Álgebra Linear Lista

Prova 1 de Álgebra Linear UFMT Prof Jhon Vargas 07072025 Instruções Resolva todas as questões Justifique suas respostas sempre que necessário 1 15 pt Determine a e b para que a matriz A 2 4 2a 6 a b 3 0 1 0 5 seja simétrica isto é At A 2 45 pt Dadas as matrizes A 0 1 0 7 3 1 4 5 1 B 0 1 0 1 3 2 4 4 4 a Calcule A B b Calcule 2A B c Calcule detB d Calcule B1 e Com os métodos já estudados resolver o seguinte sistema linear y 3 x 3y 2z 7 4z 4y 4z 10 3 10 pt Dê um exemplo de uma matriz 2 x 2 ou matriz 3 x 3 que seja simétrica e tenha determinante igual a zero 4 15 pt Mostre que M2 x 2R conjunto das matrizes 2 x 2 com entradas reais é um espaço vetorial 5 ADICIONAL 10 pt Diga se P2t R conjunto de polinômios de grau 2 é ou não um espaço vetorial AA Quuentois 1 3 A 3L L3 b 1A B dets 3 3 20 13 Kanoueio O044 a 4 atb 0 b 4 3a3 L0 I2 L 00 L 213 4 444 4 4 5 dab 5 32 4 4 Oa 08 3 3 2 L tb4 b4 b3 00 1 04 o 3 L i4 4059 detB3412 OJ304 133 L4 15 3 t032 14 4534 40 Sc2 002o4 4 d B detisl 1a Raledar 34244 Cia l c2 442 matuy de cotatones Ci3 43416 Ca ca04 0 Ca3 o444 Csu l2031 C2oa 000 C33 o 31GLL B adyl84 B detw y 3 y 4z 0 Sz2z2 4 44 1 2 L44 222 Lt6 42 lG 4 l2 4140 6 3 no qal matu3 1x 2 do tpo A adh2o matg A2 detlA 4 22 4 4 0 condieas Vamos verificar que o conjunto das matrizes de dimensão 2 x 2 MzR satisfaz as condições de espaço vetorial A Tone A e B matrizes 2 x 2 Pela definição da adição entre matrizes temos A B AB aj2 A1 Tome A e B matrizes 2 x 2 Temos 121 d21 a22 J2x2 Logo o resultado da adição de duas mnatrizes 2x 2 continua sendo uma matriz 2 x 2 A B C b1 bi2 b21 bz2 J2x2 A2 Tome A Be C matrizes 2 x 2 Temos aj1 bi a21 b21 au b1 c1u a21 b21 c21 AE A a11 b11 c11 az1 bz1 c21 pois cada aij bij e cij são números reais e onde a passagem 1 pode ser feita pois cada elemento aj e bij são números reais onde vale a comutatividade Logo AB BA a11 biu a21 b21 a12 b12 a22 t bg2 a12 a12 b12 a21 a22 22 t 22 2x2 bË1 t au b21 a21 a12 b12 ci2 A B C a22 b22 t c2 a12 b12 C12 ag2 bz2 c22 A3 Vamos achar o elemento neutro das matrizes 2 x 2 ou seja uma matriz E 2 x 2 que somada com outra matriz A 2 x 2 resulta na própria matriz A b12 t a12 b2 a2 para os números reais vale a associatividade BA a11 a12 a21 a11 e11 a12 e12 a21 e21 a22 e22 a11 a12 a21 a22 a11 e11 a11 e11 0 a12 e12 a12 e12 0 a21 e21 a21 e21 0 a22 e22 a22 e22 0 Logo E 0 0 0 0 a matriz nula é o elemento neutro A4 Para cada matriz A a11 a12 a21 a22 existe a matriz A a11 a12 a21 a22 tal que A A a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 a11 a11 a12 a12 a21 a21 a22 a22 0 0 0 0 Logo A é a oposta de A para toda matriz A M Tome A uma matriz 2 x 2 e α um escalar real Pela definição de multiplicação de matriz por escalar temos αA α a11 a12 a21 a222x2 αa11 αa12 αa21 αa222x2 Logo a multiplicação de uma matriz 2 x 2 por um escalar real continua sendo uma matriz 2 x 2 M1 Tome A uma matriz 2 x 2 e α e β escalares reais Temos αβA αβ a11 a12 a21 a22 αβa11 αβa12 αβa21 αβa22 αβa11 αβa12 αβa21 αβa22 α βa11 βa12 βa21 βa22 αβA Uma vez que vale a associatividade da multiplicação de números reais M2 Tome A uma matriz e α e β escalares reais Temos α βA α β a11 a12 a21 a22 α βa11 α βa12 α βa21 α βa22 αa11 βa11 αa12 βa12 αa21 βa21 αa22 βa22 αa11 αa12 αa21 αa22 βa11 βa12 βa21 βa22 α a11 a12 a21 a22 β a11 a12 a21 a22 αA βA M3 Seja A e B matrizes 2 x 2 e α um escalar temos αA B α a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22 α a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 αa11 b11 αa12 b12 αa21 b21 αa22 b22 αa11 αb11 αa12 αb12 αa21 αb21 αa22 αb22 αa11 αa12 αa21 αa22 αb11 αb12 αb21 αb22 M4 1A 1 a a21 a12 a21 d22 b1 b12 b22 b21 laj1 la12 lag1 laz2 aAaB a12 a21 22 Como o conjunto das matrizes 2x2 satisfaz todas as condições de espaço vetorial mostramos que ele é um espaço vetorial Sntao 5 e Soman paco oatonel qecamento dsis pounon1ob Kontentono o uto po nao pon odepi Poin ok ghau 2 pode polino mie ole camelanem a 0 0 nte ovtuas ghau 2 popdadey uatonel