Prova P3 de Controle e Servomecanismos - Solução Padrão

UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Facom Faculdade de Computagao Curso Engenharia de Computacao Data 11062019 Professor Dr Victor Leonardo Yoshimura Disciplina Controle e Servomecanismos Académico OO Matricuda Prova P3 Solugao Padrao Questao 1 25 pontos Projete um compensador que torne o erro estdtico de velocidade inferior a 10 overshoot inferior a 25 e margem de ganho néo inferior a 5dB para a planta com diagramas de Bode ganho em linha sélida e fase em linha tracejada 40 See TT I I I i 90 rsx I I 90 ee ee le oR dt dt et 0 ne eH 4 eeeeeeeeeeeetee oo 20 b1So44120 ao ol I I Qe 49 ee a Z oS I 1 90 I I boy I I a 80 b 222222 2222222 282222 d2 2 Qe 7 b 150 100 775 55 renner nn rrr ten rn rrr terre Re rrr MIL I I I bys 140 Jassie 180 108 107 107 10 10 10 10 w rads Solugao Observe que ha integrador simples na planta o que garante erro estatico de posicao finito De fato o cruzamento deste integrador no diagrama de ganho ocorre em w 0lrads o que mostra que K 01 ou equivalentemente 10 o que é completamente inaceitavel A frequencia de cruzamento do integrador deveria no minimo ocorrer em 10rads para garantir erro dentro da faixa tolerdvel Assim a curva de ganho teria de subir 40dB para garantir este cruzamento o que leva a ak 100 Nesta situagao o cruzamento de ganho ocorreria em akGjw 3rads e terseia MF 20 Observando 93 e 192 concluise que o overshoot seria superior a 50 o que é inaceitdvel Como se deve corrigir a margem de fase seré empregado um compensador avancgo de fase que deve suprir em torno de 25 Por seguranga seraé utilizado 35 Observando 213 temse a 022 e observando 214 e 215 temse oe 1 Gja 10 log a 66dB 4rads T 053s Wga Logo o compensador projetado fica 053s 1 Cs 100 s 0125 1 O Questao 2 25 pontos Considere a seguinte planta descrita no espago de estado fl 2 0 x f fst e 2ia y 1 0 x 2ib Um projeto de controlador via realimentacao de estado referéncia degrau deve ser feito com K 6 1 M 1 2 Determine o conjunto dos pares ordenados ab R que tornam este sistema assintoticamente estdvel Solucao Observe que em malha fechada temse il 2 2 x Loa waa aetst Ay sa2sa2b3 Assim a20ea2b3 0 60 conjunto procurado O Questao 3 25 pontos A realimentacao de estado u x2 é imposta ao sistema 0 1 1 x ist Ae 3ia y1 1x 3ib a Mostre que esta realimentagao de estado torna o sistema estdvel exibindolhe uma fungdo de Lyapunov b Determine o tempo de acomodagao critério 2 Solugao a Observe que em malha fechada este sistema ficard O 2 x x 3iia y1 1x 3iib Ao aplicar 275 com Q I chegase a funcgaéo de Lyapunov of lx Ux x os 15 b Observando a matriz Ay A BK em 3ii calculase detsI Ay s 542 cuja parte real dos polos fica igual a 05 Assim o tempo de acomodagao no critério 2 é dado por 94 4 t 8s a O Questao 4 25 pontos Dada a planta 0 1 1 x a 1429 toru xe ol u 4a y 00714 0 x 4ib Determine a alocacgao 6tima de polos de acordo com o critério quadrdtico abaixo e o tempo de acomodacdao nesta situacao min J 4x7 4022 25 22u7 dt u 0 Solugao Observe que no critério quadratico temse 4 2 2 a iJe4 2 1 1 Vv Assim usando 287 2s 2 1 2s 2 2s42 VsI AB 14 2S 2 O 4 i els VsI AB 5 orags 4 0dno 292 pLOTids 101429 L07ids 01429 A Cujos polos sao 01561 e 09153 e zeros sao 1 Ainda é possivel reduzir o resultado acima a s 2685 18386 0 Cujas raizes sao 1161 70089 Ou seja com 94 o tempo de acomodagao é de 34s se as raizes escolhidas forem 1161 70089 O