Algebra Linear I - Modulos 1 e 2 - 3a Edicao - Cecierj Cederj

Módulos 1 e 2 Isabel Lugão Rios Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha Álgebra Linear I Volume 1 3ª edição Fundação CECIERJ Consórcio cederj Isabel Lugão Rios Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha Volume 1 Módulos 1 e 2 3ª edição Álgebra Linear l Apoio Material Didático Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte de acordo com as normas da ABNT Copyright 2006 Fundação Cecierj Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Fundação 972m Figueiredo Luiz Manoel Álgebra linear I v1 Luiz Manoel Figueiredo 3ed Rio de Janeiro Fundação CECIERJ 2010 196p 21 x 297 cm ISBN 8589200442 1 Álgebra linear 2 Vetores 3 Matrizes 4 Sistemas lineares 5 Determinantes 6 Espaços vetoriais 7 Combinações lineares 8 Conjuntos ortogonais e ortonormais I Rios Isabel Lugão II Cunha Marisa Ortegoza da III Título CDD5125 20101 ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Isabel Lugão Rios Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Cristine Costa Barreto DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃO Alexandre Rodrigues Alves Carmen Irene Correia de Oliveira Gláucia Guarany Janaina Silva Leonardo Villela COORDENAÇÃO DE LINGUAGEM Maria Angélica Alves EDITORA Tereza Queiroz COORDENAÇÃO EDITORIAL Jane Castellani REVISÃO TIPOGRÁFICA Equipe CEDERJ COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO Jorge Moura PROGRAMAÇÃO VISUAL Marcelo Freitas ILUSTRAÇÃO Fabiana Rocha Fabio Muniz CAPA Sami Souza PRODUÇÃO GRÁFICA Patricia Seabra Departamento de Produção Fundação Cecierj Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói 1364 Mangueira Rio de Janeiro RJ CEP 20943001 Tel 21 23341569 Fax 21 25680725 Presidente Masako Oya Masuda Vicepresidente Mirian Crapez Coordenação do Curso de Matemática UFF Regina Moreth UNIRIO Luiz Pedro San Gil Jutuca Universidades Consorciadas Governo do Estado do Rio de Janeiro Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Governador Alexandre Cardoso Sérgio Cabral Filho UENF UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reitor Almy Junior Cordeiro de Carvalho UERJ UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor Ricardo Vieiralves UNIRIO UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora Malvina Tania Tuttman UFRRJ UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor Ricardo Motta Miranda UFRJ UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor Aloísio Teixeira UFF UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor Roberto de Souza Salles 1 Vetores matrizes e sistemas lineares 7 Aula 1 Matrizes 9 Luiz Manoel Figueiredo Aula 2 Operações com matrizes transposição adição e multiplicação por número real 17 Luiz Manoel Figueiredo Aula 3 Operações com matrizes multiplicação 29 Luiz Manoel Figueiredo Aula 4 Operações com matrizes inversão 39 Luiz Manoel Figueiredo Aula 5 Determinantes 49 Luiz Manoel Figueiredo Aula 6 Sistemas lineares 59 Luiz Manoel Figueiredo Aula 7 Discussão de sistemas lineares 73 Luiz Manoel Figueiredo Aula 8 Espaços vetoriais 83 Luiz Manoel Figueiredo Aula 9 Subespaços vetoriais 95 Marisa Ortegoza da Cunha Aula 10 Combinações lineares 105 Marisa Ortegoza da Cunha Aula 11 Base e dimensão 115 Luiz Manoel Figueiredo Aula 12 Dimensão de um espaço vetorial 123 Luiz Manoel Figueiredo Aula 13 Soma de subespaços 135 Luiz Manoel Figueiredo Aula 14 Espaços vetoriais com produto interno 149 Marisa Ortegoza da Cunha Aula 15 Conjuntos ortogonais e ortonormais 161 Marisa Ortegoza da Cunha Aula 16 Complemento ortogonal 173 Isabel Lugão Rios Aula 17 Exercícios resolvidos 181 Álgebra Linear l SUMÁRIO Volume 1 Módulos 1 e 2 1 Vetores matrizes e sistemas lineares O que e Algebra Linear Por que estudala A Algebra Linear e a area da Matematica que estuda todos os aspectos relacionados com uma estrutura chamada Espaco Vetorial Estrutura matematica e um conjunto no qual sao defini das operacoes As proprie dades dessas operacoes es truturamo conjunto Tal vez vocˆe ja tenha ouvido falar em alguma das principais es truturas matematicas como grupo anel e corpo Vocˆe estudara essas estruturas nas disciplinas de Algebra Devido as suas caracterısticas essa estrutura permite um tratamento algebrico bastante simples admitindo inclusive uma abordagem computa cional A Algebra Linear tem aplicacoes em inumeras areas tanto da mate matica quanto de outros campos de conhecimento como Computacao Grafica Genetica Criptografia Redes Eletricas etc Nas primeiras aulas deste modulo estudaremos algumas ferramentas para o estudo dos Espacos Vetoriais as matrizes suas operacoes e proprie dades aprenderemos a calcular determinantes e finalmente aplicaremos esse conhecimento para discutir e resolver sistemas de equacoes lineares Muitos dos principais problemas da fısica engenharia quımica e e claro da ma tematica recaem ou procuramos fazer com que recaiam num sistema de equacoes lineares A partir da Aula 8 estaremos envolvidos com Algebra Li near propriamente dita e esperamos que vocˆe se aperceba ao longo do curso de que se trata de uma das areas mais ludicas da Matematica 7 CEDERJ Matrizes M ODULO 1 AULA 1 Aula 1 Matrizes Objetivos Reconhecer matrizes reais Identificar matrizes especiais e seus principais elementos Estabelecer a igualdade entre matrizes Consideremos o conjunto de alunos do CEDERJ ligados ao polo Lugar Lindo cursando a disciplina Algebra Linear 1 Digamos que sejam 5 alunos claro que esperamos que sejam muitos mais Ao longo do semestre eles farao 2 avaliacoes a distˆancia e 2 presenciais num total de 4 notas parciais Para representar esses dados de maneira organizada podemos fazer uso de uma tabela aluno AD1 AD2 AP1 AP2 1 Ana 45 62 70 55 2 Beatriz 72 68 80 100 3 Carlos 80 75 59 72 4 Daniela 92 85 70 80 5 Edson 68 72 68 75 Se quisermos ver as notas obtidas por um determinado aluno digamos o Carlos para calcular sua nota final basta atentarmos para a linha corres pondente 80 75 59 72 por outro lado se estivermos interessados nas notas obtidas pelos alunos na segunda verificacao a distˆancia para calcular a media da turma devemos olhar para a coluna correspondente 62 68 75 85 72 Tambem podemos ir diretamente ao local da tabela em que se encontra por exemplo a nota de Carlos na segunda avaliacao a distˆancia 75 E esse tipo de tratamento que as matrizes possibilitam por linhas por colunas por elemento que fazem desses objetos matematicos instrumentos valiosos na organizacao e manipulacao de dados Vamos entao a definicao de matrizes 9 CEDERJ Definição Uma matriz real A de ordem m n é uma tabela de mn números reais dispostos em m linhas e n colunas onde m e n são números inteiros positivos Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por AmnR Neste curso como só trabalharemos com matrizes reais usaremos a notação simplificada Amn que se lê A m por n Também podemos escrever A aij onde i 1 m é o índice de linha e j 1 n é o índice de coluna do termo genérico da matriz Representamos o conjunto de todas as matrizes reais m por n por Mmn R Escrevemos os elementos de uma matriz limitados por parênteses colchetes ou barras duplas Exemplo 1 1 Uma matriz 3 2 2 3 1 0 2 17 2 Uma matriz 2 2 5 3 1 12 3 Uma matriz 3 1 4 0 11 De acordo com o número de linhas e colunas de uma matriz podemos destacar os seguintes casos particulares m 1 matriz linha n 1 matriz coluna m n matriz quadrada Neste caso escrevemos apenas An e dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n Representamos o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n por MnR ou simplesmente por Mn Exemplo 2 1 matriz linha 1 4 2 3 4 15 2 matriz coluna 3 1 4 17 0 3 matriz quadrada de ordem 2 1 2 5 7 Os elementos de uma matriz podem ser dados também por fórmulas como ilustra o próximo exemplo Exemplo 3 Vamos construir a matriz A M2x4R A aij tal que aij i² j se i j i 2j se i j A matriz procurada é do tipo A a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 Seguindo a regra de formação dessa matriz temos a11 1² 1 2 a12 1 22 3 a22 2² 2 6 a13 1 23 5 a14 1 24 7 a21 2 21 0 a23 2 23 4 a24 2 24 6 Logo A 2 3 5 7 0 6 4 6 Igualdade de matrizes O próximo passo é estabelecer um critério que nos permita decidir se duas matrizes são ou não iguais Temos a seguinte definição Duas matrizes A B MmnR A aij B bij são iguais quando aij bij i 1 m j 1 n Exemplo 4 Vamos determinar a b c e d para que as matrizes 2a 3b cd 6 e 4 9 1 2c sejam iguais Pela definição de igualdade de matrizes podemos escrever 2a 3b cd 6 4 9 1 2c 2a 4 3b 9 c d 1 6 2c Daí obtemos a 2 b 3 c 3 e d 2 Numa matriz quadrada A aij i j 1 n destacamos os seguintes elementos diagonal principal formada pelos termos aii isto é pelos termos com índices de linha e de coluna iguais diagonal secundária formada pelos termos aij tais que i j n Exemplo 5 Seja A 3 2 0 1 5 3 2 7 12 3 π 14 5 0 1 6 A diagonal principal de A é formada por 3 3 π 6 A diagonal secundária de A é formada por 1 2 3 5 Matrizes quadradas especiais No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar alguns tipos especiais Seja A aij MnR Dizemos que A é uma matriz triangular superior quando aij 0 se i j isto é possui todos os elementos abaixo da diagonal principal nulos triangular inferior quando aij 0 se i j isto é possui todos os elementos acima da diagonal principal nulos diagonal quando aij 0 se i j isto é possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos Uma matriz diagonal é ao mesmo tempo triangular superior e triangular inferior escalar quando aij 0 se i j k se i j para algum k R Isto é uma matriz escalar é diagonal e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a um certo escalar k identidade quando aij 0 se i j 1 se i j Isto é a identidade é uma matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 Representamos a matriz identidade de ordem n por In Exemplo 6 matriz classificação 4 1 2 0 6 3 0 0 9 triangular superior 2 0 0 0 0 3 0 0 0 triangular superior 1 0 0 0 4 0 0 0 0 triangular superior triangular inferior diagonal 0 0 3 0 triangular inferior 0 0 0 0 triangular superior triangular inferior diagonal escalar 5 0 0 5 triangular superior triangular inferior diagonal escalar Exemplo 7 São matrizes identidade I₁ 1 I₂ 1 0 0 1 I₃ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I₄ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 De modo geral sendo n um número natural maior que 1 a matriz identidade de ordem n é In 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Definição A matriz nula em Mmnℝ é a matriz de ordem m n que possui todos os elementos iguais a zero Exemplo 8 Matriz nula 2 3 0 0 0 0 0 0 Matriz nula 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Definição Dada A aij Mmnℝ a oposta de A é a matriz B bij Mmnℝ tal que bij aij i 1 m j 1 n Ou seja os elementos da matriz oposta de A são os elementos opostos aos elementos de A Representamos a oposta de A por A Exemplo 9 A oposta da matriz A 3 1 0 2 3 4 1 0 8 6 10 2 é a matriz A 3 1 0 2 3 4 1 0 8 6 10 2 Resumo Nesta aula vimos o conceito de matriz e conhecemos seus tipos especiais Aprendemos a comparar duas matrizes a identificar a matriz nula e a obter a oposta de uma matriz Também vimos algumas matrizes quadradas que se destacam por suas características e que serão especialmente úteis no desenvolvimento da teoria Exercícios 1 Escreva a matriz A aij em cada caso a A é do tipo 2x3 e aij 3i j se i j i 2j se i j b A é quadrada de ordem 4 e aij 2i se i j i j se i j 2j se i j c A é do tipo 4x2 e aij 0 se i j 3 se i j d A é quadrada terceira ordem e aij 3i j 2 2 Determine x e y tais que a 2x y 2x y 11 9 b x2 y x y2 1 1 1 1 Respostas dos exercícios 1 a 4 3 5 0 8 4 b 0 2 2 2 2 0 4 4 2 4 0 6 2 4 6 0 c 3 0 0 3 0 0 0 0 d 4 1 2 7 6 5 10 9 8 2 a x 5 y 1 b x y 1 Autoavaliação Você não deve ter sentido qualquer dificuldade para acompanhar esta primeira aula São apenas definições e exemplos Se achar conveniente antes de prosseguir faça uma segunda leitura com calma da teoria e dos exemplos De qualquer maneira você sabe que sentindo necessidade pode e deve entrar em contato com o tutor da disciplina Até a próxima aula Comparando uma matriz com sua transposta podemos definir matrizes simétricas e antisimétricas como segue Definição Uma matriz A é simétrica se AT A antisimétrica se AT A Segue da definição acima que matrizes simétricas ou antisimétricas são necessariamente quadradas Exemplo 11 1 As matrizes 3 2 3 2 5 1 3 1 8 19 32 32 7 e 1 2 15 0 2 7 9 1 15 9 0 8 0 1 8 4 são simétricas 2 A matriz M do exemplo 10 é simétrica Note que numa matriz simétrica os elementos em posições simétricas em relação à diagonal principal são iguais Exemplo 12 As matrizes 0 1 1 0 0 2 12 2 0 5 12 5 0 e 0 2 15 0 2 0 9 1 15 9 0 8 0 1 8 0 são antisimétricas Note que uma matriz antisimétrica tem necessariamente todos os elementos da diagonal principal iguais a zero Representamos a matriz soma de A e B por A B Em palavras cada elemento de A B é a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B A diferença de A e B indicada por A B é a soma de A com a oposta de B isto é A B A B Exemplo 13 1 5 4 2 1 1 2 0 3 4 2 2 4 2 3 8 1 4 7 2 2 1 7 2 3 6 3 8 1 4 7 2 2 1 7 2 3 6 1 9 8 2 10 4 Multiplicação por um número real Seja A 3 1 2 4 Queremos obter 2A 2A A A 3 1 2 4 3 1 2 4 23 21 22 24 Em palavras o produto da matriz A pelo número real 2 é a matriz obtida multiplicandose cada elemento de A por 2 Voltemos à nossa tabela de notas dos alunos do CEDERJ Suponhamos que para facilitar o cálculo das médias queiramos trabalhar numa escala de 0 a 100 em vez de 0 a 10 como agora Para isso cada nota deverá ser multiplicada por 10 Teremos então a seguinte matriz 10N 50 62 70 57 70 73 85 100 80 77 65 71 92 90 70 82 70 72 68 78 Podemos então definir a multiplicação de uma matriz por um número real ou como é usual dizer no âmbito da Álgebra Linear por um escalar Operacoes com matrizes transposicao adicao e multiplicacao por numero real M ODULO 1 AULA 2 Adicao Vocˆe se lembra do exemplo que demos na Aula 1 com a relacao de nomes e notas da turma de Lugar Lindo Cada aluno tem seu nome associado a um numero o numero da linha Assim sem perder qualquer informacao sobre os alunos podemos representar apenas as notas das avaliacoes numa matriz 5 por 4 A 4 5 6 2 7 0 5 5 7 2 6 8 8 0 10 0 8 0 7 5 5 9 7 2 9 2 8 5 7 0 8 0 6 8 7 2 6 8 7 5 Vamos supor que as provas tenham sido submetidas a uma revisao e que as seguintes alteracoes sejam propostas para as notas R 0 5 0 0 0 0 0 2 0 2 0 5 0 5 0 0 0 0 0 2 0 6 0 1 0 0 0 5 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 3 A matriz N com as notas definitivas e a matriz soma das matrizes A e R formada pelas somas de cada nota com seu fator de correcao isto e cada termo de A com seu elemento correspondente em R N A R 4 5 0 5 6 2 0 0 7 0 0 0 5 5 0 2 7 2 0 2 6 8 0 5 8 0 0 5 10 0 0 0 8 0 0 0 7 5 0 2 5 9 0 6 7 2 0 1 9 2 0 0 8 5 0 5 7 0 0 0 8 0 0 2 6 8 0 2 7 2 0 0 6 8 0 0 7 5 0 3 Logo N 5 0 6 2 7 0 5 7 7 0 7 3 8 5 10 0 8 0 7 7 6 5 7 1 9 2 9 0 7 0 8 2 7 0 7 2 6 8 7 8 Definicao Dadas as matrizes A aij B bij MmnR a matriz soma de A e B e a matriz C cij MmnR tal que cij aij bij i 1 m j 1 n 19 CEDERJ Aula 2 Operações com matrizes transposição adição e multiplicação por número real Objetivos Obter a matriz transposta de uma matriz dada Identificar matrizes simétricas e antisimétricas Obter a matriz soma de duas matrizes Obter o produto de uma matriz por um número real Aplicar as propriedades das operações nos cálculos envolvendo matrizes Na aula passada definimos matrizes e vimos como verificar se duas matrizes são ou não iguais Nesta aula iniciamos o estudo das operações com matrizes É através de operações que podemos obter outras matrizes a partir de matrizes dadas A primeira operação com matrizes que estudaremos a transposição é unária isto é aplicada a uma única matriz A seguir veremos a adição que é uma operação binária ou seja é aplicada a duas matrizes Finalmente veremos como multiplicar uma matriz por um número real Por envolver um elemento externo ao conjunto das matrizes essa operação é dita ser externa Transposição Dada uma matriz A M mn R A a i j a transposta de A é a matriz B M nm R B b j i tal que b j i a i j i 1 m j 1 n Representamos a matriz transposta de A por AT Note que para obter a transposta de uma matriz A basta escrever as linhas de A como sendo as colunas da nova matriz ou equivalentemente escrever as colunas de A como as linhas da nova matriz Exemplo 10 1 Seja A 3 2 5 1 7 0 A transposta de A é a matriz AT 3 1 2 7 5 0 2 Se M 3 4 4 9 então MT 3 4 4 9 M Definição Dada A aij MmnR e α R a matriz produto de A por α é a matriz C cij MmnR tal que cij α aij i 1 m j 1 n Representamos a matriz produto de A por α por αA Exemplo 14 Dadas A 5 2 1 4 B 0 6 3 8 e C 6 1 3 5 temos 1 2A 10 4 2 8 2 13 B 0 2 1 83 3 A 2B 3C 5 2 1 4 0 12 6 16 18 3 9 15 23 17 14 5 Propriedades das operações com matrizes Você talvez já tenha se questionado quanto à necessidade ou utilidade de se listar e provar as propriedades de uma dada operação Comutatividade associatividade aparentemente sempre as mesmas palavras propriedades sempre válidas No entanto são as propriedades que nos permitem estender uma operação que foi definida para duas matrizes para o caso de somar três ou mais Ela também flexibilizam e facilitam os cálculos de modo que quanto mais as dominamos menos trabalho mecânico temos que desenvolver Veremos agora as propriedades válidas para as operações já estudadas Propriedade da transposição de matrizes t1 Para toda matriz A MmnR vale que ATT A A validade dessa propriedade é clara uma vez que escrevemos as linhas de A como colunas e a seguir tornamos a escrever essas colunas como linhas retornando à configuração original Segue abaixo a demonstração formal dessa propriedade Seja A aij MmnR Então AT B bji MnmR tal que bji aij ou equivalentemente bij aji i 1 m j 1 n Operacoes com matrizes transposicao adicao e multiplicacao por numero real Daı AT T BT C cij MmnR tal que cij bji aij i 1 m j 1 n Logo C BT AT T A Propriedades da adicao de matrizes Para demonstrar as propriedades da adicao de matrizes usaremos as propriedades correspondentes validas para a adicao de numeros reais Sejam A aij B bij e C cij matrizes quaisquer em MmnR Valem as seguintes propriedades a1 Comutativa A B B A De fato sabemos que A B sij e tambem uma matriz m n cujo elemento generico e dado por sij aij bij para todo i 1 m e todo j 1 n Como a adicao de numeros reais e comutativa podemos escrever sij bijaij para todo i 1 m e todo j 1 n Isto e AB BA Em palavras a ordem como consideramos as parcelas nao altera a soma de duas matrizes a2 Associativa A B C A B C De fato o termo geral sij de ABC e dado por sij abijcij aij bij cij para todo i 1 m e todo j 1 n Como a adicao de numeros reais e associativa podemos escrever sij aij bij cij aijbcij para todo i 1 m e todo j 1 n Ou seja sij e tambem o termo geral da matriz obtida de ABC Isto e ABC ABC Em palavras podemos estender a adicao de matrizes para o caso de trˆes parcelas associando duas delas A partir dessa propriedade podemos agora somar trˆes ou mais matrizes a3 Existˆencia do elemento neutro Existe O MmnR tal que AO A De fato seja O a matriz nula de MmnR isto e O oij onde oij 0 para todo i 1 m e todo j 1 n Sendo sij o termo geral de A O temos sij aij oij aij 0 aij para todo i 1 m e todo j 1 n Ou seja A O A Em palavras na adicao de matrizes a matriz nula desempenha o mesmo papel que o zero desempenha na adicao de numeros reais a4 Da existˆencia do elemento oposto Existe A MmnR tal que O elemento oposto e tambem chamado elemento simetrico ou inverso aditivo A A O De fato sabemos que cada elemento de A e o oposto do elemento correspondente de A Entao sendo sij o termo geral de A A temos CEDERJ 22 Operacoes com matrizes transposicao adicao e multiplicacao por numero real M ODULO 1 AULA 2 sij aij aij 0 oij para todo i 1 m e todo j 1 n Isto e A A O Em palavras Cada matriz possui em correspondˆencia uma matriz de mesma ordem tal que a soma das duas e a matriz nula dessa ordem a5 Da soma de transpostas AT BT A BT De fato seja sij o termo geral de AT BT Entao para todo i 1 m e todo j 1 n sij ajibji abji que e o termo geral de ABT Ou seja AT BT A BT Em palavras A soma das transpostas e a transposta da soma Ou vendo sob outro ˆangulo a transposicao de matrizes e distributiva em relacao a adicao Propriedades da multiplicacao de