observador e afetado pela escolha de K e de M Existe alguma relacao entre a dinˆamica do observador e da planta O problema a ser resolvido e chamado estimacao de estado Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Observabilidade Realimentacao Dinˆamica de Saıda Teorema da Separacao Aula 26 Aula 27 Aula 28 Erro de Observacao Devemos primeiro determinar a eficiˆencia do observador 255 Sera que ele consegue fazer ˆx x Restrinjamos nosso estudo a SLITCSISOs Definamos o erro de observacao com 41a e 255a ε x ˆx Ax Bu Aˆx Bu Lˆy y Aε Ly ˆy 41b 255b Aε LCx Du Cˆx Du A LCε 257 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Observabilidade Realimentacao Dinˆamica de Saıda Teorema da Separacao Aula 26 Aula 27 Aula 28 Dualidade e Projeto de Observadores Lema Seja ε o erro de estimacao do SLITCSISO 41255 Entao ε 0 para t se e somente se L Rn1 tal que A LC tenha seus autovalores no semiplano complexo esquerdo Importante Defina o sistema dual de 41 χ Aχ Cν 258a υ Bχ Dν 258b O lema proposto nos induz a aplicar a solucao do problema da alocacao de polos ao sistema dual para resolver o problema da observacao de estado com realimentacao ν Lχ 259 Controle Observadores de Estado Procedimento de ed col AAT ROE Projeto 1 Verifique se o sistema dual é controlavel o primal é observavel 2 Escreva o polinédmio caracteristico de A n1 detsI A 8 S Aj41 s 2510 TRE eo eS i0 Saida 3 Determine T com 253 se necessario use 251 também 4 Determine o polindédmio caracteristico desejado com 254 5 Determine a matriz de ganho de saida com 255 e 256 Observacdo Adapte adequadamente os passos 3 a 5 do procedimento anterior PE possivel aplicar a formula de Ackermann de forma adequada Teorema da Separacao rene Prof Victor Garantimos que X x para t oo Mas como o sistema se comportara j4 que em geral Ro Fo Xo Recompilemos o sistema 41 255 e 257 obtendo o sistema aumentado x ABK BK x BKM oPs yCDK Dk E DKMr 2511b Teorema da Separacao II ed col AAT ROE Lema Sejam ABC R R R Entdo A B irAEA cl AA ou X AC ar A BI ii A multiplicidade de 4 em 0 cl 2s0ma de suas Er multiplicidades em A e em C Teorema Separaao O projeto das matrizes de realimentacao de estado e de ganho da saida podem ser realizados independentemente e alocando os polos de A BK e de A LC em posicées arbitrdrias do plano complexo desde que valores complexos ocorram em pares conjugados respectivamente Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Observabilidade Realimentacao Dinˆamica de Saıda Teorema da Separacao Aula 26 Aula 27 Aula 28 Projeto da Matriz de Ganho da Referˆencia FT de 2511 usando 42 e 238 ou seja mesmo com a realimentacao dinˆamica de saıda nao se altera em relacao a realimentacao de estado Logo o projeto da matriz de ganho da referˆencia M pode ser feito com 2411 Podese usar 2412 para a norma euclidiana possıvel E interessante posicionar os autovalores do observador de 2 a 5 vezes mais a esquerda do ultimo autovalor da planta realimentada Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 Aula 21 Controle PID Aula 22 Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Controlabilidade Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Realimentacao Dinˆamica de Saıda Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Aula 27 Introducao ao Controle Otimo Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 Introducao Para SLITCs muitos criterios de estabilidade estao disponıveis Criterio de RouthHurwitz Criterio de Nyquist Se o sistema nao for linear ou nao for invariante esses criterios sao invalidos A Teoria de Lyapunov formulada em 1892 e aplicavel a tais situacoes Para SLITCs a Teoria de Lyapunov proporciona uma analise e sıntese de controladores mais versatil Importante A Teoria de Lyapunov nao invalida o que estudamos ate aqui Apenas