Hipeplanos

Seja V um Kespaço vetorial de dimensão finita Prove que todo subespaço próprio de V é uma interseção finita de hiperplanos de V V é um Kespaço vetorial de dimensão finita Seja S um subconjunto próprio de V 0 dimS dimV B v₁vdimS V base de S C vdimS1vdimV V base de S s S j dimS1 dimV N svj 0 em que é um produto interno sobre V Sejam Hj v V vvj 0 dimS1 j dimV Seja que por definição j dimS1 dimV N Hj é um hiperplano Seja s S vj dimS1 dimV N svj 0 j dimS1 dimV N s Hj s jdimS1dimV Hj ① Como s é arbitrário S jdimS1dimV Hj Agora suponha v jdimS1dimV Hj j dimS1 dimV N v Hj j dimS1 dimV N vvj 0 S S V V B C v₁vdimSvdimS1vdimV Como dimS1 j dimV vvj 0 v S v S Como v é arbitrário jdimS1dimV Hj S Portanto S jdimS1dimV Hj ②