uma matriz por um escalar Vocˆe vera que tambem neste caso provaremos a validade dessas propri edades usando as propriedades correspondentes da multiplicacao de numeros reais Sejam A aij B bij MmnR α β γ R Valem as seguin tes propriedades mn1 αβA αβA De fato seja pij o termo geral de αβA isto e pij αβaij αβaij αβaij αβaij para todo i 1 m e todo j 1 n Ou seja pij e tambem o termo geral de αβA Logo αβA αβA Exemplo 15 Dada A MmnR 12A 34A 26A mn2 α βA αA βA De fato seja pij o termo geral de α βA isto e pij α βaij α βaij αaij βaij αaij βaij para todo i 1 m e todo j 1 n Ou seja pij e tambem o termo geral de αA βA Logo α βA αA βA Exemplo 16 Dada A MmnR 12A 7A 5A 8A 4A mn3 αA B αA αB De fato seja pij o termo geral de αAB Entao para todo i 1 m e todo j 1 n temos pij αa bij αa bij αaij bij 23 CEDERJ αaij αbij ααij αbij Ou seja pij é também o termo geral de αA αB Logo αA B αA αB Exemplo 17 Dadas A B MmnR 5A B 5A 5B mn4 1A A De fato sendo pij o termo geral de 1A temos pij 1aij 1aij aij para todo i 1 m e todo j 1 n Isto é 1A A mn5 αAT αAT De fato seja pij o termo geral de αAT Então pij αaji αaji ou seja pij é também o termo geral de αAT Exemplo 18 Dadas A 2 1 0 1 e B 4 0 2 6 vamos determinar 32AT 12 BT Para isso vamos usar as propriedades vistas nesta aula e detalhar cada passo indicando qual a propriedade utilizada 32AT 12 BT a5 32ATT 12 BT mn5 32ATT 12 BT t1 32A 12 BT mn3 32A 312 BT mn1 3 2A 3 12 BT 6A 32 BT 62 1 0 1 32 4 2 0 6 12 6 0 6 6 3 0 9 6 9 0 15 Observação É claro que você ao efetuar operações com matrizes não precisará explicitar cada propriedade utilizada a não ser que o enunciado da questão assim o exija e nem resolver a questão passoapasso O importante é constatar que são as propriedades das operações que nos possibilitam reescrever a matriz pedida numa forma que nos pareça mais simpática Resumo Nesta aula começamos a operar com as matrizes Vimos como obter a transposta de uma matriz e a reconhecer matrizes simétricas e antisimétricas A seguir aprendemos a somar duas matrizes e a multiplicar uma matriz por um escalar Finalizamos com o estudo das propriedades das operações vistas A aula ficou um pouco longa mas é importante conhecer as propriedades válidas para cada operação estudada Exercícios 1 Obtenha a transposta da matriz A M24R A aij tal que aij 2i j se i j i2 j se i j 2 Determine a e b para que a matriz 2 4 2a b a b 3 0 1 0 5 seja simétrica 3 Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica 4 Determine a b c x y z para que a matriz 2x a b a 2b 6 y2 2c 5 8 z 1 seja antisimétrica 5 Sendo A 2 1 0 1 3 2 e B 0 1 7 3 4 5 determine A B 6 Determine a b e c para que a 3 2a c 0 2 b 3 1 1 4 3 2 0 5 3 4 1 7 Dada A 3 5 4 2 determine a matriz B tal que A B é a matriz nula de M2 R 8 Considere as matrizes A 5 1 2 B 1 2 3 e C 0 2 1 Determine a matriz X em cada caso a X 2A 3B b X A B CT 2X c X BT 3AT 12 C 9 Sendo A 9 4 2 6 12 11 e B 8 7 9 12 19 2 determine as matrizes X e Y tais que 2X Y A X 2Y B 10 Sendo AB M mn R use as propriedades vistas nesta aula para simplificar a expressão 3 2AT BT 5 15 BT AT 35 B T Autoavaliação Você deve se sentir à vontade para operar com matrizes nas formas vistas nesta aula transpor somar e multiplicar por um escalar São operações de realização simples que seguem a nossa intuição Além disso é importante que você reconheça a utilidade das propriedades no sentido de nos dar mobilidade na hora de operarmos com matrizes Propriedades de operações não são para serem decoradas mas apreendidas assimiladas utilizadas ao pôr a teoria em prática Se você sentiu qualquer dificuldade ao acompanhar a aula ou ao resolver os exercícios propostos peça auxílio ao tutor da teoria O importante é que caminhemos juntos nesta jornada Até a próxima aula Respostas dos exercícios 1 3 3 1 5 2 1 3 0 2 a1 b3 4 a73 b113 c4 x0 y0 z1 5 2 2 7 2 1 7 6 a3 b1 c2 7 3 5 4 2 8 a 7 8 5 b 4 1 0 c 14 6 72 9 X 2 3 1 0 1 4 Y 5 2 4 6 10 3 10 A B Operacoes com matrizes multiplicacao M ODULO 1 AULA 3 Aula 3 Operacoes com matrizes multiplicacao Objetivos Reconhecer quando e possıvel multiplicar duas matrizes Obter a matriz produto de duas matrizes Aplicar as propriedades da multiplicao de matrizes Identificar matrizes inversıveis Se vocˆe ja foi apresentado a multiplicacao de matrizes pode ter se perguntado por que a definicao foge tanto daquilo que nos pareceria mais facil e natural simplesmente multiplicar os termos correspondentes das duas matrizes que para isso deveriam ser de mesma ordem Poderia ser assim Poderia Entao por que nao e Em Matematica cada definicao e feita de modo a possibilitar o desen volvimento da teoria de forma contınua e coerente E por essa razao que definimos por exemplo 0 1 e a0 1 a 0 O caso 00 e mais delicado do que parece Se vocˆe tem interesse nesse problema vai gostar de ler o artigo de Elon Lages Lima na Revista do Professor de Matematica RPM n 7 Nao irıamos muito longe no estudo das matrizes caso a multiplicacao fosse definida nos moldes da adicao Vocˆe vera nesta aula o significado dessa operacao no modo como e definida Mais tarde quando estudar mos transformacoes lineares no Modulo 2 ficara ainda mais evidente a importˆancia de multiplicarmos matrizes da maneira como veremos a seguir Venha conosco Vamos voltar aos nossos alunos de Lugar Lindo Ja e tempo de calcular suas notas finais A ultima matriz obtida na Aula 2 fornecia as notas numa escala de 0 a 100 N 50 62 70 57 70 73 85 100 80 77 65 71 92 90 70 82 70 72 68 78 Lembrando as duas primeiras colunas indicam as notas das avaliacoes 29 CEDERJ Operacoes com matrizes multiplicacao a distˆancia e as duas ultimas as notas das avaliacoes presenciais dos alunos Ana Beatriz Carlos Daniela e Edson nessa ordem Vamos supor que as avaliacoes a distˆancia tenham cada uma peso 1 num total de 10 Isto e cada uma colabora com 1 10 ou 10 da nota final Para completar cada avaliacao presencial tera peso 4 ou seja repre sentara 4 10 ou 40 da nota final Entao a nota final de cada aluno sera dada por NF 10 100AD1 10 100AD2 40 100AP1 40 100AP2 Em vez de escrever uma expressao como essa para cada um dos 5 alunos podemos construir uma matrizcoluna P contendo os pesos das notas na ordem como aparecem no calculo de NF P 10100 10100 40100 40100 e efetuar a seguinte operacao NP 50 62 70 57 70 73 85 100 80 77 65 71 92 90 70 82 70 72 68 78 10100 10100 40100 40100 10 10050 10 10062 40 10070 40 10057 10 10070 10 10073 40 10085 40 100100 10 10080 10 10077 40 10065 40 10071 10 10092 10 10090 40 10070 40 10082 10 10070 10 10072 40 10068 40 10078 62 88 70 79 73 O que fizemos tomamos duas matrizes tais que o numero de termos em cada linha da primeira e igual ao numero de termos de cada coluna da segunda Ou seja o numero de colunas da primeira coincide com o numero de linhas da segunda 4 no nosso exemplo Dessa forma podemos multiplicar os pares de elementos varrendo simultaneamente uma linha da 1a matriz e uma coluna da 2a Depois somamos os produtos obtidos CEDERJ 30 Note que ao considerarmos a iésima linha da 1ª matriz e a jésima coluna da 2ª geramos o elemento na posição ij da matriz produto Formalmente temos a seguinte definição Multiplicação de matrizes Sejam A aik Mmxpℝ e B bkj Mpnℝ A matriz produto de A por B é a matriz AB cij Mmnℝ tal que cij k1p aik bkj i 1 m j 1 n Exemplo 19 Sejam A 3 2 1 4 0 7 e B 1 3 10 2 1 5 0 5 2 6 4 2 Como A é do tipo 2 3 e B é do tipo 3 4 existe a matriz AB e é do tipo 2 4 AB 3 2 1 4 0 71 3 10 2 1 5 0 5 2 6 4 2 3 2 2 9 10 6 30 0 4 6 10 2 4 0 14 12 0 42 40 0 28 8 0 14 1 13 26 18 18 54 68 6 Observe que neste caso não é possível efetuar BA A seguir veremos alguns exemplos e a partir deles tiraremos algumas conclusões interessantes a respeito da multiplicação de matrizes Exemplo 20 Sejam A 2 4 3 1 e B 3 2 5 6 Então AB 2 4 3 13 2 5 6 6 20 4 24 9 5 6 6 26 28 4 0 e BA 3 2 5 62 4 3 1 6 6 12 2 10 18 20 6 12 10 28 14 Note que o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem n existe e é também uma matriz quadrada de ordem n Assim a multiplicação pôde ser efetuada nos dois casos isto é nas duas ordens possíveis mas as matrizes AB e BA são diferentes Exemplo 21 Sejam A 1 2 3 4 e B 1 4 6 7 Temos que AB 1 2 3 41 4 6 7 112 414 324 1228 13 18 27 40 e BA 1 4 6 71 2 3 4 112 216 621 1228 13 18 27 40 Neste caso AB BA Quando isso ocorre dizemos que as matrizes A e B comutam Exemplo 22 Consideremos as matrizes A 3 2 1 4 6 5 e B 4 19 26 Efetuando AB obtemos a matriz 0 0 Note que diferentemente do que ocorre com os números reais quando multiplicamos matrizes o produto pode ser a matriz nula sem que qualquer dos fatores seja a matriz nula Exemplo 23 Vamos calcular AB sendo A 1 2 3 4 e B 2 1 32 12 Temos que AB 2 3 11 6 6 32 1 0 0 1 I2 Quando isso ocorre isto é quando o produto de duas matrizes A e B quadradas é a identidade obviamente de mesma ordem das matrizes dizemos que A é inversível e que B é a sua inversa Uma matriz inversível sempre comuta com sua inversa Você pode verificar isso calculando BA Na próxima aula estudaremos um método bastante eficiente para determinar caso exista a matriz inversa de uma matriz dada Propriedades da multiplicação de matrizes i ABC ABC A Mmnℝ B Mnpℝ C Mpqℝ Isto é a multiplicação de matrizes é associativa De fato sejam A aij B bjk e C ckl O termo de índices ik da matriz AB é dado pela expressão j1n aij bjk Então o termo de índices il da matriz ABC é dado por k1p j1n aij bjkckl j1n aij k1p bjk ckl que é o termo de índices il da matriz ABC pois k1p bjk ckl é o termo de índices jl da matriz BC Logo ABC ABC ii AB C AB AC A Mmnℝ B C Mnpℝ Isto é a multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição de matrizes De fato sejam A aij B bjk e C cjk O termo de índices jk de B C é dado por bjk cjk Então o de índices ik da matriz AB C é j1n aij bjk cjk j1n aij bjk aij cjk j1n aij bjk j1n aij cjk que é o termo de índices ik da matriz dada por AB AC Isto é AB C AB AC De forma análoga provase que A BC AC BC iii λAB λAB AλB λ ℝ A Mmnℝ B Mnpℝ De fato sejam A aij e B bjk O termo de índices ik de λAB é dado por λj1n aij bjk j1n λaij bjk j1n λaij bjk que é o termo de índices ik de λAB Isto é λAB λAB De forma análoga provase que λAB AλB Logo λAB λAB AλB iv Dada A Mmnℝ Im A A In A De fato sejam A aij e Im δij onde δij 1 se i j 0 se i j Então o termo de índices ij de Im A é dado por k1n δik akj δi1 a1j δi2 a2j δii aij δin anj 0a1j 0a2j 1aij 0anj aij que é o termo de índices ij de A Logo Im A A Analogamente provase que A In A Isto é Im A A In A v Dadas A Mmnℝ B Mnpℝ ABT BT AT De fato sejam A aij e B bjk O termo de índices ik de AB é dado por j1n aij bjk que é também o termo de índices ki da A função δij assim definida é chamada delta de Kronecker nos índices i e j Matizes inversíveis também são chamadas de invertíveis ou de nãosingulares matriz ABT Sendo BT bkj e AT aji onde bkj bjk e aji aij i 1 m j 1 n podemos escrever j1n aij bjk j1n bkj aji que é o termo de índices ki da matriz BT AT Logo ABT BT AT Potências de matrizes Quando multiplicamos um número real por ele mesmo efetuamos uma potenciação Se a é um número real indicamos por an o produto a a a onde consideramos n fatores iguais a a Analogamente quando lidamos com matrizes definimos a potência de expoente n ou a nésima potência de uma matriz quadrada A como sendo o produto A A A onde há n fatores iguais a A Exemplo 24 Dada A 5 4 3 1 temos A2 A A 5 4 3 15 4 3 1 13 24 18 11 e A3 A2 A 13 24 18 115 4 3 1 7 76 57 83 Quando calculamos sucessivas potências de uma matriz podem ocorrer os seguintes casos especiais An A para algum n natural Nesse caso dizemos que a matriz A é periódica Se p é o menor natural para o qual Ap A dizemos que A é periódica de período p Particularmente se p 2 a matriz A é chamada idempotente An O para algum n natural Nesse caso dizemos que a matriz A é nihipotente Se p é o menor natural para o qual Ap O a matriz A é dita ser nihilpotente de índice p Lêse nilpotente A palavra nihil significa nada em latim Exemplo 25 Efetuando a multiplicação de A por ela mesma você poderá constatar que a matriz A em cada caso é idempotente 2 Determine ABT 2C dadas A 1 2 2 5 0 3 B 4 2 2 1 1 7 C 7 9 1 6 4 2 8 10 3 3 Verifique em caso se B é a matriz inversa de A a A 2 3 1 6 e B 23 13 19 29 b A 1 5 3 2 e B 6 5 1 1 4 Resolva a equação matricial 3 1 2 5a b c d 5 15 8 7 5 Determine a e b para que as matrizes A 2 3 9 5 e B a 1 3 b comutem 6 Determine todas as matrizes que comutam com A em cada caso a A 1 2 4 5 b A 0 1 3 1 7 Dadas as matrizes A 1 3 2 5 e B 1 4 0 2 calcule a A2 b B3 c A2 B3 8 As matrizes A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 e B 3 9 1 3 são nihilpotentes Determine o índice de cada uma Autoavaliação É muito importante que você se sinta bem à vontade diante de duas matrizes a multiplicar Assimilada a definição repita os exemplos e os exercícios que tenham deixado alguma dúvida Caso haja alguma pendência não hesite em contactar o tutor da disciplina É essencial que caminhemos juntos Até a próxima aula Respostas dos exercícios 1 a AB 30 70 bAB 14 24 7 12 cAB 18 15 9 6 5 3 12 10 6 2 6 14 11 6 1 29 10 17 27 3 a sim pois AB I2 b não 4 1 4 2 3 5 a 1 b 0 6 a x z2 z x z x z R b x y 3y x yxy R 7 a 5 18 12 19 b 1 12 0 4 c 1 28 0 8 8 a 3 b 2 Aula 4 Operações com matrizes inversão Objetivos Obter a matriz inversa caso exista pela definição Aplicar operações elementares às linhas de uma matriz Obter a matriz inversa caso exista por operações elementares Reconhecer matrizes ortogonais Na aula 3 vimos que dada uma matriz A Mnℝ se existe uma matriz B Mnℝ tal que AB In a matriz A é dita inversível e a matriz B é a sua inversa e podemos escrever B A1 Uma matriz inversível sempre comuta com sua inversa logo se AB In então BA In e A é a inversa de B Dada uma matriz quadrada A não sabemos se ela é ou não inversível até procurar determinar sua inversa e isso não ser possível Para descobrir se uma matriz é ou não inversível e em caso afirmativo determinar sua inversa só contamos até o momento com a definição Assim dada uma matriz A de ordem n escrevemos uma matriz também de ordem n cujos elementos são incógnitas a determinar de modo que o produto de ambas seja a identidade de ordem n Vamos a um exemplo Exemplo 27 Em cada caso vamos determinar caso exista a matriz inversa de A 1 A 2 5 1 3 Seja B x y z t a matriz inversa de inversa de A então AB I2 2 5 1 3x y z t 1 0 0 1 2x 5z 2y 5t x 3z y 3t 1 0 0 1 Essa igualdade gera um sistema de 4 equações e 4 incógnitas 2x 5z 1 2y 5t 0 x 3z 0 y 3t 1 Note que esse sistema admite dois subsistemas de 2 equações e 2 incógnitas 2x5z1 e 2y5t0 x3z0 y3t1 Resolvendo cada um deles obtemos x3y5z1t2 Logo a matriz A é inversível e sua inversa é A¹3 5 1 2 2 A6 3 8 4 Procedendo com no item anterior escrevemos A6 3 8 4x y z t1 0 0 16x3z 6y3t 8x4z 8y4t1 0 0 1 Obtemos então os sistemas 6x3z1 e 6y3t1 8x4z0 8y4t1 Ao resolver esses sistemas porém vemos que não admitem solução tente resolvêlos por qualquer método Concluímos então que a matriz A não é inversível Você viu que ao tentar inverter uma matriz de ordem 2 recaímos em dois sistemas cada um de duas equações e duas incógnitas Se a matriz a ser invertida for de ordem 3 então o problema recaírá em três sistemas cada um com três equações e três incógnitas Já dá pra perceber o trabalho que teríamos para inverter uma matriz de ordem superior nem precisamos pensar numa ordem muito grande para inverter uma matriz 55 teríamos que resolver 5 sistemas cada um de 5 equações e 5 incógnitas Temos então que determinar uma outra maneira de abordar o problema Isso será feito com o uso de operações que serão realizadas com as linhas da matriz a ser invertida Essas operações também poderiam ser definidas de forma análoga sobre as colunas da matriz Neste curso como só usaremos operações elementares aplicadas às linhas nós nos referiremos a elas simplesmente como operações elementares e não operações elementares sobre as linhas da matriz Vamos à caracterização dessas operações Operações elementares Dada AMmnR chamamse operações elementares as seguintes ações Operacoes com matrizes inversao M ODULO 1 AULA 4 1 Permutar duas linhas de A Indicamos a troca das linhas Li e Lj por Li Lj 2 Multiplicar uma linha de A por um numero real nao nulo Indicamos que multiplicamos a linha Li de A pelo numero real λ escre vendo Li λLi 3 Somamos a uma linha de A uma outra linha multiplicada por um numero real Indicamos que somamos a linha Li a linha Lj multiplicada pelo numero real λ por Li Li λLj Exemplo 28 Vamos aplicar algumas operacoes elementares as linhas da matriz A 3 2 5 0 1 6 8 4 2 1 3 2 5 0 1 6 8 4 2 L1 L3 8 4 2 0 1 6 3 2 5 2 3 2 5 0 1 6 8 4 2 L2 3L2 3 2 5 0 3 18 8 4 2 3 3 2 5 0 1 6 8 4 2 L2 L2 2L3 3 2 5 16 9 2 8 4 2 Consideremos o conjunto MmnR Se ao aplicar uma sequˆencia de operacoes elementares a uma matriz A obtemos a matriz B dizemos que B e equivalente a A e indicamos por B A Fica definida assim uma relacao no conjunto MmnR que e 1 reflexiva A A 2 simetrica se A B entao B A 3 transitiva se A B e B C entao A C Isto e a relacao e uma relacao de equivalˆencia no conjunto MmnR Assim se A B ou se B A podemos dizer simplesmente que A e B sao equivalentes 41 CEDERJ Operacoes com matrizes inversao Lembremos que nosso objetivo e determinar um metodo para encontrar a inversa de uma matriz caso ela exista que seja mais rapido e simples do que o uso da definicao Para isso precisamos do seguinte resultado Teorema 1 Seja A MnR Entao A e inversıvel se e somente se A In Se A e inversıvel a mesma sucessao de operacoes elementares que transformam A em In transformam In na inversa de A Vocˆe podera encontrar a demonstracao desse teorema no livro Algebra Linear e Aplicacoes de Carlos Callioli Hygino Domingues e Roberto Costa da Atual Editora Apˆendice do Capıtulo 1 Este metodo permite determinar durante sua aplicacao se a matriz e ou nao inversıvel A ideia e a seguinte 1 Escrevemos ladoalado a matriz que queremos inverter e a matriz identidade de mesma ordem segundo o esquema A I 2 Por meio de alguma operacao elementar obtemos o numero 1 na posicao 11 3 Usando a linha 1 como linhapivˆo obtemos zeros nas outras posicoes da coluna 1 para isso fazemos uso da terceira operacao elementar 4 Por meio de uma operacao elementar obtemos o numero 1 na posicao 22 5 Usando a linha 2 como linhapivˆo obtemos zeros nas outras posicoes da coluna 2 para isso fazemos uso da terceira operacao elementar 6 Passamos para a terceira coluna e assim por diante 7 Se em alguma etapa do procedimento uma linha toda se anula po demos concluir que a matriz em questao nao e inversıvel nesse caso nenhuma operacao elementar igualaria essa linha a uma linha da matriz identidade 8 Se chegarmos a matriz identidade entao a matriz a direita no esquema sera a matriz inversa procurada Veja os dois exemplos a seguir CEDERJ 42 Exemplo 29 1 A3 1 2 1 0 3 4 2 5 Escrevemos na forma esquemática 3 1 2 1 0 0 1 0 3 0 1 0 4 2 5 0 0 1 L₂ L₂ 3 1 2 1 0 0 L₁ L₂ 1 0 3 0 1 0 4 2 5 0 0 1 1 0 3 0 1 0 3 1 2 1 0 0 L₂ L₂ 3L₁ 4 2 5 0 0 1 L₃ L₃ 4L₁ 1 0 3 0 1 0 0 1 11 1 3 0 0 2 7 0 4 1 L₃ L₃ 2L₂ 1 0 3 0 1 0 0 1 11 1 3 0 0 0 15 2 2 1 L₃ 115 L₃ 1 0 3 0 1 0 L₁ L₁ 3L₃ 0 1 11 1 3 0 L₂ L₂ 11L₃ 0 0 1 215 215 115 1 0 0 615 915 315 0 1 0 715 2315 1115 0 0 1 215 215 115 Logo a matriz A é inversível e A¹ 1156 9 3 7 23 11 2 2 1 Você poderá verificar que essa é realmente a inversa de A efetuando a multiplicação dela por A e constatando que o produto é I₃ 2 A2 4 1 0 3 2 4 11 4 Escrevendo na forma esquemática 2 4 1 1 0 0 L₁ 12 L₁ 0 3 2 0 1 0 4 11 4 0 0 1 Operacoes com matrizes inversao 1 2 12 12 0 0 0 3 2 0 1 0 4 11 4 0 0 1 L3 L3 4L1 1 2 12 12 0 0 0 3 2 0 1 0 0 3 2 2 0 1 L2 1 3L2 1 2 12 12 0 0 0 1 23 0 13 0 0 3 2 2 0 1 L1 L1 2L2 L3 L3 3L2 1 2 12 12 0 0 0 1 23 0 13 0 0 0 0 2 1 1 Como a terceira linha se anulou podemos parar o processo e concluir que a matriz A nao e inversıvel Propriedades da inversao de matrizes 1 Se A MnR e inversıvel entao A11 A De fato como A1A In temos que A e a inversa de A1 2 Se A B MnR sao inversıveis entao AB e inversıvel e AB1 B1A1 De fato temos ABB1A1 ABB1A1 AInA1 AA1 In Logo B1A1 e a inversa de AB 3 Se A MnR e inversıvel entao AT1 A1T De fato como ATA1T A1AT InT In temos que A1T e a inversa de AT Exemplo 30 Supondo as matrizes A e B inversıveis vamos obter a matriz X nas equacoes abaixo 1 AX B Multiplicando os dois membros da igualdade a esquerda por A1 temos A1AX A1B CEDERJ 44 ou A¹AX A¹B IX A¹B Logo X A¹B 2 