e mais completa e complexa do que os metodos anteriormente estudados Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 Sistemas em Tempo Contınuo SCs Considere um SC definido pela Equacao Diferencial x fx t 261 onde f e uma funcao dependente do estado x e possivelmente do tempo t 261 define um campo vetorial em Rn Suponha que φt xo to seja a solucao unica de 261 Definicao Ponto de Equilıbrio Seja xe Rn tal que fxe t 0 t 0 Entao xe e dito um ponto de equilıbrio de 261 Controle Exemplo Campo Vetorial de SLITCs nace AVAL g Considere o sistema 1l 2 21 222 x x 0 5 522 NN NNNNNN ANNAN NAAN AAAS 5 VN NANNY ANNAN VV YY EY YY NANNANANNANAVNA VAY VY EV YAY no VN NNN NNN NANNY NY YY EY EE pian 6 NW WW RWW YW YY YY YY YR Ye bd tt NM WWW WY YY VY YY Ye He eH tt to tot 4 RRQ ON Eee eer rors of itis it e e eK KA A KH KH HT VT YT F FP RP eR he ew ee yo ee al Titties iii illite 4 4 6 kh kk kh Uh UU UU UR 4 4k kk OR OR UR UR URS eb hh eh hh RR RR RH RR RRR RRS 6 pe kh kh khokh RRR YR NNN NNNNN SN berth bey RENN KNNKHNNNNNNN 8 Pedy PARAANNNNNANNANNANNNAN PY APY AN AN AN ANANANNNANA 10 12 10 8 6 4 2 O 2 4 6 8 10 12 xt Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 Definicoes de Estabilidade I Observacao Se xe 0 podese fazer ze 0 onde z e obtida por uma mudanca adequada de variaveis de estado translacao em x Definicao Estabilidade no Sentido de Lyapunov O ponto de equilıbrio xe e dito localmente estavel no sentido de Lyapunov ou Lyapunovestavel se dado ε 0 entao δ 0 tal que xo xe δ φt xo to xe ε Definicao Estabilidade Assintotica O ponto de equilıbrio xe e dito localmente assintoticamente estavel se alem de Lyapunovestavel verificase para t φt xo to xe Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 Definicoes de Estabilidade II δ ε xe Lyapunovestavel Assintoticamente estavel Instavel Os fatos ilustrados na figura devem ocorrer para todo x na esfera δ Se cada definicao de estabilidade ocorre para δ entao a estabilidade e dita global Se dado ε 0 nao existir δ mesmo muito pequeno para as definicoes dadas o ponto de equilıbrio e dito instavel Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 Positividade Definicao Positividade de Funcoes Seja Ω Rn e V Ω R uma funcao V sera dita positivadefinida se i V x 0 x Ω ii V x 0 x 0 Observacao Na definicao de positividade se V x 0 para algum x 0 alem do proprio vetor nulo V e dito positivosemidefinido De maneira analoga definese negatividade de funcoes Uma funcao que nao se enquadra nestas definicoes e dita indefinida Positividade Formas Quadraticas e Autovalores a ed col AAT ROE Considere P R P P Uma importante classe de funcdes R R é dada pela forma quadratica Vx xPx 262 Da Algebra Linear temse V é positiva definida se e somente se todos os autovalores de P forem positivos P é uma matriz eae positivadefinida V é negativa definida se e somente se todos os autovalores de P forem negativos P é uma matriz negativadefinida Lema Critério de Sylvester P R P P é positivadefinida se e somente se 1 pu 0 P 0Pl0 P21 p22 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 O Teorema da Estabilidade de Lyapunov Teorema Lyapunov Seja 261 um SC tendo a origem como ponto de equilıbrio Se houver uma funcao V Rn R com derivadas parciais de primeira ordem contınuas tal que i V e positivadefinida e ii V e negativadefinida entao o ponto de equilıbrio e assintoticamente estavel Adicionalmente se V para x a estabilidade e global Sistemas mecˆanicos e eletricos sao estaveis se a energia que e positivadefinida decai derivada negativadefinida Em outros sistemas pode ser difıcil definir energia Ideia de Lyapunov definir uma funcao energia fictıcia no sistema x l soon Controle Exemplo Funcao Energia ed col AAT ROE Para o exemplo anterior considere Vx xIx x 27 22 Calculando sua