Álgebra Linear

Introdução á Álgebra Linear Atividade 03EST Prof Martinho da Costa Araújo Alunoa 10032025 1 Seja V R3 o espaço vetorial com as operações usuais Determine se os seguintes subconjuntos de V R3 são LI ou LD a L u1 121 u2 2 11 u3 741 b S u1 1 2 3 u2 1 3 2 u3 2 1 5 2 Considere o espaço vetorial V M22R o conjunto das matrizes 2 2 com entradas reais e as operações usuaisE T u1 4 0 2 2 u2 1 1 2 3 u3 0 2 1 4 V M22R Quais dos seguintes vetores de v V M22R se escreve como CL de T i v 6 8 1 8 ii v 0 0 0 0 iii v 6 0 3 8 iv v 1 5 7 1 3 Dos itens anteriores determine os subespaços L S e T 4 Seja V um espaço vetoríal sobre R Responder verdadeiro v ou falso f justificando suas respostas a Se v1 v2 v3 é um conjunto de vetores LI de V então v1v2v1v3v2v3v1v2v3 são LI b Se S v1v2v3vr é um conjunto de vetores LI de V então qualquer subconjunto S de V é LI c Se S v1v2v3 é um conjunto de vetores LD de V e v4 é um vetor qualquer em V então v1v2v3v4 é LD d Se S v1v2v3vr é um conjunto de vetores LD de V e vr1 vr2 vr3vn são quaisquer vetores em Ventão v1v2v3vr vr1 vr2 vr3vn é LD e Se S v1v2 é um conjunto de vetores LI de V e v3 S então v1v2v3 é LI 5 Considere P3 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 ai R o conjunto dos polinômios de grau 3 mais o polinômio nulo de grau 3 Sabemos que P3 é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais a Quem é o conjunto gerador de P3 b Seja S p1 x 1 x3 p2 x 1x2 p3 x 1x p4 x 1 P3 Quem é S c O conjunto S é LI 6 Seja V R3 o espaço vetoríal com as operações usuais Encontre um vetor em V R3 que gere U W onde U a b 0 a b R e W 1 2 3 1 1 1 Observação 1 Forma de entregar a Atividade 03 Pelo Teams até 14032025 d Se S v1 v2 v3 vr é um conjunto de vetores LD de V e vr1 vr2 vr3 vn são quaisquer vetores em Ventão v1 v2 v3 vr vr1 vr2 vr3 vn é LD e Se S v1 v2 é um conjunto de vetores LI de V e v3 S então v1 v2 v3 é LI 5 Considere P3 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 ai R o conjunto dos polinômios de grau 3 mais o polinômio nulo de grau 3 Sabemos que P3 é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais a Quem é o conjunto gerador de P3 b Seja S p1 x 1 x3 p2 x 1x2 p3 x 1x p4 x 1 P3 Quem é S c O conjunto S é LI 6 Seja V R3 o espaço vetoríal com as operações usuais Encontre um vetor em V R3 que gere U W onde U a b 0 a b R e W 1 2 3 1 1 1 Observação 1 Forma de entregar a Atividade 03 Pelo Teams até 14032025 1 a Note que L é LD pois 3u12u2 3121 2211 346232 741 u3 ou seja 3u1 2u2 u3 0 existe uma combinação linear não trivial que anula b Sejam αβγ R tais que 0 α 123 β132 γ 21 5 α β 2γ 2α 3β γ 3α 2β 5γ α β 2γ 0 2α 3β γ 0 3α 2β 5γ 0 1 1 2 2 3 1 3 2 5 α β γ 0 0 0 L2 2L1 L2 L3 3L1 L3 1 1 2 0 5 5 0 5 11 α β γ 0 0 0 L 3 L2 L3 1 1 2 0 5 5 0 0 6 α β γ 0 0 0 logo α β 2γ 0 5β 5γ 0 6γ 0 γ 0 β α logo S é LI Digitalizado com CamScanner 1 a Note que L é LD pois 3u₁2u₂31212211346232741u₃ ou seja 3u₁2u₂u₃0 existe uma combinação linear não trivial que anula b Sejam α β γ R tais que 0α123β132γ215 αβ2γ 2α3βγ 3α2β5γ αβ2γ0 2α3βγ0 3α2β5γ0 1 