AXᵀ B Temos AXᵀ B AXᵀᵀ Bᵀ AX Bᵀ A¹AX A¹Bᵀ A¹AX A¹Bᵀ IX A¹Bᵀ X A¹Bᵀ Para finalizar esta aula vamos definir um tipo especial de matriz quadrada inversível que é aquela cuja inversa coincide com sua transposta Matrizes ortogonais Dizemos que uma matriz A Mnℝ inversível é ortogonal quando A¹ Aᵀ Para verificar se uma matriz A é ortogonal multiplicamos A por Aᵀ e vemos se o produto é a identidade Exemplo 31 A matriz 12 32 32 12 é ortogonal De fato multiplicando essa matriz pela sua transposta temos 12 32 32 1212 32 32 121 0 0 1 Veremos mais tarde que as matrizes ortogonais representam um papel importante na representação de funções especiais chamadas operadores ortogonais Chegaremos lá Resumo O ponto central desta aula é inverter matrizes quando isso é possível Como a definição embora simples não fornece um método prático para a inversão de matrizes definimos as operações elementares que permitem passar gradativamente da matriz inicial a ser invertida para outras numa sucessão que nos leva à matriz identidade Tratase de um método rápido e eficiente que resolve tanto o problema de decidir se a inversa existe ou não como de obtêla no caso de existir Esse é o método implementado pelos pacotes computacionais aqueles programas de computador que nos dão em questão de segundos a inversa de uma matriz Exercícios 1 Em cada caso verifique se a matriz B é a inversa de A a A 3 4 2 3 e B 3 4 2 3 b A 7 3 28 2 1 8 0 0 1 e B 1 3 4 2 7 0 0 0 1 c A 1 3 1 4 e B 4 3 1 1 2 Dadas A 3 1 5 2 e B 4 7 1 2 determine A1 B1 e AB1 3 Supondo as matrizes A B e C inversíveis determine X em cada equação a AXB C b AB CX c AX1 B BC d AX1 BT C 4 Determine caso exista a inversa da matriz A em cada caso a A 3 2 1 4 b A 1 2 3 10 6 10 4 5 2 c A 2 0 0 4 1 0 2 3 1 Operacoes com matrizes inversao M ODULO 1 AULA 4 d A 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 5 Que condicoes λ R deve satisfazer para que a matriz 1 1 1 2 1 2 1 2 λ seja inversıvel Autoavaliacao Vocˆe devera treinar bastante a aplicacao do metodo estudado Faca todos os exercıcios e se possıvel resolva outros mais vocˆe mesmoa podera criar matrizes a inverter e descobrir se sao ou nao inversıveis E facil ao final do processo verificar se a matriz obtida e de fato a inversa procurada isto e se nao houve erros nas contas efetuadas o produto dela pela matriz dada tem que ser a identidade Caso haja alguma duvida em relacao a teoria ou aos exercıcios entre em contato com o tutor da disciplina 47 CEDERJ Respostas dos exercícios 1 a sim b sim c não 2 A1 2 1 5 3 B1 2 7 1 4 AB1 39 23 22 13 3 a X A1 C B1 b X C1 AB c X A1 B C1 B1 d X A1 B CT1 4 a A1 27 17 114 314 b Não existe a inversa de A c A1 12 0 0 2 1 0 7 3 1 d A1 1 0 0 0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 5 λ 1 Aula 5 Determinantes Objetivo Calcular determinantes pelo método da triangularização Determinante é um número associado a uma matriz quadrada Como estamos lidando neste curso apenas com matrizes reais os determinantes que calcularemos serão todos números reais Os determinantes têm inúmeras aplicações na Matemática e em outras áreas Veremos por exemplo que o determinante fornece uma informação segura a respeito da inversibilidade ou não de uma matriz A ênfase desta aula está na aplicação de um método rápido para calcular determinantes fazendo uso de algumas das suas propriedades e de operações elementares já estudadas na Aula 4 Antes porém de nos convencermos de quanto o método que estudaremos é mais eficiente do que o uso direto da definição vamos recordar a definição de determinante devida a Laplace Determinante Dada uma matriz A aij Mnℝ representamos o determinante de A por det A ou escrevendo os elementos de A limitados por barras simples Se A a11 a12 a1n a21 a22 a2n an11 an12 an1n an1 an2 ann representamos o determinante de A por det a11 a12 a1n a21 a22 a2n an11 an12 an1n an1 an2 ann ou a11 a12 a1n a21 a22 a2n an11 an12 an1n an1 an2 ann A definição de determinante é dada de maneira recorrente em relação à ordem da matriz Assim definimos o determinante de ordem 1 a seguir o de ordem 2 e a partir da ordem 3 recaímos em cálculos de determinantes de ordens menores Vamos ver como isso é feito Seja A aij MnR n1 Neste caso A a11 e det A a11 n2 Neste caso A a11 a12 a21 a22 e seu determinante é dado por det A a11a22 a12a21 Exemplo 32 Vamos calcular os determinantes das matrizes abaixo 1 A 3 4 6 8 det A 38 46 24 24 0 2 A 2 5 3 4 det A 8 15 23 3 A sen α cos α cos α sen α det A sen² α cos² α 1 4 A 6 4 3 1 det A 6 12 6 n3 Seja A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Neste caso escolhemos uma linha ou uma coluna para desenvolver o determinante Desenvolvendo o determinante pela 1ª linha obtemos det A a11111 a22 a23 a32 a33 a12112 a21 a23 a31 a33 a13113 a21 a22 a31 a32 Note que o determinante de uma matriz de ordem 2 é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária Esses produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundário da matriz Exemplo 33 det 2 5 3 0 4 5 3 1 2 2111 4 5 1 2 5112 0 5 3 2 3113 0 4 3 1 28 5 50 15 30 12 85 Observação Existe uma regra prática para o cálculo do determinante de ordem 3 conhecida como Regra de Sarrus Ela afirma que a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 Desenvolvendo os produtos indicados na definição de determinante de ordem 3 você poderá ver que as expressões coincidem Exemplo 34 Vamos calcular novamente o determinante do exemplo anterior agora usando a Regra de Sarrus 2 5 3 0 4 5 3 1 2 242553 301 343251502 16 75 36 10 85 n4 Seja A a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 Desenvolvendo o determinante pela 1ª linha obtemos det A a11111 det A11 a12112 det A12 a13113 det A13 a14114 det A14 onde Aij representa a matriz obtida a partir de A com a retirada da iésima linha e da jésima coluna Observe que recaímos no cálculo de 4 determinantes cada um de ordem 3 Para n 5 a definição é análoga iremos recair no cálculo de 5 determinantes cada um de ordem 4 Logo teremos que calcular 5 4 20 determinantes de ordem 3 Como você pode ver os cálculos envolvidos na obtenção de determinantes crescem rapidamente à medida que a ordem do determinante aumenta Temos então que encontrar um método alternativo para calcular determinantes a definição não fornece uma saída rápida para isso Antes porém de estudarmos um método mais eficiente para aplicar usando as propriedades dos determinantes e mais uma vez operações elementares damos a definição do determinante de ordem n desenvolvido pela iésima linha det a11 a12 a1n a21 a22 a2n an11 an12 an1n an1 an2 ann Σ from j1 to n of aij 1ij det Aij Propriedades dos determinantes Na medida do possível daremos uma idéia da demonstração dessas propriedades Para verificar a validade de cada uma delas precisaríamos definir determinantes pelo uso de permutações o que alongaria demais a nossa aula Caso você tenha interesse em conhecer essa abordagem irá encontrála em Álgebra Linear e Aplicações de Carlos Callioli Hygino Domingues e Roberto Costa D1 O determinante de uma matriz é único Isto é não importa por qual linha ou coluna o determinante seja desenvolvido o resultado final é sempre o mesmo Um determinante de ordem 10 exige a realização de 9234099 operações Lêse Sarrí Determinantes M ODULO 1 AULA 5 D2 Dada A MnR det A det AT Em palavras o determinante da transposta e igual ao determinante da matriz De fato a expressao do determinante de A desenvolvido pela iesima linha coincidira termo a termo com a expressao de det AT desenvolvido pela iesima coluna D3 Se A MnR possui uma linha ou uma coluna nula entao det A 0 De fato basta desenvolver det A por essa linha ou coluna nula D4 Se escrevemos cada elemento de uma linha ou coluna de A MnR como soma de 2 parcelas entao det A e a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas e repetindo as demais linhas ou colunas D5 O determinante de uma matriz triangular e o seu termo principal Lembrando o termo princi pal de uma matriz quadrada e o produto dos elementos de sua diagonal principal D6 Se multiplicamos uma linha ou coluna de A MnR por um numero real λ o determinante de A fica multiplicado por λ D7 Se permutamos duas linhas ou colunas de A MnR entao o deter minante de A fica multiplicado por 1 D8 Se A MnR tem duas linhas ou colunas iguais entao det A 0 D9 Se A MnR possui uma linha ou coluna que e soma de multiplos de outras linhas ou colunas entao det A 0 D10 Se somamos a uma linha ou coluna de A MnR um multiplo de outra linha ou coluna o determinante de A nao se altera D11 Se A B MnR entao detAB det A det B D12 Se A MnR e inversıvel entao det A1 det A1 De fato se A e inversıvel existe A1 tal que AA1 I Entao detAA1 det I Pela propriedade D11 det A det A1 det I e pela propriedade D5 temos que det I 1 Logo det A1 1 det A det A1 Uma conclusao importante pode ser tirada a partir da propriedade D12 uma matriz e inversıvel se e somente se seu determinante e diferente de zero Destaquemos esse resultado Seja A MnR A e inversıvel det A 0 53 CEDERJ D13 Se A MnR é ortogonal então det A¹ 1 ou 1 De fato se A é ortogonal A¹ Aᵀ Pela propriedade D2 det A det Aᵀ det A¹ Então pela propriedade D12 det Adet A¹ 1 det Adet Aᵀ 1 det Adet A 1 det A² 1 det A 1 Cálculo de determinantes por triangularização Observe o que diz a propriedade D5 Calcular o determinante de uma matriz triangular é praticamente imediato Dado um determinante a idéia então é aplicar operações elementares sobre suas linhas de modo a triangularizálo Para isso temos que observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado Vejamos 1 Permutar duas linhas Pela propriedade D7 essa operação troca o sinal do determinante 2 Multiplicar uma linha por um número real λ não nulo A propriedade D6 nos diz que essa operação multiplica o determinante por λ 3 Somar a uma linha um múltiplo de outra Pela propriedade D10 essa operação não altera o determinante Diante disso para triangularizar um determinante basta que fiquemos atentos para compensar possíveis alterações provocadas pelas operações elementares utilizadas Vamos a um exemplo Exemplo 35 Calcular por triangularização det 2 5 1 3 0 1 4 2 6 2 5 1 1 3 3 0 L₁L₄ 1 3 3 0 0 1 4 2 6 2 5 1 L₃L₃6L₁ 2 5 1 3 L₄L₄2L₁ 1 3 3 0 0 1 4 2 0 20 23 1 L₃L₃20L₂ 0 1 7 3 L₄L₄L₂ 1 3 3 0 0 1 4 2 0 0 57 39 L₃157L₃ 0 0 3 1 57 1 3 3 0 0 1 4 2 0 0 1 3957 L₄L₄3L₃ 0 0 3 1 571112019 60 Observações 1 Não há uma única maneira de se triangularizar um determinante as operações elementares escolhidas podem diferir mas o resultado é único 2 O método de triangularização é algorítmico ou seja é constituído de um número finito de passos simples a cada coluna da primeira à penúltima devemos obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal Calcule o determinante do próximo exemplo e compare com a nossa resolução dificilmente você optará pela mesma seqüência de operações elementares mas se todos tivermos acertado o resultado será o mesmo Exemplo 36 Vamos calcular 2 4 8 5 4 6 3 0 2 por triangularização 2 4 8 L₁½L₁ 2 1 2 4 5 4 6 2 5 4 6 L₂L₂5L₁ 3 0 2 L₃L₃3L₁ 1 2 4 2 0 14 14 L₂¼L₂ 214 0 6 14 1 2 4 1 2 4 214 0 1 1 214118 224 0 0 8 Exemplo 37 Vamos aplicar as propriedades estudadas nesta aula para dar os determinantes de Aᵀ A¹ e 3A sabendo que A é uma matriz quadrada inversível de ordem 2 e que det A D 2 det A¹ 1D pois o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz dada 3 det 3A 3²D 9D pois A possui 2 linhas e cada linha multiplicada por 3 implica multiplicar o determinante por 3 Exemplo 38 Determine x tal que 2x x2 14 4 x Temos 2xx 4x2 14 2x² 4x 6 0 x 1 ou x 3 Exemplo 39 Determine x para que a matriz A x 1 20 x x seja inversível Sabemos que A é inversível se e somente se det A 0 Queremos então x² 20 x 0 x² x 20 0 x 4 e x 5 Resumo Nesta aula recordamos a definição de determinante e vimos que não se trata de um método prático para calcular determinantes de ordens altas Vimos as propriedades dos determinantes e com o uso de quatro delas pudemos facilitar o cálculo de determinantes aplicando operações elementares e transformando o determinante original num triangular Tal método chamado triangularização permite que determinantes de ordens altas sejam obtidos sem que tenhamos que recair numa seqüência enorme de determinantes de ordens menores a serem calculados Veja que esta aula não apresentou nenhuma grande novidade em termos de teoria foi uma aula mais prática que apresentou uma técnica útil de cálculo Exercícios 1 Calcule por triangularização os seguintes determinantes a 3 2 4 1 0 2 5 6 2 b 2 3 1 7 2 3 0 4 1 5 4 3 2 4 5 0 c 10 2 6 2 1 6 5 4 2 2 Dada A in MnmathbbR tal que det A D determine a det AT b det A1 c det 2A 3 Seja det A beginbmatrix a b c d e f g h i endbmatrix 10 Calcule usando as propriedades dos determinantes a beginvmatrix a b c d e f g h i endvmatrix b beginvmatrix a b c g h i d e f endvmatrix c beginvmatrix a b c d2 e2 f2 g h i endvmatrix d beginvmatrix a d g b e h c f i endvmatrix e beginvmatrix 2a 2b 2c g h i d e f endvmatrix f beginvmatrix a b c gd he if d e f endvmatrix 4 Calcule x para que beginvmatrix x2 2 x 4 0 5 6 2x x endvmatrix 14 5 Sejam AB in MnmathbbR tais que det A 4 e det B 5 Determine a det AB b det 3A c detAB1 d detA e det A1B 6 Determine x para que a matriz A beginbmatrix x x2 1 x endbmatrix seja inversível Determinantes Autoavaliacao Vocˆe deve estar bem treinado para calcular determinantes pelo metodo da triangularizacao Veja que se trata de um calculo ingrato nao ha como verificar se estamos certos a nao ser refazendo e comparando os resultados Por isso embora se trate de uma tecnica simples algorıtmica exige atencao Caso vocˆe tenha sentido duvidas procure o tutor da disciplina Respostas dos exercıcios 1 a 84 b1099 c 266 2 aD b1D c2nD 3 a 10 b 10 c5 d10 e 20 f10 4 x 1 ou x 23 9 5 Sejam A B MnR tais que det A 4 e det B 5 Determine a det AB det A det B 4 5 20 b det 3A 34 det A 3n 4 43n c detAB1 detAB1 201 120 d detA 1n 4 sera 4 se n for par e 4 se n for ımpar e det A1B det A1 det B 14 5 54 6 x 1 e x 2 CEDERJ 58 Sistemas lineares M ODULO 1 AULA 6 Aula 6 Sistemas lineares Objetivo Resolver e classificar sistemas lineares usando o metodo do escalonamento Prerequisitos Aulas 1 a 4 Grande parte dos problemas estudados em Algebra Linear recaem na resolucao ou discussao de sistemas de equacoes lineares O mesmo acon tece com muitos problemas das demais areas da Matematica da Fısica e da Engenharia Vocˆe com certeza ja tomou conhecimento de diferentes tecnicas de resolucao desses sistemas substituicao adicao comparacao en tre outras Nesta aula e na proxima estudaremos um metodo que permite um tratamento eficiente de sistemas de equacoes lineares seja para obter seu conjuntosolucao seja para classificalo ou mesmo para impor condicoes quanto a existˆencia ou quantidade de solucoes Equacoes lineares Uma equacao linear e uma equacao do tipo Uma equacao e uma sentenca matematica aberta isto e com variaveis onde duas expressoes sao ligadas pelo sinal Ex 2x 1 0 x2 2x 6 etc a1x1 a2x2 anxn b Isto e tratase de uma equacao na qual cada termo tem grau no maximo igual a 1 Os elementos de uma equacao linear sao O grau de um termo ou monˆomio e a soma dos expoentes das variaveis Ex xy tem grau 2 x2y3 tem grau 5 16 tem grau zero variaveis ou incognitas x1 xn coeficientes a1 an R termo independente b R Exemplo 40 Sao equacoes lineares 3x1 2x2 17 0 2x 3y 4z 1 4a 5b 4c d 10 x 2 Sao equacoes naolineares 59 CEDERJ Sistemas lineares x2 5x 6 0 3xy x 4 0 2x 3y 1 3 x 9 0 Uma solucao de uma equacao com n variaveis e uma nupla ordenada de numeros reais os quais quando substituıdos no lugar das variaveis respectivas na equacao fornecem uma sentenca matematica verdadeira Resolver uma equacao e encontrar o conjunto de todas as suas solucoes chamado conjuntosolucao da equacao Exemplo 41 1 O par ordenado 3 2 e uma solucao da equacao nao linear x24y 1 pois 32 42 9 8 1 2 O conjuntosolucao da equacao linear 3x 1 5 e 2 3 A equacao linear x y 10 possui infinitas solucoes Os pares orde nados 2 8 3 13 0 10 15 495 sao apenas algumas delas Sistemas de equacoes lineares Um sistema de equacoes lineares ou simplesmente um sistema linear e um conjunto de equacoes lineares que devem ser resolvidas simultanea mente Isto e uma solucao do sistema e solucao de cada equacao linear que o compoe Resolver um sistema de equacoes lineares e determinar o conjunto formado por todas as suas solucoes chamado conjuntosolucao do sistema Um sistema linear com m equacoes e n incognitas tem a seguinte forma a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm Exemplo 42 Sao sistemas de equacoes lineares CEDERJ 60 Sistemas lineares begincases 2x y 3 4x 5y 0 endcases begincases x 2y 3z 1 2x 5y z 5 3x 6y 10 4x y 2z 1 endcases begincases 2a 3b 1 a b 5 5a 2b 8 endcases begincases x1 2x2 5x3 0 2x1 x2 2 endcases Classificação de um sistema linear quanto à solução Um sistema linear pode ter ou não solução Se tem solução pode ter uma só ou mais de uma Podemos então classificar um sistema linear quanto à existência e quantidade de soluções em três tipos Compatível ou possível e determinado quando possui uma única solução Compatível e indeterminado quando possui mais de uma solução Incompatível ou impossível quando não possui solução Podemos pensar num sistema de equações lineares como sendo um conjunto de perguntas a responder qual o valor de cada incógnita Cada equação fornece uma informação uma dica a respeito dessas incógnitas Se tivermos informações coerentes e em quantidade suficiente encontraremos uma solução que será única Se essas informações forem coerentes entre si mas em quantidade insuficiente não conseguiremos determinar umaauma cada solução mas poderemos caracterizar o conjunto delas Finalmente se as informações não forem coerentes entre si ou seja se forem incompatíveis o sistema não terá solução Exemplo 43 Sem ter que aplicar regras de resolução podemos ver que 1 O sistema begincases x y 3 x y 1 endcases possui uma única solução o par 21 2 O sistema begincases x y 3 2x 2y 6 endcasespossui mais de uma solução os pares 12 03 30 21 32 32 são algumas delas 3 O sistema begincases x y 3 x y 4 endcasesnão possui solução A soma de dois números reais é única Resolver um sistema é um pouco como brincar de detetive Sistemas lineares homogêneos Dizemos que um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações que o compõem são iguais a zero Exemplo 44 São sistemas lineares homogêneos Observe que um sistema linear homogêneo em n incógnitas sempre admite a solução underbrace000n elementos chamada solução trivial Logo um sistema linear homogêneo é sempre compatível Quando é determinado possui somente a solução trivial Quando é indeterminado possui outras soluções além da trivial chamadas obviamente soluções nãotriviais Já é hora de resolvermos sistemas lineares Dissemos no início da aula que faríamos isso usando um método eficiente Esse método lida com matrizes associadas ao sistema a ser tratado Vamos então caracterizar essas matrizes Matrizes associadas a um sistema linear Dado um sistema linear com m equações e n incógnitas destacamos as seguintes matrizes A solução trivial também é conhecida como solução nula ou ainda solução imprópria Sistemas lineares M ODULO 1 AULA 6 matriz m n dos coeficientes a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn matriz ou vetor m 1 dos termos independentes b1 b2 bm matriz aumentada ou ampliada m n 1 do sistema a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm Exemplo 45 O sistema linear 2x 3y 4z 18 x y 2z 5 x 3z 4 possui matriz de coeficientes matriz de termos independentes matriz aumentada 2 3 4 1 1 2 1 0 3 18 5 4 2 3 4 18 1 1 2 5 1 0 3 4 Resolucao de sistemas lineares por escalonamento Observe o sistema linear a seguir 2x y z 3 3y z 1 2z 4 Note que para resolvˆelo basta 63 CEDERJ Sistemas lineares determinar o valor de z na terceira equacao substituir o valor de z na segunda equacao e obter y substituir y e z na primeira equacao e obter x num processo chamado metodo das substituicoes regressivas A resolucao do sistema ficou bastante facilitada Vejamos a matriz aumentada desse sistema 2 1 1 3 0 3 1 1 0 0 2 4 Observe que a partir da segunda linha o numero de zeros iniciais sem pre aumenta Quando isso acontece dizemos que a matriz esta escalonada Sistemas com matrizes associadas na forma escalonada podem ser resolvidos pelo metodo das substituicoes regressivas como vimos acima O problema