derivada VVVx ara 2x2 2 2x 4x1 22 10x3 5x2 2a1 x2 Ags hats wea a que é negativadefinida Por outro lado também temse 7 ys 2 2 I 2 2 VHVV X 227 4 4122 1025 x 2 10 x cujos autovalores sao 15 e 105 Ainda pelo critério de Sylvester det 2 det 7 16 2 10 Logo a origem deste sistema é global e assintoticamente estavel Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 Exemplo Funcao Energia 0 10 10 12 8 6 4 2 2 4 6 8 12 0 10 10 8 6 4 2 2 4 6 8 x1 x2 As trajetorias entram nas hiperfıcies de energia constante Nem sempre as hiperfıcies de energia constante serao esferas Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 Teorema Recıproco de Lyapunov Teorema Lyapunov Recıproco Seja 261 um SC tendo a origem como ponto de equilıbrio Se houver uma funcao W Rn R com derivadas parciais de primeira ordem contınuas tal que i W e positivadefinida em algum Ω Rn ii W e positivadefinida em Ω e iii 0 Ω entao o ponto de equilıbrio e instavel Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 Alguns Fatos sobre Estabilidade de SLITCs Lema Considere o SLITC homogˆeneo 41 Se A for invertıvel entao a origem e o unico ponto de equilıbrio do sistema Lema Em um SLITC as seguintes afirmativas sao equivalentes i A origem e global e assintoticamente estavel ii Os autovalores de A estao no semiplano complexo esquerdo iii Existem c 0 e λ 0 tais que φt xo 0 eAtxo c eλt 263 iv Existe uma funcao de Lyapunov quadratica para o sistema Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Teoria de Lyapunov em SLITCs Aula 27 Aula 28 Como Construir a Funcao de Lyapunov Considere 262 como uma funcao candidata a Lyapunov Derivemola V x xPx xPx AxPx xPAx xAP PAx 264 Note que 264 deve ser negativadefinida para a estabilidade Assim Teorema Seja 41 um SLITC homogˆeneo Uma condicao necessaria e suficiente para sua estabilidade global e assintotica e que dada Q Rnn Q Q positivadefinida exista P Rnn P P positivadefinida tal que AP PA Q 265 Exe m p O Controle ed col AAT ROE Considere o SLITC homogéneo x ot x 1 1 Facamos Q Le apliquemos 265 P ain ey Tac P2 P3 O 1 p fpr x PO Lt jt 0 1 1 p2 ps p2 p31 1 0 l O que origina 2p2 1 pi5 05 Pi p2 p3 0 105 1 2p2 2p3 1 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Introducao ao Controle Otimo O Regulador Linear Quadratico Observadores Otimos Aula 28 Aula 21 Controle PID Aula 22 Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Controlabilidade Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Realimentacao Dinˆamica de Saıda Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Aula 27 Introducao ao Controle Otimo Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Introducao ao Controle Otimo O Regulador Linear Quadratico Observadores Otimos Aula 28 Introducao Na Teoria de Lyapunov aplicada a para SLITCs vimos que todo sistema assintoticamente estavel possui uma funcao de Lyapunov quadratica Como usar este fato para proporcionar estabilidade a sistemas ainda instaveis Em outras palavras como projetar uma matriz de ganho de estado K para estabilizar o sistema Como ainda projetar este K para tornar algum ındice de desempenho o melhor possıvel Os resultados a serem apresentados aqui dependem de estudos de um topico da Matematica conhecido como Calculo de Variacoes Assim sendo as demonstracoes serao omitidas e as afirmacoes serao tomadas como verdadeiras Indices de Desempenho onvel Prof Victor O indice de desempenho de um sistema é dado por uma forma integral a ser minimizada CO J Lxudt 271 0 P 271 é conhecido como um indice de otimizagao em Sine horizonte de tempo infinito Importante Fato Se L for uma forma quadratica em Ix u entdo é possivel minimizar 271 com uma lei linear da forma 236 com r 0 O Regulador Linear Quadratico onvel Prof Victor Importante Considerando o indice geral 271 um