Projeto 1 - Controle e Servomecanismos - Alocacao de Polos via Equacao Diofantina

UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Facom Faculdade de Computacao Curso Engenharia de Computacao Data EaD Professor Dr Victor Leonardo Yoshimura Disciplina Controle e Servomecanismos Projeto 1 Observacao Esta atividade sera levada em consideracao para efeito de presenca em duas horas de carga horaria EaD e tambem para o cˆomputo da nota R Exercıcio 1 Considere um sistema de controle em realimentacao unitaria com planta ˆgs 150s 150 s 2s2 2s 2s2 6s 18 a Elabore um script em Scilab que receba a FT de uma planta os polos desejados para a FTMF e resolva a equacao diofantina correspondente para que o compensador aloque tais polos b Com o script anterior e a planta dada projete um compensador de forma a posicionar o par de polos dominantes de malha fechada em 5 j3 e os demais polos cinco vezes mais a esquerda Garanta alem disto erro estatico de posicao nulo c Repita o projeto anterior para o modelo reduzido da planta para a 3ª ordem Entregar no AVA arquivo pdf contendo O script comentado do item a Os calculos manuais e comandos de Scilab executados para os projetos dos itens b e c com ex plicacoes Simulacoes dos compensadores obtidos nos itens b e c compondo malha fechada com a planta original ˆg em ambos os casosa Comente a diferenca obtida nos projetos aLembre que o modelo reduzido na verdade nao existe fisicamente E uma aproximacao que visa facilitar o projeto de compensadores para plantas de alta ordem UFMS UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL FACOM FACULDADE DE COMPUTAÇÃO Curso Engenharia de Computação Disciplina Controle e Servomecanismos Professor Dr Victor Leonardo Yoshimura Aluno Xxxxxx Xxxxxxx Xxxxxxxx PROJETO 1 EXERCÍCIO 1 Item A desenvolvimento de algoritmo Em muitos problemas de sistemas dinâmicos de controle a solução pode ser encontrada usando alguma técnica de alocação de polos como por exemplo a equação Diofantina Desta forma sendo conhecida a função de transferência do processo a se controlar e a posição desejada para os polos de malha fechada do sistema é possível determinar a função de transferência de um controlador que aloque os polos de malha fechada nas posições desejadas No script abaixo desenvolvido no software Scilab é mostrado um código capaz de resolver a equação Diofantina e assim projetar um controlador que aloque os polos nas posições desejadas ALOCAÇÃO DE POLOS USANDO EQUAÇÃO DIAFANTINA clear clc isqrt1 Dados de entrada nP é um vetor com os coeficientes do numerador do polinomio de Gs dP é um vetor com os coeficientes do numerador do polinomio de Gs F é um vetor com os polos de malha fechada desejados para o sistema Obs 1 nP e dP tem que ter mesmas dimensões caso as dimensões forem diferente preencher o o vetor com menos elementos com zeros a esquerda Obs 2 Para garantir uma solução o numero de polos alocados tem que ser duas vezes o numeros de polos em Gs nP0 0 0 0 150 150 dP1 10 48 112 132 72 F53i 53i 253i 253i 304i 304i 354i 354i 404i 404i Gerando coeficientes do polinômio caracteristico de malha fechada dF1 for j11lengthF dFconvdF1 Fj end Solução da equação Diofantina por meio da Matriz de Sylvester Passo 1 montase a matriz de Sylvester do sistema nlengthdP1 rlengthdF1n m2n1 q2n2 Azerosmq for j11n1 Ajzerosj11nPzerosmnj1 An1jzerosj11dPzerosmnj1 end Passo 2 solução do sistema de equações por meio da inversão da matriz de Sylvester xpinvArealdF Passo 3 recumperando os dados da função de transferencia do controlador ncx1lengthx21 dcxlengthx21lengthx1 spoly0s numC0 denC0 for j11lengthx2 numCnumCncjslengthx2j denCdenCdcjslengthx2j end CsyslincnumCdenC Função de Tranferencia do controlador Cs dispC Comprovação visual do resultado via diagrama de polos e zeros numG é o polinomio com o numerador de Gs demG é o polinomio com o denominador de Gs numG150s150 denGs510s448s3112s2132s72 GsyslincnumGdenG TCG1CG Função de transferencia de malha fechadaMF plzrT Plota o diagrama de polos e zeros da FT de MF Obs 3 agrupamentos de polos e zeros na mesma posição podem aparecer na figura cancelados devem ser desconsiderados No código acima os