entao e Dado um sistema linear como transformar sua matriz associada em uma escalonada E como fazer isso sem alterar seu conjuntosolucao Dizemos que dois sistemas lineares sao equivalentes quando possuem o mesmo conjuntosolucao Nosso objetivo portanto e migrar de um sistema para outro que lhe seja equivalente e de resolucao mais simples Nos ja estudamos na aula 4 as operacoes elementares que podemos efetuar sobre as linhas de uma matriz Vamos recordar quais sao elas 1 Permutar duas linhas Notacao Li Lj 2 Multiplicar uma linha por um numero real nao nulo Notacao Li λLi 3 Somar a uma linha um multiplo de uma outra Neste caso dizemos que Lj e a linha pivˆo Notacao Li Li λLj Podese mostrar que Vocˆe pode encontrar essas passagens em detalhes no livro Algebra Linear e Aplicacos de Collioli Domingues e Costa da Atual Editora Seja S um sistema linear com matriz aumentada A Se aplicamos as linhas de A operacoes elementares obtemos uma matriz A tal que o sistema linear S de matriz aumentada A e equivalente a S CEDERJ 64 Sistemas lineares M ODULO 1 AULA 6 A ideia entao e dado um sistema S de matriz aumentada A aplicar operacoes elementares as linhas de A obtendo uma matriz escalonada A e resolver o sistema associado S conforme mostra o esquema a seguir Sistema linear S equivalentes Sistema linear S matriz A operacoes elementares matriz escalonada A Vamos ver uma serie de exemplos para vocˆe se familiarizar com o metodo Em vez de simplesmente ler o exemplo efetue cada operacao elementar indicada para depois comparar com a matriz apresentada na sequˆencia Exemplo 46 Vamos resolver por escalonamento o sistema linear S x 2y 5z 28 2x 3y z 1 4y z 13 Vamos escrever a matriz aumentada desse sistema A 1 2 5 28 2 3 1 1 0 4 1 13 Vamos obter zerosna primeira coluna da segunda linha em diante Para isso aplicaremos a terceira operacao elementar usando a primeira linha como pivˆo Note que neste caso como o elemento da terceira linha ja e zero precisamos apenas obter zero na segunda linha Para isso vamos multiplicar a primeira linha por 2 e somar o resultado com a segunda linha 1 2 5 28 2 3 1 1 0 4 1 13 L2 L2 2L1 1 2 5 28 0 1 11 57 0 4 1 13 Passemos agora para a segunda coluna nao usaremos mais a primeira linha ela esta pronta Queremos obter zero abaixo da segunda linha Para isso multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos a terceira 1 2 5 28 0 1 11 57 0 4 1 13 L3 L3 4L2 1 2 5 28 0 1 11 57 0 0 43 215 65 CEDERJ Sistemas lineares Pronto a matriz esta escalonada Vamos agora escrever o sistema S associado a ela S x 2y 5z 28 y 11z 57 43z 215 Da terceira equacao obtemos z 21543 5 Substituindo na segunda obtemos y 2 Finalmente substituindo os valores ja obtidos na primeira equacao temos x 1 Como S e S sao sistemas lineares equivalentes essa tambem e a solucao do sistema S dado Logo o conjuntosolucao procurado e 1 2 5 Alem disso podemos classificar o sistema S ele e compatıvel e determinado Exemplo 47 Vamos resolver o sistema linear S 2x y 5z 1 x 3y 4z 7 5y z 15 x 2y 3z 8 Sua matriz aumentada e 2 1 5 1 1 3 4 7 0 5 1 15 1 2 3 8 Vocˆe deve ter notado que quando o elemento na linha pivˆo na coluna em que estamos trabalhando e 1 ou 1 os calculos ficam facilitados Entao vamos aproveitar o fato de ter 1 na primeira posicao da segunda linha e permutar as linhas 1 e 2 2 1 5 1 1 3 4 7 0 5 1 15 1 2 3 8 L1 L2 1 3 4 7 2 1 5 1 0 5 1 15 1 2 3 8 Vamos obter zeros na primeira coluna abaixo da primeira linha usando a primeira linha como pivˆo CEDERJ 66 Sistemas lineares M ODULO 1 AULA 6 1 3 4 7 2 1 5 1 0 5 1 15 1 2 3 8 L2 L2 2L1 L4 L4 L1 1 3 4 7 0 5 3 15 0 5 1 15 0 5 7 15 Passemos para a segunda coluna Para obter 1 na posicao pivˆo dividi mos toda a segunda linha por 5 1 3 4 7 0 5 3 15 0 5 1 15 0 5 7 15 L2 15L2 1 3 4 7 0 1 35 3 0 5 1 15 0 5 7 15 Agora usando a linha 2 como liha pivˆo vamos obter zeros na segunda coluna abaixo da segunda linha 1 3 4 7 0 1 35 3 0 5 1 15 0 5 7 15 L3 L3 5L2 L4 L4 5L2 1 3 4 7 0 1 35 3 0 0 4 0 0 0 4 0 Para finalizar o escalonamento precisamos obter trˆes zeros inicias na quarta linha ou seja obter um zero na posicao i 4 j 3 Nas passagens acima usamos a segunda operacao elementar par obter 1 na posicao pivˆo e com isso ter os calculos facilitados na obtencao dos zeros Devemos porem estar atentos a posssıveis vantagens que um sistema em particular pode ofere cer Neste exemplo se simplesmente somarmos a linha 3 a linha 4 ja obtere mos o zero procurado 1 3 4 7 0 1 35 3 0 0 4 0 0 0 4 0 L4 L4 L3 1 3 4 7 0 1 35 3 0 0 4 0 0 0 0 0 A matriz esta escalonada Vamos escrever o sistema associado S x 3y 4z 7 y 3z5 3 4z 0 Resolvendo por substituicoes regressivas obtemos z 0 y 3 x 2 Logo o sistema S e compatıvel e determinado e seu conjuntosolucao e 2 3 0 Exemplo 48 Vamos resolver o sistema linear S 3a 2b c 2d 3 a 3c 2d 1 a 5b 4c 4 Acompanhe a sequˆencia de operacoes elementares que aplicremos para 67 CEDERJ Sistemas lineares escalonar a matriz aumentada de S 3 2 1 2 3 1 0 3 2 1 1 5 4 0 4 L1 L3 1 0 3 2 1 3 2 1 2 3 1 5 4 0 4 L2 L2 3L1 L3 L3 L1 1 0 3 2 1 0 2 10 4 6 0 5 1 2 3 L2 12L2 1 0 3 2 1 0 1 5 2 3 0 5 1 2 3 L3 L3 5L2 1 0 3 2 1 0 1 5 2 3 0 0 24 12 12 S a 3c 2d 1 b 5c 2d 3 24c 12d 12 Na terceira equacao vamos escrever d em funcao de c d 1 2c Substituindo na segunda equacao obtemos b 1c E na primeira equacao a 1 c Temos neste caso um sistema compatıvel porem indeterminado ele possui infinitas solucoes Fazendo c k seu conjuntosolucao e 1k 1k k 12k k R Exemplo 49 Vamos resolver o sistema S 2x y 3z 3 x y z 1 3x 3y 7z 2 2 1 3 3 1 1 1 1 3 3 7 2 L1 L2 1 1 1 1 2 1 3 3 3 3 7 2 L2 L2 2L1 L3 L3 3L1 1 1 1 1 0 3 5 1 0 6 10 1 L3 L3 2L2 1 1 1 1 0 3 5 1 0 0 0 3 Observe que ao escrever o sistema associado a essa matriz a terceira equacao sera 0x0y0z 3 ou seja 0 3 o que e falso para quaisquer valores de x y e z Logo o sistema S e impossıvel e seu conjuntosolucao e Exemplo 50 Vamos resolver o sistema linear homogˆeneo S a b c 0 a b 0 2b c 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 2 1 0 L2 L2 L1 1 1 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0 L3 L3 L2 CEDERJ 68 Exercícios 1 Provão MEC 2001 O número de soluções do sistema de equações x y z 1 2x 2y 2z 2 5x 5y 5z 7 é A 0 B 1 C 2 D 3 E infinito 2 Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares a 2x y 7 3x 4y 13 x 2y 1 b 3x y 1 2y 5z 11 z t 1 x y z t 10 c 2a b c 4 a b 2c 1 d 2x y z 6 x y 3z 21 3x 2z 15 e x y 3 2x 3y 16 x 2y 9 5x 4y 17 f x y 3 2x 3y 16 x 2y 8 5x 4y 17 g 3x y z 0 x y 2z 0 5x 3y 4z 0 h a 2b 0 3a b 0 5a 3b 0 Autoavaliação Não se preocupe se você ainda hesita sobre qual operação linear usar no processo de escalonamento A familiarização vem com a prática Se necessário refaça os exemplos e exercícios Se sentir dúvidas procure a tutoria Os sistemas lineares aparecerão ao longo de todo o curso e é bom que você esteja ágil no processo de escalonamento para não perder muito tempo com eles ÁLGEBRA LINEAR I Sistemas lineares Sistemas lineares M ODULO 1 AULA 6 Respostas dos exercıcios 1 A 0 Ao escalonar concluımos que o sistema e incompatıvel 2 a Sistema compatıvel determinado Conjuntosolucao 3 1 b Sistema compatıvel determinado Conjuntosolucao 1 2 3 4 c Sistema compatıvel indeterminado Conjuntosolucao 1 k 2 k k k R d Sistema compatıvel indeterminado Conjuntosolucao 5 2k3 16 7k3 k k R e Sistema compatıvel determinado Conjuntosolucao 5 2 f Sistema incompatıvel Conjuntosolucao g Sistema compatıvel indeterminado Conjuntosolucao k4 7k4 k k R h Sistema compatıvel determinado Conjuntosolucao 0 0 71 CEDERJ 1 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 S a b c 0 2b c 0 O sistema é compatível TODO SISTEMA HOMOGÊNEO É COMPATÍVEL e indeterminado Resolvendo a segunda equação para c substituindo na primeira e fazendo b k você poderá conferir que o conjuntosolução é k k 2kk R Discussao de sistemas lineares M ODULO 1 AULA 7 Aula 7 Discussao de sistemas lineares Objetivo Discutir sistemas lineares usando o metodo do escalonamento Prerequisito Aula 6 Discutir um sistema e analisar sob quais condicoes ele admite solucoes e quando estas existem quantas sao Na aula passada vimos que ao final do processo de escalonamento da matriz associada a um sistema linear excluindo as equacoes do tipo 0 0 chegamos a uma entre trˆes situacoes possıveis 1 Existe alguma equacao do tipo 0 a com a 0 Isto e uma equacao impossıvel de ser satisfeita Nesse caso o sistema e incompatıvel e portanto seu conjunto solucao e vazio 2 Nao ha equacoes impossıveis mas obtemos uma quantidade de equacoes menor do que o numero de incognitas Nesse caso o sistema e compatıvel e indeterminado e seu conjunto solucao admite infinitas solucoes Podese provar que um sistema linear que possui mais de uma solucao possui de fato infinitas solucoes Note que o mesmo pode nao ocorrer com um sistema nao linear Por exemplo o sistema x y 0 x2 4 possui exatamente duas solucoes a saber os pares ordenados 2 2 e 2 2 3 Nao ha equacoes impossıveis e obtemos uma quantidade de equacoes igual ao de incognitas Nesse caso o sistema e compatıvel e determinado e seu conjunto solucao e unitario Nesta aula iremos analisar sistemas lineares segundo os valores assu midos por parˆametros presentes nas equacoes assim como impor valores a esses parˆametros para que uma desejada situacao ocorra A seguir para formalizar os procedimentos explorados ao longo dos exercıcios definiremos a caracterıstica de uma matriz e apresentaremos o Teorema de RoucheCapelli Finalmente veremos a Regra de Cramer que se aplica a sistemas line ares com quantidade de equacoes igual a de incognitas Acompanhe os exemplos a seguir Exemplo 51 Vamos discutir o o sistema x y z 6 x 2y z 4 x 3z a segundo os valores do 73 CEDERJ parâmetro a Escalonando sua matriz aumentada obtemos 1 1 1 6 1 2 1 4 1 0 3 a 1 1 1 6 0 1 2 10 0 1 2 a 6 1 1 1 6 0 1 2 10 0 0 0 a 16 Assim o sistema dado é equivalente ao sistema x y z 6 y 2z 10 0 a 16 cuja terceira equação só será satisfeita se o segundo membro também for igual a zero Logo temos a 16 sistema incompatível a 16 sistema compatível e indeterminado pois possui três incógnitas e apenas duas equações Exemplo 52 Vamos discutir o sistema x ay 2 ax 2ay 4 Temos 1 a 2 a 2a 4 1 a 2 0 2a a² 4 2a Vamos determinar os valores de a para os quais o primeiro lado da segunda equação se anula 2a a² 0 a2 a 0 a 0 ou a 2 Então há as seguintes possibilidades a0 o sistema fica x 2 0 4 incompatível a2 o sistema fica x 2y 2 0 0 compatível e indeterminado a 0 e a 2 o sistema fica x ay 2 by c com b 2a a² 0 e c 4 2a compatível e indeterminado Discussao de sistemas lineares M ODULO 1 AULA 7 Exemplo 53 Vamos analisar o sistema x y z 0 x 2y kz 2 kx 2y z 2 segundo os valores do parˆametro k 1 1 1 0 1 2 k 2 k 2 1 2 1 1 1 0 0 1 k 1 2 0 2 k 1 k 2 1 1 1 0 0 1 k 1 2 0 2 k 1 k k 12 k 2 22 k 1 1 1 0 0 1 k 1 2 0 0 k 1k 3 2k 3 Daı temos k1k3 0 k 1 ou k 3 Ha entao as seguintes possibilidades k 1 x y z 0 y 2 0 4 sistema incompatıvel k 3 x y z 0 y 2z 2 0 0 sistema compatıvel e indeterminado k 1 e k 3 x y z 0 y az 2 b c com a k 1 b k 1k 3 0 e c 2k 3 sistema compatıvel e determi nado Exemplo 54 Vamos determinar para que valores de a e b o sistema x y z a 2x y 3z 2 x y bz 0 admite infinitas solucoes Temos 1 1 1 a 2 1 3 2 1 1 b 0 1 1 1 a 0 1 1 2 2a 0 2 b 1 a 1 1 1 a 0 1 1 2 2a 0 0 b 3 3a 4 Para que o sistema admita infinitas solucoes isto e seja compatıvel e indeterminado devemos ter b 3 0 e 3a 4 0 Isto e b 3 e a 43 75 CEDERJ Exemplo 55 Que condições a b e c devem satisfazer para que o sistema 3x 2y a 4x y b x c admita solução Solução 3 2 a 4 1 b 1 0 c 1 0 c 4 1 b 3 2 a 1 0 c 0 1 b 4c 0 2 a 3c 1 0 c 0 1 b 4c 0 0 a 3c 2b 4c Logo o sistema terá solução apenas se a 3c 2b 4c 0 isto é se a 2b 11c 0 Exemplo 56 Vamos discutir o sistema homogêneo x 2y 0 3x ky 0 segundo o parâmetro k Temos 1 2 0 3 k 0 1 2 0 0 k 6 0 Então k 6 sistema compatível e indeterminado k 6 sistema compatível e indeterminado Vamos agora formalizar o procedimento que vimos adotando para resolver e discutir sistemas lineares Para isso precisamos da seguinte definição Característica de uma matriz Na Aula 4 vimos que ao passar de uma matriz para outra por meio de uma sequência de operações elementares definimos uma relação de equivalência no conjunto dessas matrizes Assim se podemos obter a matriz B a partir da matriz A pela aplicação de uma sequência de operações elementares dizemos que A e B são matrizes equivalentes Nos exemplos anteriores usamos esse fato e indicamos que A e B são equivalentes escrevendo A B ou B A Seja A uma matriz qualquer e A uma matriz escalonada equivalente a A Chamamos de característica de A e indicamos por cA ao número de linhas não nulas de A Exemplo 57 1 Seja A 1 5 2 3 Então A 1 5 0 7 e cA 2 2 Se A 2 5 1 2 3 0 6 13 2 então A 2 5 1 0 2 1 0 0 0 e cA 2 3 Sendo A 1 1 1 1 2 2 2 2 5 5 5 5 temos A 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 e cA 1 O raciocínio que usamos para resolver ou classificar os sistemas lineares se constitui num resultado conhecido como Teorema de RouchéCapelli Nós o enunciamos a seguir Teorema 1 Teorema de RouchéCapelli Seja um sistema linear S de representação matricial AX b com A Mmn Indiquemos por Ab a matriz aumentada de S Então S será compatível se e somente se cA cAb Quando for compatível será determinado se cA n e indeterminado se cA n Quando um sistema linear S AX b possui número de equações igual ao número de incógnitas a matriz A é quadrada e podemos calcular seu determinante que vamos representar por D Neste caso vale o seguinte teorema Teorema 2 Teorema de Cramer Seja S um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas Se D 0 então o sistema é compatível e determinado e sua única solução α1 α2 αn é dada por αi DiD i 1n onde Di é o determinante da matriz que se obtém a partir de A substituindose a iésima coluna pela coluna dos termos independentes do sistema Quando D 0 isto é quando a matriz A é inversível o sistema é chamado sistema de Cramer Exemplo 58 Seja o sistema x 2y 3z 15 2x y z 10 3x z 1 As demonstrações dos teoremas de RouchéCapelli e de Cramer podem ser encontradas por exemplo em Fundamentos de Matemática Elementar vol 4 dos autores Gelson Iezzi e Samuel Hazzan editado pela Atual Temos D 1 2 3 2 1 1 3 0 1 2 0 Logo o sistema tem solução única Vamos determinar essa solução D₁ 15 2 3 10 1 1 1 0 1 4 D₂ 1 15 3 2 10 1 3 1 1 2 D₃ 1 2 15 2 1 10 3 0 1 10 Logo x D₁ D 4 2 2 y D₂ D 2 2 1 z D₃ D 10 2 5 Portanto a única solução do sistema é 2 1 5 Do teorema de Cramer podemos concluir que D 0 sistema compatível determinado D 0 sistema incompatível ou compatível indeterminado Já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução isto é é sempre compatível No caso particular de S ser homogêneo podemos concluir então que D 0 sistema compatível determinado D 0 sistema compatível indeterminado Exemplo 59 Vamos discutir o sistema ax 2ay 0 4x ay 12 usando o teorema de Cramer Sabemos que se D a 2 4 a 0 o sistema tem solução única Assim os valores de a para os quais D 0 tornam o sistema indeterminado ou impossível Esses valores são D 0 a² 8a 0 aa 8 0 a 0 ou a 8 Se a 0 o sistema fica 0 0 4x 12 x 3 e y pode assumir qualquer valor real Logo o sistema admite infinitas soluções Se a 8 o sistema fica 8x 16y 0 4x 8y 12 Escalonando obtemos o sistema 4x 8y 12 0 24 que é incompatível Resumindo temos a 0 e a 8 sistema compatível e determinado a 0 sistema compatível indeterminado a 8 sistema incompatível Exemplo 60 Vamos determinar o valor de k para o qual o sistema x y z 0 2x ky z 0 admite solução própria x 2y 2z 0 Tratase de um sistema homogêneo de matriz de coeficientes quadrada Pelo teorema de Cramer para que existam soluções nãotriviais ou seja para que o sistema seja indeterminado o determinante dessa matriz deve ser igual a zero Isto é 1 1 1 2 k 1 1 2 2 0 k 1 Resumo Esta foi uma aula prática discutimos sistemas lineares usando os resultados dos teoremas de RouchéCapelli e de Cramer Note que a regra de Cramer só se aplica a sistemas lineares cuja matriz dos coeficientes é quadrada e inversível Você se lembra Uma matriz quadrada é inversível se e somente se seu determinante é diferente de zero Com esta aula encerramos a parte introdutória do curso Você aplicará os conceitos e técnicas vistos até aqui ao longo das próximas aulas A partir da Aula 8 você estará em contato com os conceitos da Álgebra Linear propriamente dita Seja bemvindo Exercícios 1 Provão MEC 1998 O sistema ax 3y a 3x ay a não tem solução se e só se A a 3 B a 3 C a 0 D a 3 E a 3 2 Discuta o sistema x ky 2 kx y 2 segundo os valores de k 3 Para que valores de m o sistema x y mz 2 3x 4y 2z m admite solução 2x 3y z 1 4 Determine os valores de a e b que tornam o sistema 3x 7y a x y b x 2y a b 1 5x 3y 5a 2b compatível e determinado Em seguida resolva o sistema 5 Determine os valores de a e b que tornam o sistema 6x ay 12 4x 4y b indeterminado 6 Discuta o sistema mx y z 4 x my z 0 x y 2 7 Para que valores de k o sistema x ky 2z 0 2x my 4z 0 admite x 3y kz 0 soluções não triviais ou seja é indeterminado 8 Determine k para que o sistema 4x 3y 2 5x 4y 0 admita solução 2x y k 9 Encontre os valores de p ℝ tais que o sistema homogêneo 2x 5y 2z 0 x y z 0 tenha soluções distintas da solução trivial 2x pz 0 10 Que condições a e b devem satisfazer para que o sistema abaixo seja de Cramer ax by 0 a2 x b2 y 0 Autoavaliação Embora a teoria usada resolver e discutir sistemas lineares seja simples e pouca extensa cada sistema é um sistema Quanto mais exercícios você puder resolver melhor será no sentido de deixálo mais seguro e rápido nesse tipo de operação Se possível consulte outros livros de Álgebra Linear para obter mais opções de exercícios E não deixe de trazer suas dúvidas para o tutor da disciplina Respostas dos exercícios 1 E a 3 2 k 1 e k 1 sistema compatível e determinado k 1 sistema compatível e indeterminado k 1 sistema incompatível 3 Para m 1 Neste caso o sistema é compatível e determinado 4 a 2 b 4 3 1 5 a 6 e b 8 6 m 1 sistema compatível e determinado m 1 sistema incompatível 7 k 2 ou k 0 8 k 6 9 p 2 10 ab 0 e a b Espacos vetoriais M ODULO 2 AULA 8 Aula 8 Espacos vetoriais Objetivos Definir espacos vetoriais e estudar alguns dos principais exemplos dessa es trutura Identificar propriedades dos espacos vetoriais Introducao Imagine um conjunto V onde seja possıvel somar elementos e multipli car os elementos por numeros reais e que o resultado dessas operacoes esteja no conjunto V Imagine ainda que essas operacoes tˆem boaspropriedades aquelas que estamos acostumados a usar quando somamos e quando multi plicamos por numeros reais podemos somar os elementos trocando a ordem ou agrupandoos como quisermos sem que o resultado seja alterado existe um elemento que quando somado a outro resulta sempre nesse outro feita uma soma e possıvel desfazˆela com uma subtracao e todo ele mento de V pode ser subtraıdo de outro multiplicar por um nao faz efeito multiplicar seguidamente por varios reais e o mesmo que multiplicar pelo produto deles multiplicar o resultado de uma soma por um numero real e o mesmo que multiplicar cada parcela e depois somar multiplicar por um elemento de V uma soma de reais e o mesmo que multiplicar cada real pelo elemento em questao e depois somar os re sultados Existem varios conjuntos onde a adicao e a multiplicacao por numeros reais que fazemos usualmente gozam dessas propriedades Os conjuntos R R2 e R3 sao exemplos Os conjuntos de matrizes de mesma ordem M23R M34R etc tambem sao exemplos veja Aula 3 Na verdade ha mui tos exemplos de conjuntos com essa mesma estrutura Chamamos a esses conjuntos munidos dessas operacoes com as propriedades acima de espacos vetoriais 83 CEDERJ Espacos vetoriais A vantagem de se estudar os espacos vetoriais de forma mais abstrata como faremos a partir de agora e que estaremos estudando propriedades e leis que sao validas em qualquer espaco vetorial em particular nos exemplos que acabamos de destacar Ou seja veremos o que existe de comum entre conjuntos de matrizes R R2 R3 e varios outros espacos vetoriais Definicao de espaco vetorial Considere um conjunto V no qual estao definidas duas operacoes uma adicao que a cada par de elementos u e v de V associa um elemento u v de V chamado soma de u e v e uma multiplicacao por escalar que a cada numero real α e a cada elemento v de V associa um elemento αv de V chamado produto de α por v Dizemos que o conjunto V munido