Transformacoes Lineares e Inversibilidade - Exercicios Resolvidos

Considere a transformação linear T R3 R3 dada por Tx y z 3x y 2x 4y 3z 5x 4y 2z Determine se T é invertível Em caso afirmativo encontre T1 Questão 2 Note que a transformação é dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 3𝑥 𝑦 2𝑥 4𝑦 3𝑧 5𝑥 4𝑦 2𝑧 3𝑥 2𝑥 5𝑥 𝑦 4𝑦 4𝑦 03𝑧 2𝑧 𝑥3 25 𝑦1 44 𝑧03 2 Logo a matriz desta transformação é dada por 𝑇 3 1 0 2 4 3 5 4 2 Vamos tentar inverter a matriz de 𝑇 para verificar se a inversa existe 3 1 0 2 4 3 5 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 0 2 4 3 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 3 3 2 4 3 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 3 3 0 10 9 0 1 1 1 1 0 2 3 0 1 1 1 1 3 3 0 1 2 0 1 1 1 1 0 13 8 11 1 1 1 1 3 3 0 1 2 0 0 1 1 1 0 13 8 11 12 7 10 1 3 3 0 1 2 0 0 1 1 1 0 13 8 11 12 7 10 Neste ponto como conseguimos escalonar a matriz concluímos que a inversa existe 1 3 3 0 1 2 0 0 1 1 1 0 13 8 11 12 7 10 Seja G R3 R2 a transformação linear definida por Gx y z 2x 3y z 4x y 2z Encontre a matriz de G com relação às bases de R3 e R2 dadas respectivamente por Λ 1 1 0 1 2 3 1 3 5 e Θ 1 2 2 3 1 3 3 0 1 0 0 0 1 1 1 0 11 6 9 12 7 10 1 0 3 0 1 0 0 0 1 32 19 27 11 6 9 12 7 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 2 3 11 6 9 12 7 10 Logo a matriz da transformada inversa é dada por 𝑇1 4 2 3 11 6 9 12 7 10 Assim temos 𝑻𝟏𝒙𝒚 𝒛 𝟒𝒙 𝟐𝒚 𝟑𝒛𝟏𝟏𝒙 𝟔𝒚 𝟗𝒛𝟏𝟐𝒙 𝟕𝒚 𝟏𝟎𝒛 Seja T R2 R2 a transformação linear dada pela reflexão em torno do eixo x seguida da rotação de 90 no sentido antihorário e da dilatação de fator 2 Com base nessas informações calcule T20 24 Questão 5 No exercício temos 𝑥 20 e 𝑦 24 Refletindo em torno do eixo 𝑥 temos 𝑥 20 e 𝑦 24 Rotacionando em 90 temos 𝑥 24 e 𝑦 20 Dilatando em um fator de 2 temos agora 𝑥 48 e 𝑦 40 Logo temos 𝑻𝟐𝟎𝟐𝟒 𝟒𝟖𝟒𝟎 Verifique se a aplicação dada é uma transformação linear a T R2 M2 2 definida por Tx y 2x x y x y 2y b T R2 R2 definida por Tx y xy y Questão 6 A Sejam 𝑢 𝑥 𝑦 e 𝑣 𝑤 𝑡 Assim temos 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑦 𝑡 𝑇𝑢 𝑣 2𝑥 𝑤 𝑥 𝑤 𝑦 𝑡 𝑥 𝑤 𝑦 𝑡 2𝑦 𝑡 2𝑥 2𝑤 𝑥 𝑦 𝑤 𝑡 𝑥 𝑦 𝑤 𝑡 2𝑦 2𝑡 2𝑥 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑦 2𝑤 𝑤 𝑡 𝑤 𝑡 2𝑡 𝑇𝑢 𝑇𝑣 Também sendo 𝑎 𝑅 temos 𝑇𝑎𝑢 2𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑥 𝑎𝑦 2𝑎𝑦 𝑇𝑎𝑢 𝑎 2𝑥 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑦 𝑇𝑎𝑢 𝑎𝑇𝑢 Como 𝑇𝑢 𝑣 𝑇𝑢 𝑇𝑣 e 𝑇𝑎𝑢 𝑎𝑇𝑢 verificamos que a transformação é linear B Esta transformação não é linear Para provar basta considerar o vetor 𝑢 11 Assim note que temos 𝑇2𝑢 𝑇22 2 22 42 Mas temos 2𝑇𝑢 2𝑇11 21 11 211 22 Assim verificamos que 𝑇2𝑢 2𝑇𝑢 Logo a transformação não pode ser linear Questão 2 Note que a transformação é dada por T x y z 3 x y 2 x4 y3z 5 x4 y2 z 3 x2x 5x y 4 y 4 y 03 z 2 z x 325 y 144 z 032 Logo a matriz desta transformação é dada por T 3 1 0 2 4 3 5 4 2 Vamos tentar inverter a matriz de T para verificar se a inversa existe 3 1 0 2 4 3 5 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 0 2 4 3 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 3 3 2 4 3 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 3 3 0 10 9 0 1 1 1 1 0 2 3 0 1 1 1 1 3 3 0 1 2 0 1 1 1 1 0 13 8 11 1 1 1 1 3 3 0 1 2 0 0 1 1 1 0 13 8 11 12 7 10 1 3 3 0 1 2 0 0 1 1 1 0 13 8 11 12 7 10 Neste ponto como conseguimos escalonar a matriz concluímos que a inversa existe 1 3 3 0 1 2 0 0 1 1 1 0 13 8 11 12 7 10 1 3 3 0 1 0 0 0 1 1 1 0 11 6 9 12 7 10 1 0 3 0 1 0 0 0 1 32 19 27 11 6 9 12 7 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 2 3 11 6 9 12 7 10 Logo a matriz da transformada inversa é dada por T 1 4 2 3 11 6 9 12 7 10 Assim temos T 1x y z 4 x2 y3 z 11 x6 y9 z 12x7 y10 z Questão 5 No exercício temos x20 e y24 Refletindo em torno do eixo x temos x20 e y24 Rotacionando em 90 temos x24 e y20 Dilatando em um fator de 2 temos agora x48 e y40 Logo temos T 2024 4840 Questão 6 A Sejam ux y e vwt Assim temos uvxw yt T uv 2xw xw yt xw yt 2 yt 2 x2w xy wt x y wt 2 y2t 2 x xy x y 2 y 2w wt wt 2t T u T v Também sendo aR temos T au 2a x a xa y axa y 2a y T aua 2 x xy x y 2 y T auaT u Como T uv T uT v e T auaT u verificamos que a transformação é linear B Esta transformação não é linear Para provar basta considerar o vetor u11 Assim note que temos T 2uT 22 222 4 2 Mas temos 2T u2T 11 2 111 2 11 22 Assim verificamos que T 2u2T u Logo a transformação não pode ser linear