problema de otimizacdo de grande importancia é o do Regulador Linear Quadratico LQR dado por CO min Ju xQxuRujdt 272 0 onde Q R RER QR 0 sdo dados e ooo u Kx Seo par AB nao for controlavel nao se aplica o critério quadratico nem o LQR Muitos métodos foram e sdo desenvolvidos para este problema Veremos a abordagem via Teoria de Lyapunov LQR Um Caso Simples ed col AAT ROE Em um SLITC auténomo o indice de desempenho reduzse a CO J xQxdt 0 Suponha que haja P RP 0 com d x Qx x Px Vx Ce mn d t Cele eta Usando 265 o sistema é global e assintoticamente estavel Ainda CO J xQx dt Vx Vx 273 0 Exemplo Minimizacao de Erro ed col AAT ROE Considere o sistema sob excitacao degrau unitario r E 1 y 3 ss2C Encontremos a soluao para o problema de minimizacao de oo Perna J et2 kEt2 dt k0 0 Observe que sua EDO 6 yteytyar E42 e F 2CF 0 Vt 0 Como y0 40 0 entdo 0 1 e 0 0 Exemplo Minimizacao de Erro onvel ed col AAT ROE Fazendo 71 e e x2 41 temse 0 1 fi 1 2 e Jo Voltando ao critério de desempenho CO 2 2 co 1 0 eae J et két2 dt x xdt enc 0 0 Ok Observando 265 e 273 0 1m fa fo 1f1 0 1 2 p2 ps p2 p3l 2 0 k Exemplo Minimizacdo de Erro rene nace AVAL g Donde se obtém 1k C os AC 1 1k J xPx 1 an LA Alec AC Aplicando o teste da derivada primeira a esta expressdo em mao relacdo a C V1lk Cotimo a Assim para minimizar a integral do quadrado do erro k 0 devese fazer 05 Controle LQR em SLITCSISOs ed col AAT ROE Ao adaptar 272 para SLITCSISOs temse CO min Ju xQx pu dt 274 u 0 Note que se p for grande o critério ira reduzir o sinal de controle u O Regulador Linear Por outro lado se Q for muito positivadefinida o Sav critério ira fazer as trajetorias proximas a origem Estas caracteristicas sao conflitantes Observacao O que 6 Q muito positivadefinida Tome a 0 e faca Qal0 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Introducao ao Controle Otimo O Regulador Linear Quadratico Observadores Otimos Aula 28 A Equacao Algebrica de Riccati Teorema Seja 41 um SLITCSISO Q Rnn Q 0 e ρ 0 Se existir P Rnn P 0 tal que 275 valha entao i A realimentacao de estado 276 minimiza 274 em V xo ii A origem e global e assintoticamente estavel AP PA ρ1PBBP Q 0 275 u ρ1BPx 276 Observacao 275 e chamada Equacao Algebrica de Riccati ARE Sua solucao nao e tao simples quanto a da equacao de Lyapunov Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Introducao ao Controle Otimo O Regulador Linear Quadratico Observadores Otimos Aula 28 O Lugar das Raızes Simetrico Teorema Sejam V R1n com Q VV para o criterio quadratico 272 e a FT ϕs VsI A1B 277 Os polos do sistema em malha fechada x A BKx onde K e o ganho otimo que satisfaz 272 sao as n raızes no semiplano esquerdo de 1 ρ1ϕsϕs 0 278 Observacao O teorema soluciona o LQR para o caso particular da saıda fictıcia yf Vx 279 sy Controle Exemplo Motor de Corrente Continua nage VA Leino s Um motor de corrente continua tem a FT 00714 Gs 8 Sy Tors 401429 e representacdo de estado x v v euVin x 0 1 x4 0 aie 01429 10714 1 y 00714 0 x Projete um controlador que leve em consideraao apenas a velocidade no critério quadratico Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Introducao ao Controle Otimo O Regulador Linear Quadratico Observadores Otimos Aula 28 Observadores Sujeitos a Ruıdos Considere uma planta sujeita a duas origens de ruıdo wt Rn um ruıdo aditivo presente nas variaveis de estado e vt R um ruıdo aditivo na medicao da saıda Assim a representacao da planta fica x Ax Bu w 2710a y Cx Du v 2710b Retornando a Aula 25 calculando o erro obtemse ε A LCε Lv w 2711 Observacao Um observador com um ganho consideravel minimiza a dinˆamica do erro mas amplifica ruıdos Ruido Branco Deterministico rene ed col AAT ROE Um ruido é dito branco quando constante no eixo da frequéncia Escrevamos os ruidos presentes no controle