dessas operacoes e um espaco vetorial real ou um espaco vetorial sobre R ou ainda um Respaco vetorial se sao satisfeitas as seguintes condicoes para todos os elementos de V aqui designados pelas letras u v e w e todos os numeros reais aqui designados pelas letras α e β u v v u comutatividade u v w u v w associatividade existe um elemento em V que designaremos por e que satisfaz ve v para qualquer v em V existˆencia de elemento neutro para a adicao para cada v V existe um elemento de V que designaremos por v que satisfaz v v e existˆencia de inverso aditivo tambem chamado de simetrico ou oposto αβv αβv associatividade α βv αv βv distributividade αu v αu αv distributividade 1 v v multiplicacao por 1 De acordo com essa definicao podemos concluir que nao sao espacos vetoriais o conjunto N dos numeros naturais e o conjunto Z dos numeros inteiros para comecar Em nenhum dos dois por exemplo a operacao mul tiplicacao por escalar esta bem definida ao multiplicar um numero inteiro nao nulo por 2 que e um numero real a resposta certamente nao sera um numero inteiro CEDERJ 84 Espacos vetoriais M ODULO 2 AULA 8 Isso nos diz que alguns dos conjuntos que conhecemos nao sao espacos vetoriais Para nos certificarmos que um determinado conjunto e de fato um espaco vetorial e necessario verificar se as operacoes estao bem definidas e se valem todas as condicoes da definicao Qualquer uma que nao se verifique indica que o conjunto em questao nao e um espaco vetorial Exemplos de espacos vetoriais Para verificar se um conjunto e ou nao um exemplo de espaco vetorial partimos do princıpio que no conjunto dos numeros reais a adicao e a mul tiplicacao tˆem todas as propriedades dadas na definicao de espaco vetorial na verdade estaremos usando o fato de que R e um Corpo que e uma outra estrutura estudada nos cursos de algebra Sao varios os exemplos de espacos vetoriais Listamos alguns deles a seguir 1 R2 e R3 Provaremos que R2 e espaco vetorial sendo que a prova para R3 e analoga Aqui as operacoes consideradas sao as usuais ou seja aquelas que estamos acostumados a fazer se x1 x2 e y2 y2 sao elementos de R2 e α e um numero real x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 y2 e αx1 x2 αx1 αx2 Considere u x1 x2 v y1 y2 e w z1 z2 todos em R2 α e β numeros reais Entao temos u v x1 y1 x2 y2 y1 x1 y2 x2 u v uv w x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 y1z1 x2 y2 z2 u v w o par e 0 0 satisfaz u e x1 0 x2 0 x1 x2 u tomando u x1 x2 temos uu x1 x1 x2 x2 0 0 e αβu αβx1 βx2 αβx1 αβx2 αβu α βu α βx1 α βx2 αx1 βx1 αx2 βx2 αu βu αu v αx1 y1 x2 y2 αx1 y1 αx2 y2 αx1 αy1 αx2 αy2 αu αv 1u 1x1 1x2 x1 x2 u 85 CEDERJ Espacos vetoriais 2 Rn com n natural nao nulo qualquer O conjunto Rn e formado pelas nuplas lˆese ˆenuplas de numeros reais Rn x1 x2 xn x1 x2 xn R Em Rn as operacoes usuais sao definidas da seguinte maneira consi derando u x1 x2 xn e v y1 y2 yn elementos de Rn e α em R temos u v x1 y1 x2 y2 xn yn e αu αx1 αx2 αxn A prova de que Rn e um espaco vetorial e analoga as provas para R2 e R3 que sao casos particulares onde se considera n 2 e n 3 3 MnmR Ja vimos na Aula 3 que o conjunto MnmR com as operacoes definidas na Aula 2 satisfazem a todas as condicoes dadas na definicao de espaco vetorial real 4 C Aqui apenas recordaremos as operacoes de soma e produto por esca lar no conjunto dos numeros complexos conceitos vistos no curso de PreCalculo deixando a prova como exercıcio Considere os numeros complexos z1 a1 b1i e z2 a2 b2i e o numero real α Temos entao z1 z2 a1 a2 b1 b2i e αz1 αa αb1i 5 Polinˆomios de grau n n natural nao nulo com coeficientes reais a uma variavel acrescidos do polinˆomio nulo O grau do polinˆomio nulo nao esta definido Os polinˆomios sao muito estudados em diversos ramos da Algebra Os conjuntos de polinˆomios de grau n acrescidos do polinˆomio nulo para os diversos valores de n tˆem estrutura muito rica no sentido da quantidade de operacoes e propriedades que sao validas nesses conjun tos e o fato de serem espacos vetoriais e apenas uma de suas carac terısticas Vamos fazer a prova para o conjunto dos polinˆomios de grau 2 sendo que a prova para o caso geral e inteiramente analoga Usaremos a notacao P2t R para indicar o conjunto dos polinˆomios de grau 2 a uma variavel t com coeficientes reais acrescido do polinˆomio nulo Nesse caso P2t R at2 bt c a b c R CEDERJ 86 Espacos vetoriais M ODULO 2 AULA 8 A expressao grau 2 e traduzida matematicamente pelo fato de que a pode ser qualquer numero real inclusive zero caso a seja 0 e b 0 o polinˆomio em questao tem grau 1 Para o polinˆomio nulo temos a b c 0 Lembrese de que um polinˆomio e um objeto abstrato ao trabalhar com uma expressao do tipo 2t2 t 1 nao estamos interessados em encontrar tnem seria possıvel pois nao se trata de uma equacao No nosso curso estaremos interessados em somar tais expressoes ou multiplicalas por escalares obtendo outras do mesmo tipo Para isso sejam p1 a1t2 b1t c1 e p2 a2t2 b2t c2 elementos de P2t R e α R Entao p1 p2 a1 a2t2 b1 b2t c1 c2 αp1 αa1t2 αb1 αc1 Vamos as propriedades das operacoes p1 p2 a1 a2t2 b1 b2t c1 c2 a2 a1t2 b2 b1t c2 c1 p2 p1 p1p2p3 a1a2a3t2b1b2b3tc1c2c3 a1a2a3t2b1b2b3tc1c2c3 p1p2p3 o polinˆomio 0 0t2 0t 0 satisfaz p1 0 a1 0t2 b1 0t c1 0 a1t2 b1t c1 tomando p1 a1t2 b1t c1 temos p1 p1 a1 a1t2 b1 b1t c1 c1 0t2 0t 0 0 αβp1 αβa1t2βb1tβc1 αβa1t2αβb1tαβc1 αβp1 αβp1 αβa1t2 αβb1tαβc1 αa1t2 βa1t2 αb1t βb1t αc1 βc1 αp1 βp1 αp1 p2 αa1 a2t2 αb1 b2t αc1 c2 αa1t2 αa2t2 αb1t αb2t αc1 αc2 αp1 αp2 1p1 1a1t2 1b1t 1c1 a1t2 b1t c1 p1 O conjunto dos polinˆomios de grau exatamente 2 nao e um espaco ve torial De fato a soma nao esta bem definida nesse conjunto somando t2 t 1 e t2 2t 3 que tˆem grau 2 obtemos o polinˆomio 3t 2 que tem grau 1 87 CEDERJ Espacos vetoriais 6 Polinˆomios de qualquer grau com coeficientes reais a uma variavel Considerando o conjunto de todos os polinˆomios a uma variavel com coeficientes reais as operacoes soma e produto por escalar usuais analogas as que definimos para P2t R estao bem definidas e sa tisfazem a todas as propriedades que caracterizam os espacos vetoriais tratandose portanto de um exemplo de espaco vetorial Observacoes Os elementos de um espaco vetorial sao chamados vetores O elemento neutro da soma e chamado vetor nulo e denotado por 0 ou 0 Note que segundo essa convencao vetores podem ser polinˆomios matrizes etc e o sımbolo 0 sera usado tambem para matrizes nulas nuplas de zeros etc Veremos ao longo deste modulo que muitos dos conceitos aplicaveis aos antigos vetores como modulo ˆangulo etc tambem fazem sentido para os vetores da forma que estamos definindo agora Propriedades dos espacos vetoriais Vamos considerar um espaco vetorial V e usar as letras u v e w para designar elementos desse espaco Usaremos as letras gregas α β λ etc para designar numeros reais Para facilitar as referˆencias futuras as propriedades vamos numeralas 1 Existe um unico vetor nulo em V que e o elemento neutro da adicao Em todos os exemplos que listamos na ultima aula e bastante claro que existe apenas um elemento neutro em cada espaco mas existem varios outros espacos vetoriais que nao vimos ainda Vamos entao provar que a existˆencia de um unico elemento neutro e um fato que decorre apenas da definicao de espaco vetorial e portanto vale em qualquer um Vamos entao provar essa propriedade e todas as outras usando a definicao e as propriedades que ja tenhamos provado Ja sabemos da definicao que existe um elemento neutro no espaco V Suponhamos que 0 e 0 sejam elementos neutros de V e vamos mostrar que 0 0 De fato temos que ter 0 0 0 pois 0 e elemento neutro mas tambem temos 0 0 0 pois 0 tambem e elemento neutro Logo temse 0 0 CEDERJ 88 Espacos vetoriais M ODULO 2 AULA 8 2 Para cada v V existe um unico simetrico v V De novo suponhamos que algum v de V admitisse dois simetricos v e v Nesse caso terıamos v v v v pois os dois lados da igualdade resultam no vetor nulo Somando v aos dois membros obtemos v v v v v v Pela associatividade da soma podemos escrever v v v v v v Usando o fato de que v e simetrico de v e 0 e o elemento neutro da soma obtemos 0 v 0 v v v 3 Se u w v w entao u v Somando w aos dois membros da equacao u w v w obtemos u w w v w w Pela associatividade da soma e pelo fato de que w e o simetrico de w e 0 e o neutro da soma obtemos u w w v w w u 0 v 0 u v 4 v v ou seja o simetrico do vetor v e o vetor v Como o simetrico de um vetor qualquer de V e unico propriedade 2 e como v v 0 entao o simetrico de v so pode ser v 89 CEDERJ Espacos vetoriais 5 Fixados u e v em V existe uma unica solucao para a equacao ux v Somando u aos dois membros da equacao u x v obtemos u u x u v u u x u v 0 x u v x u v ou seja a equacao u x v tem pelo menos uma solucao que e u v Supondo que x e x sejam solucoes da referida equacao ou seja que u x v e u x v teremos u x u x e pela propriedade 3 x x 6 Se v V satisfaz v v v entao v 0 so o elemento neutro satisfaz a essa equacao Note que se v v v entao v e solucao da equacao v x v Como 0 tambem e solucao visto que v 0 v pela propriedade anterior temse v 0 7 0v 0 Basta verificar que pela propriedade distributiva 0v 0v 0 0v 0v Pela propriedade anterior 0v 0 8 α0 0 qualquer que seja o real α considerado De novo usando a propriedade distributiva da adicao e o fato de que 0 0 0 temos α0 α0 0 α0 α0 Pela propriedade 6 α0 0 9 Se αv 0 entao α 0 ou v 0 Note que essa propriedade nos diz que a equacoes das propriedades 7 e 8 representam as unicas formas de obter o vetor nulo como produto CEDERJ 90 Espacos vetoriais M ODULO 2 AULA 8 de escalar por vetor Para provala vamos supor que αv 0 e α 0 o caso α 0 ja nos da a conclusao desejada Nesse caso podemos multiplicar os dois membros da igualdade αv 0 por α1 obtendo α1αv α10 Usando a propriedade associativa da multiplicacao por escalar e a pro priedade 8 obtemos α1αv 0 1v 0 v 0 onde a ultima passagem utiliza a propriedade da multiplicacao por 1 dos espacos vetoriais 10 1v v Como 1v v podemos escrever 1v v 1v 1v 1 1v 0v 0 considerando a propriedade distributiva e a propriedade 7 Daı con cluımos que 1v e o simetrico de v ou seja 1v v 11 αv αv αv Na prova dessa propriedade deixaremos como exercıcio a identificacao das propriedades utilizadas em cada passagem Siga o raciocınio das provas das propriedades anteriores αv αv α αv 0v 0 portanto αv αv αv αv αv v α0 0 portanto αv αv Com essas propriedades que demonstramos podemos concluir que grande parte das contas que fazemos com vetores de R2 e R3 sao validas em qualquer espaco vetorial A partir de agora escreveremos u v no lugar de u v u v w no lugar de u v w ou u v w e αβv no lugar de αβv ou αβv 91 CEDERJ Espacos vetoriais Exercıcios 1 Verdadeiro ou falso Justifique a O conjunto Q dos numeros racionais e um espaco vetorial real b O conjunto Q2 a b a b Q com as operacoes usuais e um espaco vetorial real c O conjunto unitario 0 com as operacoes usuais e um espaco vetorial real d R x R x 0 com as operacoes usuais nao e espaco vetorial real e O conjunto dos numeros complexos com parte real nao negativa e um espaco vetorial real 2 Mostre que R3 com as operacoes usuais e um espaco vetorial real siga os passos da demonstracao para R2 feita no exemplo 1 3 Mostre que C2 z1 z2 z1 z2 C e um espaco vetorial real com as operacoes definidas abaixo Adicao z1 z2 z 1 z 2 z1 z 1 z2 z 2 Multiplicacao por escalar αz1 z2 αz1 αz2 onde z1 z2 e z 1 z 2 sao elementos de C2 e α R 4 Mostre que no conjunto A 0 1 as operacoes definidas abaixo sa tisfazem a todas as condicoes da definicao de espaco vetorial real exceto a lei associativa para a multiplicacao por escalar e as leis distributivas Adicao 0 0 0 0 1 1 1 0 1 e 1 1 0 Multiplicacao por escalar αx x se α 0 e αx 0 se α 0 onde α R e x A 5 Tambem definemse espacos vetoriais sobre o conjunto dos numeros racionais o corpo dos racionais apenas fazendo com que a operacao multiplicacao por escalar considere apenas escalares racionais e man tendo o restante da definicao inalterado Mostre que o conjunto Q2 e um espaco vetorial sobre os racionais CEDERJ 92 Espacos vetoriais M ODULO 2 AULA 8 Autoavaliacao O conteudo desta aula envolve conceitos muito abstratos Para obter alguma seguranca nesses conceitos talvez seja necessario reler varias vezes algumas partes Nao se preocupe se vocˆe nao conseguiu fazer alguns dos exercıcios de imediato retorne a esta aula depois de estudar a proxima que trata dos Subespacos Vetoriais e vocˆe estara mais familiarizado com os conceitos aqui apresentados Respostas dos exercıcios 1 a Falso b Falso c Verdadeiro d Verdadeiro e Falso 93 CEDERJ Subespacos vetoriais M ODULO 2 AULA 9 Aula 9 Subespacos vetoriais Objetivos Prerequisito Aula 8 Caracterizar subespacos vetoriais Identificar subespacos vetoriais demonstrando que atende as condicoes de subespaco Introducao Nesta aula veremos um tipo muito importante de subconjuntos de espacos vetoriais os subespacos vetoriais Nem todo subconjunto S de um espaco vetorial V e um seu subespaco e necessario que o subconjunto em questao tenha a mesma estrutura de V como estabelece a definicao a seguir Definicao Considere um espaco vetorial V Um subconjunto S de V e dito um subespaco vetorial de V se S for um espaco vetorial com respeito as mesmas operacoes que tornam V um espaco vetorial Como primeira consequˆencia dessa definicao um subespaco vetorial S deve ser nao vazio ja que uma das condicoes que devem ser satisfeitas para que S seja um subespaco vetorial de V e a existˆencia em S de um elemento neutro para a adicao de vetores com isso obrigatoriamente 0 S De acordo tambem com a definicao acima para verificar se um dado subconjunto S de um espaco vetorial V e um subespaco vetorial de V deve se checar se as operacoes de adicao e multiplicacao por escalar estao bem definidas em S e se elas satisfazem a todas as condicoes dadas na definicao de espaco vetorial Se observarmos melhor no entanto veremos que nao e necessario ve rificar cada uma das condicoes uma vez que a adicao em S esteja bem definida ou seja que a soma de dois elementos quaisquer de S seja tambem um elemento de S ela nao deixara de ser comutativa por exemplo apenas porque estamos considerando elementos de S pois a adicao em V tem essa propriedade O mesmo se verifica para a multiplicacao por escalar 95 CEDERJ Subespacos vetoriais A seguir entao listamos trˆes condicoes que se satisfeitas garantem que um subconjunto S de um espaco vetorial V e um subespaco vetorial de V S Dados u e v quaisquer em S a soma u v esta em S Dados u S e α R o produto αu esta em S Uma vez que S V satisfaca tais requisitos todas as outras proprie dades listadas na definicao de espaco vetorial serao automaticamente her dadas pelo conjunto S Exemplos 1 Dado um espaco vetorial V qualquer os conjuntos 0 conjunto cujo unico elemento e o vetor nulo e V sao subespacos vetoriais de V De fato e claro que 0 Alem disso dados dois elementos de 0 a soma deles pertence a 0 o unico elemento que existe para considerarmos e 0 e o produto de um numero real qualquer por um elemento de 0 resulta no vetor nulo pertencendo portanto a 0 Para verificar que V e subspaco vetorial de V basta aplicar diretamente a definicao de subespaco vetorial e observar que V V e e obviamente um espaco vetorial com respeito as mesmas operacoes Por serem os subespacos mais simples do espaco vetorial V 0 e V sao chamados subespacos triviais de V 2 Seja S x 2x x R O conjunto S e um subespaco vetorial de R2 Nota Na secao seguinte veremos quais sao todos os subespacos de R2 Neste momento estudaremos este exemplo particular para nos famili arizarmos com o procedimento de verificacao de que um dado conjunto e um subespaco vetorial Ao nos confrontarmos com um candidato S a subespaco temos que nos fazer trˆes perguntas i S ii Se u S e v S entao u v S a adicao esta bem definida em S iii Se α R e u S entao αu S a multiplicacao por escalar esta bem definida em S CEDERJ 96 Subespacos vetoriais M ODULO 2 AULA 9 Vamos entao responder a essas perguntas para o caso de S x 2x x R i S porque 0 0 S por exemplo Basta considerar x 0 ii Se u S e v S digamos que u x 2x e v y 2y com x y R precisamos usar letras diferentes para designar elementos diferentes entao u v x y 2x 2y x y 2x y Logo u v S pois e um par ordenado de numeros reais onde a segunda coordenada e o dobro da primeira que e precisamente a regra que define os elementos de S neste exemplo iii Se α R e u x 2x S entao αu αx 2x αx α2x S pois α2x 2αx e o dobro de αx Como a resposta as trˆes perguntas formuladas foi positiva podemos concluir que S e um subespaco vetorial de R2 Observe que para responder a primeira pergunta exibimos um ele mento de S concluindo que S Escolhemos exibir o vetor nulo de R2 embora qualquer outro elemento servisse para esse proposito Tal escolha nao foi por acaso se o vetor nulo nao fosse um elemento de S entao S nao seria um subespaco vetorial pois nao seria ele mesmo um espaco vetorial Sempre que tivermos a nossa frente um candidato a subespaco vetorial podemos verificar se o vetor nulo do espaco vetorial que o contem pertence ao candidato para responder a primeira das perguntas Caso a resposta seja afirmativa passamos a verificar as ou tras duas perguntas e se a resposta for negativa ja podemos concluir que o candidato nao e um subespaco vetorial sem nenhum trabalho adicional 3 Seja V R2 e S x x 1 x R Observe que 0 0 S Logo S nao e um subespaco vetorial de V 4 Seja V um espaco vetorial e w um elemento de V Entao o conjunto S λw λ R e um subespaco vetorial de V Nota Neste exemplo os elementos de S sao caracterizados por serem todos produto de um numero real qualquer por um elemento fixo de V No caso desse elemento ser o vetor nulo temos um subespaco trivial i S pois 0 0w S ii se u S e v S digamos u λ1w e v λ2w com λ1 λ2 R entao u v λ1w λ2w λ1 λ2w S iii se α R e u λ1w S entao αu αλ1w αλ1w S 97 CEDERJ Subespacos vetoriais 5 O conjunto solucao do sistema x 2y 4z 3t 0 x 4y 2z 3t 0 x 2y 2z 2t 0 e o subconjunto de R4 dado por 2y 2z y z 2z y z R Vocˆe pode verificar que esse conjunto satisfaz as trˆes condicoes de subespaco 6 O conjuntosolucao de um sistema linear homogˆeneo de m equacoes e n incognitas e um subespaco vetorial de Rn O exemplo anterior e um caso particular deste Considere o sistema escrito na forma matricial AX 0 1 onde A MmnR X e o vetorcoluna de n linhas das incognitas do sistema e 0 e o vetor nulo de Rm representado como coluna Va mos verificar que o conjunto S de todos os vetores X de Rn que se representados por vetorescoluna satisfazem a equacao matricial 1 formam um subespaco vetorial de Rn i S Como sabemos um sistema homogˆeneo qualquer tem sempre a solucao trivial portanto 0 0 0 Rn e um elemento de S podemos tambem verificar que A0 0 tomando o cuidado de notar que o sımbolo 0 representa uma coluna de n zeros do lado direito da equacao e uma coluna de m zeros do lado esquerdo da equacao ii Se U S e V S entao U V S a adicao esta bem definida em S Sejam U e V duas solucoes do sistema 1 ou seja vetorescoluna de Rn qe satisfazem aquela equacao matricial Entao temos AU V AU AV 0 0 0 onde a primeira igualdade vem da propriedade distributiva da adicao de matrizes e a segunda do fato de que como U e V sao solucoes do sistema 1 AU 0 e AV 0 Vemos portanto que U V satisfaz a equacao matricial 1 representando portanto uma solucao do sistema CEDERJ 98 iii Se α ℝ e U S então αU S a multiplicação por escalar está bem definida em S Novamente considere U um vetor coluna de ℝⁿ que satisfaz à equação 1 Seja α ℝ Então temos AαU αAU α0 0 A primeira igualdade utiliza a propriedade mn1 de multiplicação de matrizes por números reais vista na Aula 2 Acabamos de verificar usando representações matriciais que a soma de duas soluções de um sistema linear homogêneo também é solução desse sistema e que qualquer múltiplo real de uma solução também o é Logo o conjuntosolução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas é um subespaço vetorial de ℝⁿ 7 O conjunto S a 0 c d a c d é subespaço vetorial de M₂₂ℝ 8 O conjunto S a bx cx² abc ℝ e a b c é subespaço vetorial de V P₂ Observe que ℝ e ℝ² são espaços vetoriais e ℝ não é um subespaço vetorial de ℝ² Isso porque ℝ não está contido em ℝ² assim como ℝ² não está contido em ℝ³ A confusão costuma acontecer em parte porque a representação geométrica de ℝ² plano cartesiano parece incluir a representação geométrica de ℝ reta Na verdade porém