dados de entrada são o numerador da função de transferência nP denominador da função de transferência dP e vetor com os polos de malha fechada desejados F Com saída o programa fornece a função de transferência do controlador Cs O algoritmo foi desenvolvido com base na teoria de matriz de Sylvester descrita em 1 Item B aplicação do algoritmo em modelo real Seja a função de transferência de um sistema de controle dada por G s 150 s150 s2 s 22s2s 26 s18 G s 150 s150 s 510s 448s 3112s 2132 s72 a partir da equação acima definimos dois dos dados de entrada nP0000150150 nP1104811213272 É desejado posicionar o par de polos dominantes de malha fechada em 5 j3 e os demais polos cinco vezes mais à esquerda Além disso garantir erro estático de posição nulo Para garantir erro nulo precisamos de um integrador na malha direta como a planta não tem integrador esse integrador terá que estar no controlador Mas visto que o programa não está previsto para escolher um PI ou PID por exemplo iremos transferir o termo integral para a planta e ao final retornamos ele para o controlador ou seja C s G s C s s G sC s G s s C s G s Os dados de entrada do programa são obtidos a partir da nova função de transferência G s G s s 150s150 s 610 s 548s 4112 s 3132s 272s nP00000150150 nP11048112132720 F53i53i253i253i304 i304i354i354i404i404 i505i505i O programa nos devolve a função de transferência C s e assim calculamos a função de transferência do controlador a ser implementado C s C s s Utilizandose o programa desenvolvido e aplicando a metodologia acima obtemos como saída C s 10 14b6s 6b5s 5b4s 4b3s 3b2s 2b1sb0 a6s 6a5 s 5a4s 4a3s 3a2s 2a1sa0 b601412 b51131 b44247 b34842 b22008 b17288 b06666 a612702988 a536195869 a457999003 a35511243 a23416x108 a12117x1015 a02096x1015 Logo o controlador projetado é dado por C s C s s 10 14b6s 6b5s 5b4s 4b3 s 3b2s 2b1sb0 sa6 s 6a5s 5a4s 4a3s 3a2s 2a1sa0 Simulando o sistema em malha fechada no Xcos O sistema em malha fechada com o controlador projetado se comportou de maneira instável Foi feito vários testes para tentar identificar o motivo desta instabilidade mas não se chegou a nenhum resultado conclusivo Item C aplicação de algoritmo em modelo reduzido do sistema Para obter o modelo reduzido de ordem 3 do sistema iremos cancelar os polos do sistema que tem modulo da parte real mais elevada e manter o ganho estático da planta logo G s 150 s150 s2 s 22s2s 26 s1818 83333 s8 3333 s2s 22s2 G s 83333s83333 s2 s 22s2 83333 s8 3333 s 34s 26s4 Usando o Xcos para simular os dois modelos e verificar sua equivalência O modelo será considerado aceito visto que suas respostas são bem próximas Utilizandose o mesmo procedimento do item B Os dados de entrada do programa são obtidos a partir da nova função de transferência G s G s s 83333 s8 3333 s 44 s 36 s 24 s nP0008333383333 nP1464 0 F53i53i253i253i304 i304i354i354i O programa nos devolve a função de transferência C s e assim calculamos a função de transferência do controlador a ser implementado C s C s s Utilizandose o programa desenvolvido e aplicando a metodologia acima obtemos como saída C s b4 s 4b3s 3b2s 2b1sb0 a4 s 4a3s 3a2s 2a1sa0 b44247 b34842 b22008 b17288 b06666 a40999999 a3186 a214575 a17362x109 a07328x109 Logo o controlador projetado é dado por C s C s s b4s 4b3s 3b2s 2b1sb0 sa4 s 4a3s 3a2s 2a1sa0 Diagrama de polos e zeros do sistema Simulando o sistema em malha fechada no Xcos O sistema em malha fechada com o controlador projetado se comportou de maneira instável Foi feito vários testes para tentar identificar o motivo desta instabilidade mas não se chegou a nenhum resultado conclusivo Visto que os polos de malha fechada são estáveis conforme o diagrama de polos e zeros esse comportamento não é esperado O algoritmo foi testado com vários outros sistemas para projetar controladores que não garante erro nulo o resultado foi muito bom Tanto ao observar o diagrama de polos e zeros como também na resposta em malha fechada BIBLIOGRAFIA 1 LORDELO Alfredo DS FERREIRA Paulo AV Análise intervalar e projeto de controladores robustos via programação alvo Sba Controle Automação Sociedade Brasileira de Automatica v 16 p 111123 2005