como w Wot W eR 2712a v pt 2712b A partir de 228 a solucdo de 2711 sob estado os inicial nulo é t e eATLO1 Ww 4 Lu dt 0 LC ATLOIW 4 ieAtEST 2713 Ew Ey Desempenho do Observador onvel ed col AAT ROE Sera proposta a minimizacao do critério quadratico CO JL EC w teey dt w eAtLOt ALCtyz 0 pLeATBO ASLO dt Tr cATEO WW ULL eAtLOt at 0 2714 Observacdo Note a similaridade entre 2714 e o LQR em 274 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Introducao ao Controle Otimo O Regulador Linear Quadratico Observadores Otimos Aula 28 O Observador Otimo Teorema Seja 2710 um SLITCSISO 2711 a equacao que descreve o erro de observacao W Rn e µ 0 Se existir P Rnn P 0 que satisfaca a AP PA µ1PCCP WW 0 2715 entao a matriz de ganho do observador L µ1PC 2716 assegura que min JL TrP Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Introducao ao Controle Otimo O Regulador Linear Quadratico Observadores Otimos Aula 28 Observador Otimo via Lugar das Raızes Simetrico Teorema Considere a FT para o sistema 27102711 ϕs CsI A1W 2717 Os autovalores de A LC L o ganho otimo do observador sao as raızes no semiplano esquerdo de 1 µ1ϕsϕs 0 2718 Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Aula 21 Controle PID Aula 22 Solucao de EDOs no Espaco de Estado Aula 23 Controlabilidade Aula 24 Projeto via Realimentacao de Estado Aula 25 Realimentacao Dinˆamica de Saıda Aula 26 Introducao a Teoria de Lyapunov Aula 27 Introducao ao Controle Otimo Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Um Problema ja visto O Péndulo Simples ed col AAT ROE ED nao linear 49 l 0 7 sen 0 ED linearizada 6 79 0 aaa mg A soluao da Equagao Diferencial ED linearizada é asen 25 na qual a e b dependem do estado inicial Plano de Fase rene ed col AAT ROE Em sistemas de 2 ordem podese plotar o grafico 1122 m dw dw Y a0 do Substituindo nas EDs naolinear e linearizada chegase a wdw i sen0d0 0 L w ag cos c Ta ecieadaacii waw 949 04 02 4 40 a Ainda com x1 0 e x2 w temse ry v9 Le 0 to 5 sen21 MekrkeZ Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Plano de Fase 6 4 2 0 2 4 6 8 6 4 2 0 2 4 6 8 θ ω θ Controle Prof Victor Aula 21 Aula 22 Aula 23 Aula 24 Aula 25 Aula 26 Aula 27 Aula 28 Introducao aos Sistemas NaoLineares Sistemas Tipo Lure Um sistema tipo Lure lˆese Lur i tem a forma x Ax Bu 281a y Cx Du 281b u φy 281c onde φ e uma funcao naolinear de realimentacao Se a parte linear nao tiver transmissao direta podese escrever x Ax BφCx 282 cuja estabilidade pode ser estudada por um celebre resultado o criterio de Popov Sistemas Tipo Persidiskii rene ed col AAT ROE Um sistema tipo Persidiskii tem a ED w1 21 w2x2 xAyxA 283 na qual reraniali i 0 0 ii wWaa 0Vx 4 0 e iii lim Ui dé 00 x 300 JO Observe que cada componente da fundo ndolinear w depende apenas da respectiva componente do estado Exemplo Péndulo com Atrito Viscoso rene ed col AAT ROE ED nao linear 6 6 2 sena 0 sen9 l ml l Com o estado antes definido Ly 2X2 x 2 sena an ee mg 2S 7 J pe Eas Note que este sistema é tipo Lure pois se pode escrever 0 1 0 x xt g U 0 aE 7 y 1 0 x u seny Exemplo Péndulo com Atrito Viscoso rene ed col AAT ROE ED nao linear b g 0 0 sen 0 i ml l 9 Com o estado antes definido L1 2 I a Bio curr 1 g b iNET t2 senx1 52 mg a MS mie Este sistema também 6 tipo Persidiskii pois é possivel escrever 0 1 sen21 1 mi v2 Critério de Persidiskii onmons ed col AAT ROE Teorema Considere o sistema tipo Persidiskii 283 Se existir P R diagonal e positivadefinida tal que AP PA seja negativadefinida entao a origem do sistema é global e assintoticamente estadvel A prova deste teorema se apoia na construcado da funcado de Lyapunov re Arseoeoaaaaalad n i Vix 2o wi wileae 284 i1 79 Exercicio Mostre a estabilidade do sistema de péndulo com atrito viscoso utilizando o critério de Persidiskii