ℝ é um conjunto de números enquanto ℝ² é um conjunto de pares ordenados de números e esses dois objetos são completamente distintos Veremos mais tarde que ℝ² contém apenas cópias de ℝ assim como ℝ³ contém cópias tanto de ℝ como de ℝ² Os subespaços vetoriais de ℝ² Já conhecemos alguns dos subespaços de ℝ² 00 ℝ² que são os subespaços triviais αw α ℝ onde w ℝ é um elemento de ℝ² Lembrando P₂ é o conjunto de todos os polinômios a variável e coeficientes reais de grau menor ou igual a 2 acrescido do polinômio identicamente nulo Subespacos vetoriais Esses subespacos foram vistos nos exemplos anteriores Note que vari ando w no segundo item existem infinitos exemplos de subespacos Veremos nesta secao que esses sao os unicos subespacos de R2 sao em numero infi nito mas sao todos de algum dos tipos acima Para isso vamos considerar o plano cartesiano que e a representacao geometrica do conjunto R2 Cada elemento x y R2 e representado como um vetor com origem no ponto 0 0 e extremidade no ponto x y A cada vetor do plano com origem no ponto 0 0 e ex tremidade no ponto x y fa zemos corresponder o ponto x y de R2 e viceversa Considere um subespaco S de R2 que nao seja 0 0 Entao nesse subespaco existe um vetor w que nao e o vetor nulo Como S e fechado para a multiplicacao por escalar todos os multiplos de w tambem sao elementos de S Com isso como vemos na Figura 91 a reta que contem w deve estar toda contida em S Ou seja se S e nao trivial ele contem pelo menos uma reta infinitos pontos Observe que essa mesma reta tambem contem a origem w Figura 91 Reta que contem w Suponhamos agora que alem de conter w S tambem contenha algum outro vetor v de R2 que nao esteja na reta que contem w Nesse caso S tambem deve conter a reta dos multiplos de v Observe as duas retas na Figura 92 v w Figura 92 Retas contidas em S CEDERJ 100 Note que o subespaço S não pode consistir apenas das duas retas da Figura 92 Isso porque a adição não está bem definida no conjunto formado pela união das duas retas se considerarmos por exemplo o vetor w v veremos que ele não pertence a nenhuma das duas retas Lembrese de como somar vetores geometricamente no plano Figura 93 Soma de w e v Observe agora que qualquer vetor de ℝ² com origem em 0 00 pode ser obtido pela soma de vetores das duas retas e isso significa que nesse caso S ℝ² Na Figura 94 vemos alguns exemplos de vetores em diversas posições obtidos como soma de vetores das retas e você pode procurar mais exemplos para se convencer desse fato Figura 94 Vetores de ℝ² Subespacos vetoriais Ate agora resumindo temos os seguintes fatos para um subespaco S de R2 se S nao contem vetores nao nulos S 0 se S contem um vetor nao nulo S tambem contem a reta que contem esse vetor se S contem dois vetores nao nulos que nao estejam sobre uma mesma reta entao S R2 Com isso os unicos subespacos vetoriais de R2 sao 0 R2 e as retas de R2 que passam pela origem Uma reta de R2 que nao contem a origem ponto 0 0 pode ser um subespaco vetorial de R2 Por quˆe Os subespacos vetoriais de R3 Os subespacos vetoriais de R3 sao do seguinte tipo 0 e R3 triviais retas do R3 que contˆem a origem 0 0 0 0 neste caso planos de R3 que contˆem a origem Nao faremos aqui uma demonstracao desse fato como fizemos na secao passada Os motivos que fazem com que esses sejam os unicos possıveis subespacos sao inteiramente analogos ao caso de R2 Nas proximas aulas estudaremos conceitos que permitirao uma demonstracao bem simples desse fato Resumo Nesta aula vimos a definicao de subespaco tratase de subconjuntos de espacos vetoriais que sao por si mesmos espacos vetoriais tambem con siderando as mesmas operacoes definidas no espaco que os contˆem Vimos que para comprovar que um subconjunto de um espaco vetorial e um su bespaco basta verificar trˆes condicoes ser naovazio e ser fechado para as operacoes de adicao e multiplicacao por numero real Vimos tambem que embora sejam em numero infinito os subespacos de R2 e R3 sao facilmente identificados CEDERJ 102 Exercícios 1 Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de ℝ³ a todos os vetores da forma a00 b todos os vetores da forma a10 c todos os vetores da forma abc com c a b d todos os vetores da forma abc com a b c 1 2 Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de M₂₂ℝ a todas as matrizes 2 2 com elementos inteiros b todas as matrizes da forma a b c d com a b c d 0 c todas as matrizes 2 2 inversíveis d todas as matrizes da forma a 0 0 b 3 Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de P₃ℝ a todos os polinômios da forma a₁x a₂x² a₃x³ onde a₁ a₂ e a₃ são números reais quaisquer b todos os polinômios da forma a₀ a₁x a₂x² a₃x³ onde a soma dos coeficientes é igual a zero c todos os polinômios da forma a₀ a₁x a₂x² a₃x³ para os quais a soma dos coeficientes é um número inteiro d todos os polinômios da forma a₀ a₁x a₀ e a₁ reais quaisquer Autoavaliação Você deverá ter segurança quanto a conferir se um subconjunto é ou não subespaço de um espaço que o contenha Lembrese de que o primeiro passo é verificar se o elemento nulo do espaço pertence ao subconjunto a resposta negativa já garante que não se trata de um subespaço mas a resposta afirmativa só mostra que o subconjunto não é vazio É preciso ainda verificar se a soma de dois vetores quaisquer genéricos do subconjunto também pertence a ele e se um múltiplo real qualquer de um vetor genérico do subconjunto também pertence ao subconjunto Procure fazer essa verificação Lembrando uma matriz é inversível se e somente se seu determinante é diferente de zero Subespacos vetoriais nos exemplos da aula Quando o espaco vetorial for R2 ou R3 basta verificar se o candidato a subespaco e uma reta passando pela origem ou no caso do espaco um plano passando pela origem Alem desses apenas o subespaco nulo e todo o espaco dado sao subconjuntos tambem Se vocˆe tiver qualquer duvida na resolucao dos exercıcios ou na compreensao dos exemplos procure o tutor da disciplina Respostas dos exercıcios 1 Sao subespecos a c 2 Sao subespecos b d 3 Sao subespacos a b d CEDERJ 104 Combinacoes lineares M ODULO 2 AULA 10 Aula 10 Combinacoes lineares Objetivos Caracterizar combinacao linear e subespaco gerado por um conjunto de ve tores Determinar o subespaco gerado por um conjunto de vetores Encontrar geradores para um subespaco vetorial dado Prerequisitos Aulas 6 e 7 sobre resolucao de sistemas li neares por escalonamento e Aulas 8 e 9 Introducao Iniciaremos o estudo do importante conceito de combinacao linear Atraves das propriedades das combinacoes lineares e possıvel dar uma des cricao simples e completa de cada espaco vetorial como veremos a partir desta aula Definicao Considere um espaco vetorial V e v1 v2 vn elementos de V Uma combinacao linear desses vetores e uma expressao do tipo a1v1 a2v2 anvn onde a1 a2 an sao numeros reais Se e possıvel descrever um vetor v V atraves de uma expressao como essa dizemos que v e combinacao linear de v1 v2 vn ou que v se escreve como combinacao linear de v1 v2 vn Exemplo 1 a O vetor v 2 4 R2 e combinacao linear de v1 1 1 e v2 1 1 pois v 1v1 3v2 b O vetor v 2 3t P2t R e combinacao linear dos vetores v1 t 2t2 v2 1 t2 e v3 2t2 pois v 3v1 2v2 4v3 c O vetor v 2 3 4 1 1 2 1 0 3 M33R e combinacao linear dos 105 CEDERJ Combinacoes lineares vetores v1 2 3 4 1 1 2 1 0 3 v2 4 6 8 2 2 4 2 0 6 e v3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 pois v v1 0v2 257v3 Temos ainda que v 3v1 v2 πv3 ou ainda v 5v1 3v2 2v3 ou seja v e combinacao linear de v1 v2 e v3 de varias maneiras diferentes d Para que o vetor 0 m de R2 seja combinacao linear dos vetores 1 2 e 2 4 e necessario que existam a e b em R tais que 0 m a1 2 b2 4 Para isso devemos ter 0 m a 2b 2a 4b ou seja a 2b 0 e 2a 4b m simultaneamente Tal sistema de duas equacoes nas variaveis a e b tem solucao apenas para o caso em que m 0 Subespacos gerados No exemplo 4 da Aula 9 vimos que se V e um espaco vetorial e w um elemento de V entao o conjunto S λw λ R e um subespaco vetorial de V Agora que definimos combinacao linear podemos observar que tal S e o conjunto formado por todas as combinacoes lineares do vetor w Esse exemplo pode ser generalizado para um numero qualquer de ve tores da seguinte maneira se w1 w2 wn sao vetores do espaco veto rial V entao o conjunto de todas as combinacoes lineares desses vetores e um subespaco vetorial de V vamos provar isso chamado subespaco ge rado pelos vetores w1 w2 wn ou ainda subespaco gerado pelo conjunto w1 w2 wn Denotamos esse espaco por w1 w2 wn ou w1 w2 wn e dizemos que w1 w2 wn sao geradores de w1 w2 wn Assim temos w1 w2 wn a1w1 a2w2 anwn a1 a2 an R Vamos agora mostrar que w1 w2 wn e um subespaco vetorial de V CEDERJ 106 Combinacoes lineares M ODULO 2 AULA 10 i S pois 0 0w1 0w2 0wn w1 w2 wn Observe que se os gera dores w1 w2 wn nao sao todos nulos o conjunto w1 w2 wn e infinito Ja o conjunto w1 w2 wn e finito possui exatamente n elementos ii se u S e v S digamos u a1w1 a2w2 anwn e v b1w1 b2w2 bnwn com a1 a2 an R e b1 b2 bn R entao u v a1w1 a2w2 anwn b1w1 b2w2 bnwn a1 b1w1 a2 b2w2 an bnwn ou seja uv e tambem uma combinacao linear dos vetores w1 w2 wn sendo portanto um elemento de w1 w2 wn iii se α R e u a1w1 a2w2 anwn S entao αu αa1w1 a2w2 anwn αa1w1 αa2w2 αanwn ou seja αu w1 w2 wn De acordo com os itens i ii e iii w1 w2 wn e um subespaco vetorial de V Exemplo 2 Veremos agora alguns exemplos de subespacos gerados a No exemplo 2 da Aula 9 S x 2x x R R2 e o subespaco gerado pelo vetor 1 2 R2 ou seja S 1 2 b O subespaco de R3 gerado pelos vetores u 1 2 0 v 3 0 1 e w 2 2 1 e o plano de equacao 2x y 6z 0 Note que os vetores dados satisfazem a equacao obtida para o subespaco gerado por eles c O conjunto at bt2 a b R e o subespaco de P2R t gerado pelos vetores t e t2 Lembrese de que os vetores de P2R t sao polinˆomios d O conjunto R3 e o subespaco gerado pelos vetores i 1 0 0 j 0 1 0 e k 0 0 1 de R3 Os vetores 1 2 0 0 1 2 e 1 1 3 juntos tambem geram o R3 107 CEDERJ Combinacoes lineares e O conjunto de todos os polinˆomios de qualquer grau com coeficientes reais a uma variavel t denotado por Pt R e gerado pelo conjunto infinito de vetores 1 t t2 t3 Ao longo deste curso serao dados inumeros outros exemplos de su bespacos gerados Nas proximas secoes veremos como determinar o su bespaco gerado por um conjunto de vetores e como encontrar geradores para um subespaco vetorial dado Determinacao do subespaco gerado por um conjunto de vetores Ha varias maneiras de se descrever um mesmo subespaco vetorial S de um espaco V Eis algumas delas atraves de um conjunto de geradores ex S 1 1 1 2 R2 atraves de uma equacao ou conjunto de equacoes ex S e o plano de equacao x y z 0 em R3 atraves de uma propriedade de seus elementos ex S a bt ct2 P2t R a b c 0 No exemplo 2 da secao anterior cada subespaco foi descrito por duas dessas formas Determinar o subespaco gerado por um conjunto de vetores significa passar da descricao por geradores a primeira acima para outras descricoes qua permitam melhor entendimento do subespaco Veremos como isso e feito atraves de alguns exemplos Exemplo 3 Considere o subespaco de R3 gerado pelos vetores u 1 2 0 v 3 0 1 e w 2 2 1 A descricao de S como espaco gerado nao deixa claro por exemplo se S e trivial ou uma reta que passa pela origem ou um plano que passa pela origem Ajuda bastante saber que S e o plano de equacao 2x y 6z 0 Como fazer para encontrar essa outra descricao Como S u v w cada elemento de S e uma combinacao linear de u v e w Se denotarmos por x y z um elemento generico de S teremos entao que x y z au bv cw onde a b e c sao numeros reais Daı temos x y z a1 2 0 b3 0 1 c2 2 1 ou seja x y z a 3b 2c 2a 2c b c CEDERJ 108 Combinacoes lineares M ODULO 2 AULA 10 Para que a igualdade anterior se verifique e necessario que as coordena das correspondentes dos ternos ordenados de cada lado da equacao coincidam ou seja devemos ter x a 3b 2c y 2a 2c z b c Para que um dado vetor x y z R3 seja um elemento de S e preciso que existam valores para a b e c de forma que as trˆes equacoes acima se verifiquem simultaneamente compare com o exemplo 2d desta aula Vamos entao resolver por escalonamento o sistema linear nas variaveis a b e c S a 3b 2c x 2a 2c y b c z Passando a matriz ampliada e escalonando temos 1 3 2 x 2 0 2 y 0 1 1 z L2 L2 2L1 1 3 2 x 0 6 6 y 2x 0 1 1 z L2 16L2 1 3 2 x 0 1 1 y2x 6 0 1 1 z L3 L3 L2 1 3 2 x 0 1 1 y2x 6 0 0 0 z y2x 6 O sistema em questao tem solucao se e somente se os valores de x y e z sao tais que se tenha z y2x 6 0 ou equivalentemente se 2xy6z 0 Essa e precisamente a equacao de um plano em R3 contendo a origem Os calculos para determinar o subespaco gerado sao sempre analogos ao que acabamos de fazer Sempre que ocorrerem linhas de zeros podemos obter equacoes que descrevem o espaco Quando tais linhas nao ocorrerem isso significa que nao existem restricoes para que o elemento generico esteja no subespaco gerado ou seja o subespaco em questao coincide com o espaco todo Isso e o que acontece no proximo exemplo 109 CEDERJ Combinacoes lineares M ODULO 2 AULA 10 Determinacao de geradores de um subespaco vetorial Vimos que dado um conjunto de vetores de um espaco vetorial V o conjunto de todas as suas combinacoes lineares e um subespaco vetorial de V E natural pensarmos se o contrario tambem acontece sera que todo subespaco S de V e gerado por um conjunto de vetores A resposta a per gunta nesses termos e simples e claro que S e o subespaco gerado por S verifique Facamos a pergunta de outro modo sera que todo subespaco S de V incluindo o proprio V e gerado por um conjunto finito de vetores A resposta e sim para alguns espacos entre eles Rn ou MmnR Existem tambem espacos que nao tˆem essa propriedade como e o caso do exemplo 1l de subespacos gerados Em nosso curso estudaremos mais a fundo os espacos que sao finitamente gerados ou seja que admitem um conjunto finito de geradores o mesmo acontecendo para todos os seus subespacos Veremos agora como encontrar geradores para subespacos atraves do estudo de alguns exemplos Exemplo 6 Retornemos ao exemplo 2 da Aula 9 S x 2x x R R2 Para verificar que de fato S e o subespaco gerado pelo vetor 1 2 R2 basta notar que os elementos de S sao todos da forma x 2x x1 2 variando o valor de x obtemos diferentes elementos de S Ora x1 2 e a expressao de uma combinacao linear de 1 2 portanto todos os elementos de S sao combinacoes lineares de 1 2 Exemplo 7 Seja S x x y y x y R R3 Raciocinando como anteriormente vemos que o elemento generico de S e da forma x x y y x x 0 0 y y x1 1 0 y0 1 1 ou seja e combinacao linear dos vetores 1 1 0 e 0 1 1 Podemos escrever entao S 1 1 0 0 1 1 Exemplo 8 Seja S x y z R3 x y z 0 Para encontrar geradores para esse subespaco do R3 devemos procurar escrevˆelo na forma do exemplo acima colocando nas coordenadas do vetor generico as equacaooes que definem o espaco No caso em questao como temos uma equacao e trˆes variaveis podemos escrever o conjunto solucao da equacao que e exatamente 111 CEDERJ Base e dimensao M ODULO 2 AULA 11 Aula 11 Base e dimensao Objetivos Definir independˆencia linear e mostrar como verificar se um conjunto e line armente independente Definir base de um espaco vetorial e dar alguns exemplos Mostrar a base canˆonica do Rn Introducao Na Aula 10 estudamos subespacos gerados por um conjunto de vetores em um espaco vetorial V Veremos agora que alguns conjuntos de vetores geram um subespaco de maneira mais eficiente Vamos comecar com um exemplo Exemplo 1 O subespaco de R3 gerado pelos vetores u 1 2 0 v 3 0 1 e No exemplo 3 da Aula 10 vi mos com detalhes a deter minacao do subespaco de R3 gerado por u v e w w 2 2 1 e o plano de equacao S 2x y 6z 0 Dizemos que u v w e um conjunto de geradores para o plano S No entanto como ve remos a seguir os vetores u 1 2 0 e s 12 6 5 juntos geram o plano S Para ver isto vamos usar o metodo explicado no exemplo 3 da Aula 10 Se W e o subespaco gerado por u e s entao x y z W quando existem a b R tais que x y z au bs Mas au bs a1 2 0 b12 6 5 a 12b 2a 6b 5b Assim x y z W quando existe solucao para o sistema a 12b x 2a 6b y 5b z 115 CEDERJ Base e dimensao Vamos colocar este sistema em forma matricial e resolvˆelo 1 12 x 2 6 y 0 5 z L2 L2 2L1 L3 1 5L3 1 12 x 0 30 y 2x 0 1 z 5 L1 L1 12L3 L2 L2 30L3 1 0 x 12z 5 0 0 y 2x 30z 5 0 1 z 5 1 0 x 12z 5 0 1 z 5 0 0 y 2x 6z Isto mostra que o sistema tem solucao se e somente se 2xy6z 0 linha nula e que neste caso a solucao e a x 12z 5 e b z 5 Como 2x y 6z e a equacao do plano S entao u e s geram o plano S Portanto o conjunto u v w gera o plano S e o conjunto u s tambem gera o mesmo plano S O segundo conjunto gera o mesmo subespaco com um numero menor de vetores geradores Independˆencia linear A chave para entendermos o que esta acontecendo no exemplo anterior esta no conceito de independˆencia linear Um conjunto de vetores v1 v2 vn em um espaco vetorial V e chamado linearmente independente se a equacao vetorial c1v1 c2v2 cnvn 0 1 admite apenas a solucao trivial c1 c2 cn 0 O conjunto v1 v2 vn e chamado linearmente dependente quando a equacao 1 admite alguma solucao nao trivial isto e se existem escalares c1 cn nao todos iguais a zero tais que 1 seja valido E comum usar a abreviacao LI para conjuntos linearmente indepen dentes e LD para os linearmente dependentes CEDERJ 116 Base e dimensao M ODULO 2 AULA 11 Exemplo 2 Um conjunto contendo um unico vetor v e linearmente independente se e somente se v 0 Exemplo 3 O conjunto v1 v2 contendo apenas dois vetores v1 v2 naonulos e linear mente dependente quando um e multiplo do outro pois se c1v1 c2v2 0 possui solucao nao trivial entao c1 0 e c2 0 pois c1 0 c2 0 e c2v2 0 v2 0 analogamente c2 0 v1 0 c1v1 c2v2 0 v1 c2 c1 v2 Portanto v1 e multiplo de v2 Exemplo 4 Seja C0 1 o conjunto das funcoes reais contınuas com domınio 0 1 Este conjunto forma um espaco vetorial com as operacoes usuais de soma de funcoes e multiplicacao por escalar O conjunto sen t cos t e linearmente independente em C0 1 ja que sen t e cos t sao naonulos e nao sao multiplos um do outro enquanto vetores de C0 1 Isto e nao ha c R tal que sen t c cos t para todo t 0 1 Para ver isso basta comparar os graficos de sen t e cos t O conjunto sen 2t sen t cos t e linearmente dependente em C0 1pois sen 2t 2 sen t cos t t 0 1 Exemplo 5 Seja P2 o espaco vetorial formado por polinˆomios de grau 2 Sejam p1 1 p2 x 1 p3 5 x entao p1 p2 p3 forma um conjunto linearmente dependente pois 4p1 p2 p3 0 Como determinar se um conjunto e LI Para determinarmos se um conjunto de vetores v1 v2 vn e li nearmente independente em um espaco vetorial V devemos verificar se a equacao c1v1 cnvn 0 possui ou nao solucao naotrivial 117 CEDERJ Base e dimensao Exemplo 6 Mostre que o conjunto 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e LI em R3 Solucao Vamos resolver a equacao c11 0 0 c20 1 0 c30 0 1 0 0 0 c1 0 0 0 c2 0 0 0 c3 0 0 0 c1 c2 c3 0 0 0 c1 c2 c3 0 Portanto a unica solucao e a trivial c1 c2 c3 0 o que mostra que o conjunto e LI Exemplo 7 Determine se o conjunto u v w onde u 1 2 0 v 3 0 1 e w 2 2 1 e LI em R3 Solucao Voltamos aos vetores do exemplo 1 que como vimos geram o plano S dado por 2x y 6z 0 Vamos resolver a equacao c1u c2v c3w 0 0 0 2 Substituindo os valores de u v e w c11 2 0 c23 0 1 c32 2 1 0 0 0 c1 2c1 0 3c2 0 c2 2c3 2c3 c3 0 0 0 c1 3c2 2c3 2c1 2c3 c2 c3 0 0 0 o que leva ao sistema c1 3c2 2c3 0 2c1 2c3 0 c2 c3 0 CEDERJ 118 Base e dimensao Base de um subespaco vetorial Seja W um subespaco de um espaco vetorial V Um conjunto de vetores B v1 vn e uma base de W se i B e um conjunto linearmente independente ii O subespaco gerado por B e W Observe que a definicao de base se aplica tambem ao proprio espaco vetorial V pois todo espaco vetorial e subespaco de si mesmo Observe tambem que se B v1 vn e base de W entao v1 vn pertencem a W Exemplo 9 Sejam os vetores i1 1 0 0 i2 0 1 0 e i3 0 0 1 Considere o conjunto i1 i2 i3 ja vimos que o conjunto e LI e claramente gera R3 pois x y z R3 x y z xi1 yi2 zi3 Logo i1 i2 i3 e base de R3 Esta base e chamada base canˆonica do R3 x1 i1 x2 x3 i2 i3 Base canˆonica do R3 Exemplo 10 Sejam os vetores i1 1 0 0 i2 0 1 0 in 0 0 1 O conjunto i1 in e uma base do Rn chamada base canˆonica CEDERJ 120 Base e dimensao M ODULO 2 AULA 11 Exemplo 11 O conjunto u s onde u 1 2 0 e s 12 6 5 e uma base do su bespaco S onde S 2x y 6z 0 Veja os exemplos 7 e 8 Exemplo 12 Seja P