1 2 2 3 1 3 2 5 α β γ 0 0 0 L₂ 2L₁L₂ L₃ 3L₁ L₃ 1 1 2 0 5 5 0 5 11 α β γ 0 0 0 1 1 2 0 5 5 0 0 6 α β γ 0 0 0 L₃ L₂ L₃ logo α β 2γ0 5β 5γ0 6γ0 γ0βα logo S é LI 2 Para verificar os casos I a IV basta checar se estão no espaço gerado de T Ta₁ 1 0 2 2 a₂ 1 1 2 3 a₃ 0 2 1 4 a i R 4a₁ a₂ α₂ 2a₃ 2a₁ 2a₂ a₃ 2a₁ 3a₂ 4a₃ a i R i 4a₁ a₂ 6 α₂ 2a₃ 8 2α₁ 2a₂ a₃ 1 2α₁ 3a₂ 4a₃ 8 multiplicando a 2º eq por 2 e com a 4º eq temos 4a₁ a₂ 6 2a₁5a₂8 a₁1 a₂2 a₃3 2a₁ 2a₂ a₃ 1 usando a 1º e 2º equatas 0 0 0 logo v é CL de T ii claramente v é CL de T pois 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 2 0 1 1 2 3 0 0 2 1 4 ii 4a₁ a₂ 6 2º eq a₂2a₃ a₂ 2a₃ 0 4a₁ 2a₃ 6 2a₁ 5a₃ 3 2a₁ 10a₃ 8 2 vezes 2º eq 1ª eq a₁1 a₃ a₂2 iv 4a₁ a₂ 1 a₂ 2a₃ 5 2a₁ 2a₂ a₃ 7 2a₁ 3a₂ 9a₃ 1 Mesmo Jaquele da i 4a₁ a₂ 1 2a₁ 5a₂ 9 2a₁ 2a₂ a₃ 7 a₁ 211 e a₂ 1911 a₃ 3511 4 a Verdadeiro como u1 u2 u3 é LI então a1u1 a2u2 a3u3 0 a1a2a30 Note que os conjuntos ui uj com i j e i j 1 2 3 correspondem a algum ai 0 em E os conjuntos ui i 1 2 3 correspondem a aj ak 0 em para j k e j k 1 2 3 b Depende se assumirmos que vale repetição de elementos em um subconjunto por exemplo S1 u1 u2 u2 então a afirmação é falsa Caso não coloquemos repetição nos subconjuntos de S então a afirmação é verdadeira é uma generalização do caso a c Verdadeiro como S é LD então digamos u3 pode ser escrito como CL dos demais poderia ser u1 ou u2 N3 a1u1 a2u2 ao menos um dos coeficientes ai 0 o conjunto u1 u2 u3 u4 é LD pois podemos escrever u3 a1u1 a2u2 0u4 d Verdadeiro se um um argumento parecido com a letra c como S é LD então ao menos um vetor vi pode ser escrito em termos dos demais com i 1 n assim vi a1v1 a2v2 ai1vi1 ai1vi1 anvn ao menos um dos coeficentes ai 0 logo o conjunto v1 v2 vn é LD pois vi a1v1 a2v2 anvn 0vn1 0vn2 0vm e Verdadeiro vamos mostrar por absurdo Suponha que v1 v2 v3 seja LD como v1 v2 são LI por hipótese então necessariamente v3 é combinação linear de v1 e v2 ou seja v3 α1v1 α2v2 v3 v1 v2 S absurdo com a hipótese de que v3 S 3 Da questão 1a vimos que u3 é CL de u1 e u2 Assim temos que L 1 2 1 2 1 1 x1 2 1 y2 1 1 x y ℝ x2y 2xy xy x y ℝ é um plano em ℝ³ Da questão 1b vimos que S é LI e além disso possui 3 elementos mesmo n do elementos de uma base de ℝ³ portanto S é uma base do ℝ³ teorema logo S ℝ³ Da questão 2 temos que T x 4 0 2 2 y 1 2 1 3 z 0 1 2 4 x y z ℝ 4xy y2z 2x2yz 2x3y4z x y z ℝ 5 a o conjunto gerador é G1xx2x3 pois claramente é LI e dado qualquer polinômio em P3 é possível escrever como combinação linear de G b S α 1x3 β1x2 γ1x δ1 α β γ δ R α 1 3x 3x2 x3 β 1 2x x2 γ 1 x δ α β γ δ R α x3 3α β x2 3α 2β γ x α β γ δ 1 α β δ γ R Seja a1 α a2 3α β a3 3α 2β γ e a4 α β γ δ Assim S a1 x3 a2 x2 a3 x a4 ai R P3 c Considere a combinação linear 0 α 1x3 β 1x2 γ 1x δ1 α x3 3α β x2 3α 2β γ x α β γ δ 1 logo α 0 3α β 0 3α 2β γ 0 α β γ δ 0 α 0 β γ δ Portanto S é um conj LI 6 Note que W a123 b111 ab R a b 2a b 3a b ab R Assim U W v U e v W a b 2a b 3a b e 3a b 0 v a 3a 2a 3a 3a 3a a R v 2a 5a 0 a R a 2 5 0 a R 2 5 0 logo o gerador é o vetor 2 5 0