n o espaco dos polinˆomios de grau n Entao o conjunto B 1 t tn forma uma base de P n Esta base e chamada canˆonica de P n De fato B claramente gera P n Para provar que B e LI sejam c0 cn tais que c01 c1t c2t2 cntn 0 A igualdade significa que o polinˆomio da esquerda tem os mesmos coefi cientes que o polinˆomio da direita que e o polinˆomio nulo Mas o polinˆomio da esquerda deve ter infinitas solucoes pois seu valor e zero t R logo deve ser nulo Portanto c0 c1 cn 0 e assim 1 t1 tn e LI Resumo Nesta aula estudamos conjuntos linearmente independentes LI e li nearmente dependentes LD Vimos que um conjunto B gerador de um subespaco W e linearmente independente e uma base de W Vimos alguns exemplos As bases sao conjuntos geradores mınimos para um subespaco no sentido de que se um conjunto tem mais elementos que uma base entao ele e LD e se tem menos elementos que uma base de W entao nao gera W Estas propriedades das bases serao vistas na proxima aula 121 CEDERJ Dimensao de um espaco vetorial M ODULO 2 AULA 12 Aula 12 Dimensao de um espaco vetorial Objetivo Apresentar o sistema de coordenadas determinado por uma base em um espaco vetorial V Mostrar que se um espaco vetorial V tem uma base com n elementos entao todas as bases de V tem n elementos Definir dimensao Introducao Uma vez que esteja especificada uma base B para um espaco vetorial V podemos representar um vetor v V por suas coordenadas na base B Por isso dizemos que uma base B de V estabelece um sistema de coordenadas em V Veremos com mais detalhes o que isso tudo quer dizer mais adiante Veremos que se a base B tem n vetores entao um vetor v V fica repre sentado por uma nupla a1 a2 an Isto faz o espaco vetorial V se parecer com Rn Exploraremos esta relacao para mostrar que todas as bases de um mesmo espaco vetorial V tˆem o mesmo numero de elementos Sistema de coordenadas A existˆencia de um sistema de coordenadas esta baseada no seguinte teorema Teorema 1 Representacao unica Seja B b1 bn uma base para um espaco vetorial V Entao para cada x V existe um unico conjunto de escalares c1 cn tal que x c1b1 cnbn 123 CEDERJ Dimensao de um espaco vetorial Solucao Se B b1 b2 b3 e xB c1 c2 c3 entao x c1b1 c2b2 c3b3 isto e 1 t2 c12 c21 t c31 t t2 1 t2 2c1 c2 c2t c3 c3t c3t2 1 t2 2c1 c2 c3 tc2 c3 c3t2 Comparando os coeficientes obtemos 2c1 c2 c3 1 c2 c3 0 c3 1 o que leva a c1 3 2 c2 1 c3 1 Portanto xB 3 2 1 1 Exemplo 4 Seja V um espaco vetorial e B b1 bn uma base de V A repre sentacao do vetor nulo em B e 0B 0 0 pois se vB 0 0 entao v 0b 0bn 0 Base de um espaco vetorial Nesta secao provaremos que todas as bases de um espaco vetorial V tem o mesmo numero de elementos Vamos iniciar com o Rn O conjunto B i1 i2 in e uma base de Rn ver exemplo 10 da aula 11 Esta e a base canˆonica do Rn No teorema a seguir veremos que qualquer conjunto com mais de n elementos e LD Teorema 2 Seja S u1 up um subconjunto do Rn Se p n entao S e linear mente dependente CEDERJ 126 Dimensao de um espaco vetorial M ODULO 2 AULA 12 Demonstracao Seja u1 x11 x12 x1n up xp1 xp2 xpn A equacao c1u1 cpup 0 1 pode ser escrita como c1 x11 x21 xn1 cp x1p x2p xnp 0 0 0 vetor nulo doRn o que resulta no sistema x11c1 x1pcp 0 x21c1 x2pcp 0 2 xn1c1 x2pcp 0 O sistema 2 e um sistema homogˆeneo nas variaveis c1 cp com n equacoes Como p n entao tratase de um sistema homogˆeneo com mais variaveis que equacoes Seguese que ha solucoes naotriviais de 2 logo 1 tem solucoes naotriviais e portanto S u1 up e linearmente dependente O proximo teorema generaliza este resultado para qualquer espaco ve torial Teorema 3 Se um espaco vetorial V tem base B b1 bn entao todo subconjunto de V com mais de n vetores e linearmente dependente Demonstracao Seja u1 up um subconjunto de V com p n Os vetores das coordenadas u1B u2B upB formam um subconjunto do Rn com p n vetores Pelo teorema anterior este e um conjunto LD 127 CEDERJ Dimensao de um espaco vetorial Portanto existem escalares c1 cp nem todos iguais a zero tais que c1u1B cpupB 0 0 Como a transformacao de coordenadas e uma transformacao linear Verifique que se B e uma base de um espaco veto rial V a b V e c1 e c2 sao escalares entao c1ac2bB c1aBc2bB Isto mostra que a trans formacao de coordenadas e uma transformacao linear temos c1u1 cpupB 0 0 Portanto a representacao do vetor c1u1 cpup na base B e 0 0 isto e c1u1 cpup 0b1 0bn 0 3 A equacao 3 mostra que u1 up e um conjunto linearmente de pendente Teorema 4 Se um espaco vetorial V tem uma base com n vetores entao toda base de V tambem tem exatamente n vetores Demonstracao Seja B1 uma base com n vetores e seja B2 uma outra base de V Como B1 e base e B2 e linearmente independente entao B2 nao tem mais que n vetores pelo teorema anterior Por outro lado como B2 e base e B1 e linearmente independente entao B2 nao tem menos que n vetores Disto resulta que B2 tem exatamente n vetores Um espaco vetorial pode nao ter uma base com um numero finito de ve tores Por exemplo o espaco vetorial dos polinˆomios na variavel t denotado Rt nao tem base finita Uma base para este espaco e 1 t t2 t3 Como este conjunto e infinito entao Rt nao pode ter base finita se tivesse uma base com d elementos entao qualquer conjunto com mais de d elementos seria LD logo nao poderia ter uma base infinita CEDERJ 128 Dimensao de um espaco vetorial M ODULO 2 AULA 12 O teorema anterior mostra que se um espaco vetorial V tem base finita entao todas as bases tem o mesmo numero de elementos Isto motiva a seguinte definicao Definicao Se V tem uma base finita entao V e chamado espaco vetorial de di mensao finita e chamamos de dimensao de V denotada dim V o numero de vetores de uma base de V Caso V nao tenha uma base finita dizemos que V e um espaco vetorial de dimensao infinita A dimensao do espaco vetorial trivial 0 e definida como sendo igual a zero Exemplo 5 dim Rn n Basta notar que a base canˆonica do Rn tem n vetores Exemplo 6 dim P n n 1 onde o P n e o espaco vetorial dos polinˆomios de grau n Uma base de P n e o conjunto 1 t t2 tn que tem n 1 vetores Exemplo 7 Determine a dimensao do subespaco H de R3 geral do pelos vetores v1 1 2 1 e v2 0 1 1 Solucao Como v1 e v2 nao sao multiplos um do outro entao o conjunto v1 v2 e LI portanto e uma base de H Logo dim H 2 Teorema do conjunto gerador Um problema comum e o de encontrar uma base para um subespaco gerado por um certo conjunto de vetores Se este conjunto e LI entao e base do subespaco que ele gera se nao for LI entao possui excesso de vetores como mostra o teorema a seguir 129 CEDERJ Dimensao de um espaco vetorial Teorema 5 Teorema do Conjunto Gerador Seja S v1 vp um conjunto em V e seja H o conjunto gerado por v1 vp a Se um dos vetores de S digamos vk e combinacao linear dos outros entao S vk ainda gera o subespaco H b Se H 0 entao algum subconjunto se S e uma base de H Demonstracao a Reordenando os vetores se necessario suponha que vp e combinacao linear dos vetores v1 vp1 Entao existem escalares c1 cp1 tais que vp c1v1 cp1vp1 1 Seja x um vetor em H Entao existem x1 xp tais que x x1v1 xp1vp1 xpvp 2 Substituindo o valor de vp de 1 em 2 resulta que x x1v1 xp1vp1 xpc1v1 cp1vp1 x1 c1xpv1 xp1 cp1xpvp1 Portanto todo x H e combinacao linear dos vetores v1 v2 vp1 b Se o conjunto gerador inicial S e linearmente independente entao e base do subespaco H que gera Caso contrario e linearmente dependente o que implica que algum vetor em S e combinacao linear dos demais Excluindo este vetor obtemos um subconjunto S1 S que tambem gera H Se S1 e linearmente independente entao e base de H Caso contrario algum vetor em S1 e combinacao linear dos outros Excluindo este obtemos S2 que tambem gera Como H 0 e o conjunto inicial S e finito entao o processo acima deve parar isto e existe um subconjunto Si de S tal que Si gera H e Si e linearmente independente CEDERJ 130 Dimensao de um espaco vetorial M ODULO 2 AULA 12 Exemplo 8 Determine uma base para o subespaco H a b c 2a d b c d 5d tal que a b c e d R Solucao Claramente H R4 Note que a b c 2a d b c d 5d a 2a 0 0 b 0 b 0 c 0 c 0 0 d d 5d a 1 2 0 0 b 1 0 1 0 c 1 0 1 0 d 0 1 1 5 Portanto H e gerado pelos vetores v1 1 2 0 0 v2 1 0 1 0 v3 1 0 1 0 v4 0 1 1 5 Devemos checar se estes vetores formam um conjunto LI Claramente v3 e multiplo de v2 Portanto podemos excluir v3 O conjunto v1 v2 v3 e pelo teorema anterior gerador de H Para checar se v1 v2 v3 e LI vamos resolver a equacao c1v1 c2v2 c4v4 0 c1 1 2 0 0 c2 1 0 1 0 c4 0 1 1 5 0 0 0 0 131 CEDERJ Dimensao de um espaco vetorial O que resulta no sistema c1 c2 0 2c1 c4 0 c2 c4 0 5c4 0 este sistema implica em c2 c4 0 e c1 0 e c2 0 o que mostra que v1 v2 v4 e LI e portanto base de H Resumo Nesta aula vimos a definicao de dimensao de um espaco vetorial A definicao dada faz sentido apenas porque como estudamos se um espaco vetorial V tem uma base com n elementos entao todas as bases de V tˆem tambem n elementos Vimos tambem que dado um conjunto B linearmente dependente gerador de um subespaco H de um espaco vetorial podemos ir retirando certos vetores de B ate que o conjunto resultante seja uma base de H Exercıcios Para cada subespaco H nos exercıcios 1 a 6 determine uma base de H e sua dimensao 1 H s 2t s t 4t s t R 2 H 3s 2s t s t R 3 H a b 2a 3a b 2b a b R 4 H a b c a 3b c 0 b 2c 0 e 2b c 0 5 H a b c d a 3b c 0 6 H x y x x y R 7 Determine a dimensao do subespaco de R3 gerado pelos vetores 1 0 2 3 1 1 9 4 2 7 3 2 CEDERJ 132 Dimensao de um espaco vetorial M ODULO 2 AULA 12 8 Os quatro primeiros polinˆomios de Hermite sao 1 2t 2 4t2 e 12t 8t3 Mostre que estes polinˆomios formam uma base de P3 9 Encontre as coordenadas do polinˆomio pt 7 12t 8t2 12t3 na base de P3 formada pelos polinˆomios de Hermite ver exercıcio 8 10 Mostre que o espaco CR formado por todas as funcoes reais e um espaco de dimensao infinita 11 Mostre que uma base B de um espaco vetorial de dimensao finita V e um conjunto gerador minimal Em outras palavras se B tem n vetores entao nenhum conjunto com menos de n vetores pode gerar V Mostre tambem que a base B e um conjunto linearmente independente maximal no sentido que qualquer conjunto com mais de n vetores nao pode ser LI 12 Mostre que se H e subespaco de V e dim H dim V entao H V 133 CEDERJ Soma de subespacos M ODULO 2 AULA 13 Aula 13 Soma de subespacos Objetivos Mostrar um metodo pratico para obter uma base de um subespaco vetorial a partir de um conjunto gerador deste subespaco Provar o teorema do completamento que afirma que dado um conjunto LI em um subespaco vetorial V podemos completalo para tornar uma base de V Definir soma de subespacos e ver o teorema da dimensao da soma Como obter uma base a partir de um conjunto gerador Seja S b1 b2 b3 bn um conjunto e U o subespaco gerado por S Seja M a matriz obtida escrevendo os vetores b1 bn como linhas de M isto e bi e a iesima linha de M M b1 b2 bn As operacoes elementares nas linhas de M sao Multiplicacao de uma linha por uma constante Li αLi Troca de uma linha por outra Li Lj Substituir uma linha por uma combinacao linear dela por outra Li Li αLj Estas operacoes levam os vetores b1 bn a vetores bi bn que pertencem ao espaco gerado por b1 bn Como estas operacoes sao invertıveis isto e posso passar de b1 bn a b1 bn aplicando operacoes elementares entao o espaco gerado por b1 bn e o mesmo gerado por b1 bn 135 CEDERJ Soma de subespacos Podemos usar esta propriedade para reduzir a matriz M b1 b2 bn a uma matriz na forma M b1 b2 br 0 0 onde os b1 b2 br sao LI Neste caso b1 b2 br e um conjunto LI e gera o mesmo subespaco U gerado por b1 bn Em outras palavras obtivemos uma base a partir do conjunto gerado Exemplo 1 Obtenha uma base do subespaco U do R4 gerado pelos vetores 1 1 0 2 2 0 1 1 0 1 2 1 1 1 1 3 Determine a dimensao de U Solucao Vamos formar a matriz M dos vetores acima e reduzıla M 1 1 0 2 2 0 1 1 0 1 2 1 1 1 1 3 1 1 0 2 0 2 1 3 0 1 2 1 0 0 1 1 1 1 0 2 0 1 2 1 0 2 1 3 0 0 1 1 1 1 0 2 0 1 2 1 0 0 5 5 0 0 1 1 1 1 0 2 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 5 5 1 1 0 2 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Vemos que o subespaco U tem base 1 1 0 2 0 1 2 1 0 0 1 1 Portanto dim U 3 Observe que claramente vetores na forma x1 0 x2 0 0 x3 0 0 0 x4 onde as entradas marcadas podem ter qualquer valor e x1 0 x2 0 etc sao necessariamente LI CEDERJ 136 Soma de subespacos M ODULO 2 AULA 13 Teorema do Completamento Vimos na secao anterior como obter uma base de um conjunto gerador Se este conjunto nao e LI temos que diminuılo para conseguir uma base Nesta secao veremos o inverso Como obter uma base de um conjunto LI Se este conjunto nao e gerador entao temos que aumentalo de forma que continue LI e que se torne gerador Teorema 1 Seja b1 br um conjunto LI em um espaco vetorial de dimensao finita V Entao existem br1 bn tal que b1 br br1 bn formam uma base de V onde n dim V Demonstracao Se b1 br gera o espaco V entao nada temos a fazer Se b1 br nao e gerador entao existe br1 V tal que br1 nao e combinacao linear de b1 br Portanto b1 br br1 e um conjunto LI Se este conjunto agora e gerador obtivemos uma base Se nao ha um vetor br2 V tal que br2 nao e combinacao linear de b1 br1 Portanto b1 br br1 br2 e LI Se este conjunto for gerador obtivemos uma base caso contrario continua mos com o processo obtendo br3 br4 etc Como V tem dimensao finita digamos dim V n quando chegarmos a b1 bn teremos obtido uma base pois o processo leva sempre a conjuntos LI e um conjunto LI com n dimV elementos deve ser uma base Soma de subespacos Dados subespacos U e V de um espaco vetorial W podemos obter um subespaco maior que inclui U e V como subconjuntos e como subespacos Ja que este subespaco contem todo u U e todo v V entao deve conter todos os u v com u U e v V Lembrese que subespacos sao fechados para a soma de vetores Portanto qualquer subespaco que contenha U e V deve conter as somas u v com u U e v V Isto motiva a seguinte definicao 137 CEDERJ Soma de subespacos Definicao Sejam U e V subespacos de um espaco vetorial W Chamamos de soma de U e V o conjunto Note que nesta definicao U V e so um conjunto Mostraremos em seguida que e subespaco de W U V u v u V e v V Note que U U V e V U V Na discussao acima vimos que qualquer subespaco que contenha U e V deve conter o conjunto U V definido acima A proxima proposicao mostra que o conjunto U V ja e um subespaco vetorial A soma de subespacos e um subespaco Proposicao 1 Se U e V sao subespacos de um espaco vetorial W entao U V e subespaco de W Demonstracao Basta provar que U V e nao vazio fechado para a soma de vetores e produto por escalar U V pois U e V sao nao vazios Em particular 0 U V pois 0 U e 0 V 0 0 0 U V Se x1 x2 U V entao x1 u1 v1 e x2 u2 v2 para certos vetores u1 u2 U e v1 v2 V entao x1 x2 u1 v1 u2 v2 u1 u2 v1 v2 Como u1 u2 U e v1 v2 V entao x1 x2 U V Se x u v U V com u U e v V entao αx αu v αu αv α R Como αu U e αv V entao αx U V Como U V e subespaco e como observamos acima todo subespaco de W que contenha U e V deve conter U V entao podemos dizer que U V e o menor subespaco de W contendo U e V CEDERJ 138 Soma de subespacos M ODULO 2 AULA 13 Exemplos 2 U U 0 onde 0 e o espaco vetorial nulo 3 Seja U x 0 0 x R e V 0 y z y z R subespacos vetoriais do R3 Entao temos que U V x 0 0 0 y z x y z R x y z x y z R R3 Isto e a soma de U e V e todo o R3 Agora observe o seguinte U e uma reta o eixo OX enquanto que V e o plano dado por x 0 Neste caso a soma de um plano e uma reta e o espaco R3 v U x y z U V R3 4 Seja U x 0 0 R3 e V x y 0 R3 entao U V e U V V Neste caso a soma de um plano e uma reta e o proprio plano O que diferencia os exemplos 3 e 4 No exemplo 3 somamos um plano e uma reta nao contida nele o que resulta no espaco enquanto que no exemplo 4 somamos um plano e uma reta contida no plano resultando no proprio plano Voltaremos a este topico quando falarmos sobre a base da soma 5 Claramente se U V entao U V V 139 CEDERJ Soma de subespacos Soma direta Intuitivamente quanto menor U V mais ganhamos quando passa mos de U e V para U V Em um caso extremo se U V entao U V V e nao ganhamos nada Lembrese que U V deve sempre conter o vetor nulo 0 Definicao Sejam U e V subespacos vetoriais de W tais que U V 0 Entao dizemos que U V e a soma direta de U e V Denotamos a soma direta por U V No caso que U V W entao dizemos que U e V sao complementares e dizemos que V e o complementar de U em relacao a W e viceversa Veremos que dado subespaco U de W sempre existe o espaco com plementar de U em relacao a W isto e sempre existe V W tal que U V W Na proxima proposicao veremos como a soma direta esta relacionada a decomposicao unica de cada vetor como soma de vetores nos subespacos Proposicao 2 Sejam U e V subespacos vetoriais de um espaco vetorial W Entao W U V se e somente se cada vetor w W admite uma unica de composicao w u v com u U e v V Demonstracao Suponha por hipotese que W U V Entao dado w W existem u U e v V tais que w u v Temos que provar apenas a unicidade Suponha que exista outra decomposicao w u v com u U e v V Entao w u v w u v u u v v 0 u u v v Mas uu U e v v V Como U V 0 pois a soma e direta entao u u v v u u v v 0 u u e v v Portanto a decomposicao e unica CEDERJ 140 Soma de subespacos M ODULO 2 AULA 13 Suponha que exista decomposicao unica Como todo w W se escreve como w u v com u U e v V entao W U V Resta provar que a soma e direta Seja x U V Entao podemos escrever x x 0 0 x U V U V A unicidade da decomposicao implica em que x 0 ou seja U V 0 Exemplo 6 Seja b1 bn uma base para um espaco vetorial Vimos que todo v V tem uma unica decomposicao na forma v α1b1 αnbn Cada αibi pertence ao subespaco bi gerado pelo vetor bi Portanto vale que V b1 b2 bn O exemplo anterior leva a questao de como obter uma base de uma soma U V tendo a base de U e de V Base e dimensao da soma de subespacos Seja W um espaco vetorial de dimensao finita e sejam U e V subespacos de W Vimos que U V e U V sao subespacos de W A proposicao a seguir relaciona a dimensao destes subespacos Proposicao 3 dimU V dimU V dim U dim V Demonstracao Seja B1 x1 xr uma base de U V onde r dimU V Vamos agora completar esta base B1 de forma a criar uma base de U e uma base de V 141 CEDERJ Soma de subespacos Pelo teorema do completamento existem vetores u1 us em U e v1 vt em V tais que B2 x1 xr u1 us e uma base de U e B3 x1 xr v1 vt e uma base de V Note que r s dim U e r t dim V Mostraremos a seguir que B x1 xr u1 us v1 vt e uma base de U V a o conjunto B gera U V Seja w U V Entao w u v para certos u U e v V Como B2 e B3 sao bases de U e V respectivamente entao podemos escrever u α1x1 αrxr β1u1 βsus v α1 x1 αr xr γ1v1 γtvt onde as letras gregas sao escalares Somando u e v encontramos w uv α1α1 x1 αrαr xrβ1u1 βsusγ1v1 γtvt Portanto o conjunto B gera U V b o conjunto B e linearmente independente Suponhamos que 1 α1x1 αrxr β1u1 βsus γ1v1 γtvt 0 entao α1x1 αrxr β1u1 βsus γ1v1 γtvt O vetor do lado esquerdo da igualdade esta em U logo γ1v1 γtvt U Mas v1 vt estao em V logo γ1v1 γtvt U V Como x1 xr formam uma base de U V seguese que existem escalares δ1 δr tais que γ1v1 γtvt δ1x1 δrxr δ1x1 δrxr γ1v1 γtvt 0 CEDERJ 142 Soma de subespacos M ODULO 2 AULA 13 A equacao anterior e uma combinacao linear dos vetores em B3 que e base de V portanto LI Seguese que δ1 δr γ1 γt 0 Substituindo γ1 γt 0 em 1 obtemos α1x1 αrxr β1u1 βsus 0 que e uma combinacao linear nos vetores em B1 que e base de U logo α1 αr β1 βs 0 Com isto provamos que todos os coeficientes em 1 sao nulos ou seja o conjunto B e LI Concluımos que B e base de U V Como B tem r s t vetores entao dimU V r s t seguese que dimU V dimU V r s t r r s r t dim U dim V No caso em que a soma e direta U V 0 logo dim U V 0 e dimU V dim U dim V Alem disso na demonstracao do teorema acima vimos que no caso de soma direta se B1 e base de U e B2 e base de V entao B1 B2 e base de U V Em geral se U V 0 entao B1 B2 e um conjunto gerador de U V mas nao e LI Exemplo 7 Seja U 0 y z y z R e V 1 1 0 O subespaco U de R3 tem base 0 1 0 0 0 1 portanto dim U 2 Claramente dim V 1 Vamos determinar U V Se w U V entao w α1 1 0 logo 0 y z α1 1 0 α α 0 α 0 α y 0 z 143 CEDERJ Soma de subespacos Portanto α 0 w 0 Assim U V 0 Seguese que a soma e direta e dimU V dim U dim V 2 1 3 Como U V e subespaco de R3 e dimU V 3 entao U V R3 r Se uma reta r nao esta con tida em um plano α entao r α pode ser vazio reta pa ralela ou um ponto quando a reta corta o plano ver fi gura acima Temos entao a situacao em que a soma de um plano U e o plano x 0 e uma reta nao contida no plano e todo o espaco R3 Se a reta estiver contida no plano entao V U U V U Exemplo 8 Seja U subespaco de R4 gerado por 1 1 0 0 0 0 1 0 e V x y z t y z 0 E facil ver que o conjunto 1 1 0 0 0 0 1 0 e linearmente inde pendente logo dim U 2 Vamos determinar uma base de V v x y z t V y z 0 z y logo v x y y t x1 0 0 0 y0 1 1 0 t0 0 0 1 Seguese que V e gerado por 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 E facil ver que este conjunto e LI logo dim V 3 Podemos agora proceder de duas maneiras determinar U V ou de terminar U V Vamos determinar U V Sabemos que a uniao das bases de U e de V e um conjunto gerador de U V Vamos encontrar uma base de U V a partir deste conjunto gerador base de U base de V 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 L3 L3 L1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 L2 L4 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 L3 L3 L2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 CEDERJ 144 Soma de subespacos M ODULO 2 AULA 13 L3 L3 L4 L5 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 L5 L5 L3 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Isto mostra que a uniao das bases de U e V pode ser transformada em um conjunto que contem 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 que e uma base de R4 isto e U V R4 dimU V 4 Sendo assim dimU V dimU V dim U dim V 2 3 5 dimU V 1 Resumo Iniciamos esta aula vendo um processo de obter uma base a partir de um conjunto gerador para um espaco vetorial usando operacoes elementares nas linhas da matriz formada pelos vetores deste conjunto gerador Em seguida vimos o teorema do complemento que afirma que dado um conjunto LI em um espaco vetorial V se ele nao for uma base de V nos acrescentamos vetores ate que se torne uma base de V Passemos entao ao estudo da soma U V dos subespacos U e V de um espaco vetorial W Quando U V 0 entao a soma e chamada direta e denota por U V O conjunto uniao das bases de U e V forma um conjunto gerador de U V que no caso de soma direta e uma base de U V A dimensao de U V e dada por dimU V dimU dimV dimU V 145 CEDERJ Espacos vetoriais com produto interno M ODULO 2 AULA 14 Aula 14 Espacos vetoriais com produto interno Objetivos Prerequisitos Aulas 8 11 e 12 Reconhecer produtos internos Determinar a norma de um vetor e o ˆangulo entre dois vetores Identificar vetores ortogonais Aplicar as propriedades dos produtos internos na resolucao de exercıcios Nesta aula definiremos uma operacao entre vetores cujo resultado e um numero real o produto interno Veremos varios exemplos com destaque para Neste curso trabalhamos pe nas com espacos vetoriais re ais isto e considerando o conjunto dos numeros reais como o conjunto de escala res Poderıamos no entanto considerar o conjunto dos numeros complexos Nesse caso o resultado do pro duto interno seria um numero complexo e a definicao ligei ramente diferente o chamado produto interno estudaremos as principais propriedades dos pro dutos internos e suas aplicacoes na determinacao de grandezas geometricas associadas a vetores de R2 e R3 Produto interno Seja V um espaco vetorial real Um produto interno definido em V e uma relacao V V R que a cada par de vetores u v V V associa um numero real represen tado por u v e que satisfaz as seguintes condicoes i u v v u ii u v w u v u w iii αu v α u v iv u u 0 e u u 0 u oV u v w V α R Chamamos de espaco euclidiano a um espaco vetorial real munido de produto interno Podemos definir diferentes produtos internos num mesmo espaco veto rial Vamos ver alguns exemplos 149 CEDERJ Espacos vetoriais com produto interno Exemplo 1 Vamos mostrar que a relacao u v 2x1x2 3y1y2 onde u x1 y1 e v x2 y2 e um produto interno definido em R2 Para isso temos que mostrar a validade das quatro condicoes da definicao de produto interno i u v 2x1x2 3y1y2 2x2x1 3y2y1 v u ii Seja w x3 y3 R2 Entao u v w 2x1x2 x3 3y1y2 y3 2x1x2 2x1x3 3y1y2 3y1y3 2x1x2 3y1y2 2x1x3 3y1y3 u v u w iii Seja α R Entao αu v 2αx1x2 3αy1y2 α2x1x2 3y1y2 α u v iv u u 2x2 1 3y2 1 0 Alem disso se u u 0 entao 2x2 1 3y2 1 0 que implica x2 1 0 e y2 1 0 Daı x1 0 e y1 0 isto e u 0 0 vR2 Finalmente se u vR2 0 0 segue que u u 20 30 0 Exemplo 2 Na Aula 12 vocˆe determinou o vetorcoordenadas de um vetor em relacao a uma certa base Viu que fixados a base e o vetor as coordenadas sao unicas Sejam V um espaco vetorial real de dimensao n e B u1 u2 un uma base de V A relacao definida em V V que a cada par de vetores u e v de V associa o numero real a1b1 a2b2 anbn onde uB a1 a2 an e vB b1 b2 bn sao os vetorescoordenadas dos vetores u e v de V em relacao a base B respectivamente e um produto interno em V Importante Tendo em vista o exemplo anterior podemos concluir que TODO espaco vetorial admite produto interno Assim quando nos re ferimos a um espaco vetorial munido de produto interno nao significa que existem espacos que nao satisfazem essa propriedade mas sim que estamos querendo enfatizar o fato de que usaremos o produto interno na argumentacao ou nas aplicacoes que forem o objeto de estudo naquele instante Quando a base considerada e a canˆonica o produto interno assim defi nido chamase produto interno usual Particularmente nos espacos vetoriais R2 e R3 o produto interno usual e tambem conhecido como produto escalar Vocˆe ja estudou o produto es calar na disciplina de Geome tria Analıtica CEDERJ 150 Espacos vetoriais com produto interno 2 v 0 v V e v 0 v oV 3 u v u v u v V Desigualdade de Cauchy Schwarz 4 u v u v u v V Desigualdade triangular Usando o conceito de norma de vetor podemos tambem definir a distˆancia entre dois vetores dados u e v em um espaco euclidiano V a distˆancia entre eles representada por du v e dada por du v u v A Figura 142 ilustra o caso em que V R2 Figura 142 Distˆancia em R2 Exemplo 9 Em R3 a distˆancia entre u 3 2 1 e v 4 1 3 e du v uv 1 3 4 1 9 16 26 ˆAngulo de dois vetores Sejam V um espaco vetorial euclidiano e u v V nao nulos A desigualdade de Cauchy Schwarz u v u v sendo modular se desdobra na dupla desigualdade u v u v u v Como os vetores u e v sao nao nulos suas normas sao numeros reais positivos e podemos dividir cada termo dessa desigualdade por u v 1 u v u v 1 CEDERJ 154 Espacos vetoriais com produto interno Resumo Nesta aula definimos produto interno uma importante relacao definida em espacos vetoriais que associa um numero real a cada par de vetores do espaco A partir da definicao de produto interno podemos determinar a norma de um vetor e o ˆangulo definido por dois vetores Podemos definir diferentes produtos internos em um mesmo espaco vetorial cada um deles determinara uma norma e um ˆangulo entre vetores O produto interno mais estudado mais util para nos e o usual a partir dele a norma de um vetor do plano ou do espaco corresponde ao seu comprimento geometrico o mesmo acontecendo com o ˆangulo entre eles Vimos tambem o conceito de ortogo nalidade de vetores Na proxima aula retomaremos esse assunto estudando importantes subespacos de um espaco euclidiano Exercıcios 1 Prove a validade das propriedades do produto interno isto e sendo V um espaco euclidiano a αv α v α R v V b v 0 v V e v 0 v oV c Desigualdade de Cauchy Schwarz u v u v u v V Sugestao Primeiramente mostre que no caso em que v e o vetor nulo vale a igualdade Suponha entao v o Nesse caso sendo α um real qualquer e verdade que u αv2 0 Desenvolva essa expressao obtendo um trinˆomio do segundo grau em α sempre positivo Entao seu discriminante tem que ser menor ou igual a zero Daı segue a desigualdade procurada d Desigualdade triangular u v u v u v V Sugestao Desenvolva a expressao u v2 e use a desigualdade de Cauchy Schwarz 2 Considerando o espaco euclidiano R3 calcule u v em cada caso a u 2 1 0 e v 3 4 1 b u 12 3 2 e v 1 1 5 CEDERJ 156 Espacos vetoriais com produto interno M ODULO 2 AULA 14 d u v2 u v u v u u u v v u v v u2 2 u v v2 Usando a desigualdade de Cauchy Schwarz u v2 u2 2u v v2 u v2 Logo u v u v u v V 2 a 10 b 252 3 w 2 4 4 a 5 b 3 c 6 5 a v t b u 1 u2 1 a2 14 1 a 32 6 a 00 b 450 c arccos 2 55 d 1350 7 a A C D b M 15 c 90o as matrizes M1 e M2 sao ortogonais d dM1 M2 M1 M2 60 2 15 8 a Sendo p a0 a1t a2t2 e q b0 b1t b2t2 em P2 o produto interno usual e dado por p q a0b0 a1b1 a2b2 b 29 Tabela do cosseno θ 0 0o π6 30o π4 45o π3 60o π2 90o cos θ 1 32 22 12 0 Para os ˆangulos do segundo quadrante compreendidos no intervalo π2 π basta lembrar que cos π θ cos θ ou cos 180 θ cos θ Por exemplo cos 1200 cos 18001200 cos 600 12 159 CEDERJ Conjuntos ortogonais e ortonormais c Se S e um conjunto ortogonal num espaco euclidiano V entao o con junto resultante da uniao S oV tambem e ortogonal pois o vetor nulo e ortogonal a qualquer outro vetor E claro tambem que nenhum conjunto em que o vetor nulo comparece e ortonormal pois a condicao de todos os vetores serem unitarios nao e satisfeita Na Aula 14 vimos que num espaco euclidiano o cosseno do ˆangulo θ formado por dois vetores u e v nao nulos e cos θ u v u v No caso de os dois vetores serem unitarios a formula se resume a cos θ u v Agora num conjunto ortornomal S so ha duas possibilidades para a medida do ˆangulo formado por quaisquer dois de seus vetores se os vetores sao distintos entao formam ˆangulo reto e entao o produto interno e igual a zero pois vimos acima que o cosseno do ˆangulo se iguala ao produto interno se consideramos duas vezes o mesmo vetor entao o ˆangulo e nulo e seu cosseno e igual a 1 logo o produto interno tambem e 1 Daı podemos concluir que Sendo S v1 v2 vn um subconjunto ortonormal de um espaco euclidiano entao i j θ 90o cos θ 0 vi vj i j θ 0o cos θ 1 vi vj Podemos entao caracterizar um conjunto ortonormal v1 v2 vn usando o sımbolo de Kronecker Lembrando A funcao delta de Kronecker nos ındices i e j e definida por δij 0 se i j 1 se i j vi vj δij i j 1 n Veremos a seguir um importante resultado envolvendo conjuntos or tonormais CEDERJ 162 Conjuntos ortogonais e ortonormais Metodo de ortonormalizacao de GramSchmidt Todo espaco euclidiano admite uma base ortonormal Demonstracao dim V 1 Seja v uma base de V Entao o conjunto u v v e uma base ortonormal de V dim V 2 Seja v1 v2 uma base de V Seja u1 v1 v1 Pela pro posicao 3 o vetor g2 v2 proju1v2 v2 v2 u1 u1 e ortogonal a u1 Entao o vetor u2 versor de g2 g2 2 e unitario e tambem e ortogonal a u1 Logo o conjunto u1 u2 e uma base ortonormal de V pois possui dois vetores ortogonais e unitarios e a dimensao de V e dois dim V n Prosseguindo de forma analoga dada uma base de V vamos construindo um a um os vetores de uma outra base esta sim or tonormal O primeiro e simplesmente o versor do primeiro vetor da base original A partir do segundo a ideia e decompor cada vetor em duas com ponentes uma na direcao do subespaco gerado pelos vetores ja obtidos e outra ortogonal a primeira E o versor desa segunda componente que ira se reunir aos vetores ja obtidos para formar a base ortonormal Exemplo 7 Vamos aplicar o metodo de GramSchmidt para obter uma base ortonormal de R3 a partir da base B v1 v2 v3 com v1 1 1 1 v2 1 1 1 e v3 0 1 1 Seja B u1 u2 u3 a base ortonormal procurada Entao u1 v1 v1 111 3 1 3 1 3 1 3 g2 v2 proju1v2 v2 v2 u1 u1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 31 3 1 3 1 3 1 1 1 13 13 13 23 43 23 O vetor g2 e ortogonal a u1 De fato g2 u1 23 3 43 3 23 3 0 Entao o segundo vetor da nova base e o versor de g2 isto e u2 g2 g2 234323 4916949 234323 249 234323 2 6 3 32 623 43 23 1 6 2 6 1 6 CEDERJ 168 Conjuntos ortogonais e ortonormais M ODULO 2 AULA 15 g3 v3 proju1v3 proju2v3 v3 v3 u1 u1 v3 u2 u2 v3 2 3u1 1 6u2 0 1 1 2 31 3 1 3 1 3 1 61 6 2 6 1 6 0 1 1 23 23 23 16 26 16 12 0 12 Logo o terceiro vetor da base B e o versor de g3 isto e u3 g3 g3 12012 2 4 2 212 0 12 1 2 0 1 2 Logo a base ortonormal de R3 e B 1 3 1 3 1 3 1 6 2 6 1 6 1 2 0 1 2 Exemplo 8 Em R3 vamos projetar o vetor u 1 2 3 ortogonalmente na direcao do vetor v 1 2 2 Observe primeiramente que v nao e unitario pois v 1 4 4 3 O seu versor e o vetor v v 3 13 23 23 O vetor projecao e projvu projvu u v v 1313 23 23 19 29 29 Alem disso o vetor u projvu 1 2 3 19 29 29 109 209 259 e ortogonal a v Exemplo 9 Vamos projetar o vetor u 1 2 3 do exemplo anterior sobre o plano P de R3 gerado pelos vetores v1 1 0 2 e v2 0 1 0 Precisamos de uma base ortonormal do subespaco gerado por v1 e v2 Note que esses dois vetores sao ortogonais precisamo apenas tomar o versor de v1 uma vez que v2 ja e unitario v 1 102 5 1 5 0 2 5 Entao projPu projv1u projv2u u v 1 v 1 u v 2 v 2 5 51 5 0 2 5 20 1 0 1 2 2 Note que a projecao e um vetor de P Por outro lado a diferenca u 1 2 1 2 0 1 e um vetor ortogonal a P Exemplo 10 Vamos obter uma base ortonormal do subespaco de R3 U x y z R3xyz 0 e em seguida projetar o vetor u 5 3 2 ortogonalmente sobre U 169 CEDERJ Conjuntos ortogonais e ortonormais Primeiramente vamos obter uma base para U Note que um vetor de U e da forma x x z z x1 1 0 z0 1 1 Logo v1 1 1 0 e v2 0 1 1 formam uma base de U Precisamos ortonormalizar essa base Seja B u1 u2 a base ortonormal procurada Entao u1 v1 v1 110 2 1 2 1 2 0 g2 v2 proju1v2 v2 v2 u1 u1 0 1 1 1 21 2 1 2 0 12 12 1 Logo u2 g2 g2 2 612 12 1 1 6 1 6 2 6 Entao B 1 2 1 2 0 1 6 1 6 2 6 Agora podemos obter a projecao de u sobre U projUu proju1u proju2u u u1 u1 u u2 u2 8 21 2 1 2 0 2 61 6 1 6 2 6 113 133 23 Resumo Nesta aula vocˆe aprendeu um metodo pratico de obter uma base or tonormal a partir de outra base dada Isso e necessario pois aprendemos como projetar ortogonalmente um vetor sobre um subespaco desde que co nhecamos uma base ortornormal desse subespaco Vimos tambem que a di ferenca entre o vetor projetado e sua projecao ortogonal sobre um subespaco e um vetor ortogonal ao subespaco Exercıcios 1 Em R2 obtenha o vetor projecao ortogonal de u 4 5 na direcao de v 1 2 2 Em R3 obtenha o vetor projecao ortogonal de u 1 1 3 na direcao de v 0 1 1 3 Dˆe a componente de u 2 1 1 em R3 ortogonal ao vetor v 1 2 1 4 Determine a projecao ortogonal do vetor u 2 1 3 sobre o subespaco de R3 gerado por S 1 0 1 2 1 2 5 Projete ortogonalmente o vetor u 3 2 1 sobre o subespaco W x y z R3 x y z 0 CEDERJ 170 Conjuntos ortogonais e ortonormais M ODULO 2 AULA 15 6 Use o metodo de ortonormalizacao de GramSchmidt para obter uma base ortonormal de R3 a partir da base B 1 0 0 0 1 1 0 1 2 7 Obtenha uma base ortornormal de R2 a partir da base B 1 2 1 3 8 Obtenha uma base ortornormal para o seguinte subespaco vetorial de R4 U x y z t R4x y 0 e z 2t A seguir projete o vetor u 1 3 4 2 ortogonalmente sobre U Autoavaliacao Vocˆe deve estar familiarizado com a expressao que fornece a projecao ortogonal de um vetor sobre um subespaco Lembrese que isso so pode ser feito quando temos uma base ortonormal Entao o que devemos fazer e Verificar se a base do subespaco sobre o qual vamos projetar e ortonor mal Se sim usar a formula da projecao ortogonal Se nao usar primeiramente o Metodo de ortonormalizacao de Gram Schmidt para obter uma base ortonormal e aı sim aplicar a formula da projecao Nao resta duvida de que e um metodo trabalhoso envolvendo muitos calculos mas o importante e que vocˆe compreenda o significado geometrico do que o processo realiza A ideia e desentortaros vetores trocando cada um deles pela sua componente que e ortogonal a direcao de cada subespaco gerado pelos anteriores Ao final do metodo obtemos vetores ortogonais dois a dois todos unitarios A utilidade de se lidar com bases ortonormais ficara mais evidente quando estudarmos representacoes matriciais de trans formacoes lineares Nao se assuste com o nome tudo a seu tempo Ate la Em tempo havendo qualquer duvida procure o tutor da disciplina 171 CEDERJ Conjuntos ortogonais e ortonormais Respostas dos exercıcios 1 145 285 2 0 2 2 3 116 86 56 4 Observe primeiramente que os vetores geradores sao ortogonaisA resposta e 116 13 196 5 Veja o exemplo feito em aula primeiramente obtenha uma base de W em seguida aplique o metodo de GramSchmidt para obter uma base ortonor mal Aı sim use a expressao que fornece a projecao ortogonal A resposta e 53 23 73 6 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 7 55 2 55 2 55 55 8 1 2 1 2 0 0 0 0 2 5 1 5 2 2 4 2 CEDERJ 172 Complemento ortogonal M ODULO 2 AULA 16 Aula 16 Complemento ortogonal Objetivo Prerequisitos Aulas 13 Soma de subespacos 14 Espacos euclidianos e 15 Conjuntos ortonor maisprojecao ortogonal Obter o complemento ortogonal de um subespaco Esta aula e curta nela completaremos a teoria iniciada na aula an terior Destacaremos um subespaco especial que e definido a partir de um outro subespaco usando a nocao de ortogonalidade Recordaremos tambem o conceito de soma direta de subespacos Iniciamos com a principal definicao desta aula Complemento ortogonal Sejam V um espaco euclidiano e U V um subespaco vetorial de V Vamos representar por U o subconjunto formado pelos vetores de V que sao ortogonais a todo vetor de U isto e U v V v u 0 u U O subconjunto U e chamado complemento ortogonal de U e e tambem um subespaco vetorial de V De fato i U pois oV u 0 u V logo oV U ii Sejam v1 v2 U isto e v1 u 0 e v2 u 0 u U Entao v1 v2 u v1 u v2 u 0 0 0 u U Logo v1 v2 U iii Sejam α R e v U isto e v u 0 u U Entao αv u α v u α0 0 u U Logo αv U 173 CEDERJ Complemento ortogonal Exemplo 1 Em R2 o complemento ortogonal do subespaco gerado pelo vetor 3 0 e o subespaco gerado pelo vetor 0 1 De fato sendo U 3 0 um vetor u U e da forma 3α 0 para algum α R Queremos identificar os vetores de R2 que sao ortogonais a todo vetor de U Isto e os vetores v x y R2 tais que v u 0 u U Ou seja queremos x y tais que 3αx 0 Como essa igualdade tem que se verificar para qualquer α real concluımos que x 0 Logo todo vetor de U e da forma 0 y com y R Assim qualquer vetor dessa forma nao nulo gera U e podemos escrever U 0 1 Note que U e o eixo das abscissas e U o eixo das ordenadas como indica a Figura 161 Figura 161 Um subespaco de R2 e seu complemento ortogonal Na Aula 13 vocˆe estudou soma e soma direta de subespacos Recordando Sendo U e W subespacos vetoriais de um mesmo espaco vetorial V a soma de U e W e o subconjunto de V formado pelos vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U com um de W isto e U W v V v u w u U e w W A soma de dois subespacos de V e tambem um subespaco de V A soma direta de U e W representada por U W e a soma de U e W no caso em que U W oV Sendo V de dimensao finita a dimensao da soma direta de U e W e a soma das dimensoes de U e W e a uniao de uma base de U com uma base de W e uma base da soma direta CEDERJ 174 Exercıcios resolvidos b ABT AT BT c A B1 A1 B1 d AB1 B1 A1 e det A det AT f det A1 det A g Se A MnR α R det αA nαdet A 4 Determine a R para que exista a inversa da matriz A 1 0 2 4 1 a 2 1 3 Caso exista calcule A1 para a 8 5 Provao MEC 2002 A e B sao matrizes reais n n sendo n 2 e α um numero real A respeito dos determinantes dessas matrizes e correto afirmar que a det AB det Adet B b det A B det A det B c det αA αdet A d det A 0 se todos os elementos de A forem positivos e se det A 0 entao A possui duas linhas ou colunas iguais 6 Calcule det 2 1 3 0 2 1 3 5 2 0 4 5 1 0 1 3 por triangularizacao 7 Classifique e resolva por escalonamento cada um dos sistemas lineares abaixo S1 x y z 0 2x 4y z 0 3x 2y 2z 0 S2 2x y z 0 x 2y z 0 3x y 0 S3 x y 3z 2 x y z 1 x 3y 5z 5 8 Discuta o sistema linear 2x 3y az 3 x y z 1 x ay 3z 2 segundo os valores do parˆametro real a CEDERJ 182 Exercıcios resolvidos M ODULO 2 AULA 17 c 1 1 3 2 1 1 1 1 1 3 5 5 L2 L2 L1 L3 L3 L1 1 1 3 2 0 2 2 1 0 2 2 3 L3 L3 L2 1 1 3 2 0 2 2 1 0 0 0 2 Obtemos o sistema equivalente x y 3z 2 2y 2z 1 0 2 que e incompatıvel Logo o conjuntosolucao do sistema dado e vazio R8 2 3 a 3 1 1 1 1 1 a 3 2 L1 L2 1 1 1 1 2 3 a 3 1 a 3 2 L2 L2 2L1 L3 L3 L1 1 1 1 1 0 1 a 2 1 0 a 1 4 1 L3 L3 a 1L2 1 1 1 1 0 1 a 2 1 0 0 4 a 1a 2 1 a 1 A terceira equacao pode ser escrita a 2a 3z a 2 Note que a expressao do primeiro membro se anula para a 2 ou a 3 Entao Se a 2 a terceira equacao fica 0 0 e o sistema e nesse caso compatıvel e indeterminado Se a 3 a terceira equacao fica 0z 5 o que torna o sistema incompatıvel Finalmente se a 2 e a 3 a terceira equacao nem e eliminada nem e impossıvel Nesse caso o sistema e compatıvel e determinado R9 1 2 7 a 1 2 3 b 2 6 11 c L2 L2 L1 L3 L3 2L1 1 2 7 a 0 4 10 b a 0 10 25 c 2a L2 14L2 1 2 7 a 0 1 52 b a4 0 10 25 c 2a L3 L3 10L2 189 CEDERJ