Álgebra Linear

Introdução á Álgebra Linear Atividade 02EST Prof Martinho da Costa Araújo Alunoa 25022025 1 Quais dos conjuntos V com as operações indicadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre ℝ Caso V não seja um espaço vetorial sobre ℝ mostre as propriedades que não funciona em determinado caso particular a V ℝ² x y x y ℝ com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por xyab ℝ² e α ℝ x ya b 3y 3b x a αxy 3αy αa b Seja V ℝ³ x y z x y z ℝ com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ a₁ b₁ 5 a₂ b₂ 7 a₃ b₃ 1 λ a₁ a₂ a₃ λa₁ 5 λ 1 λa₂ 7 λ 1 λa₃ λ 1 para toda x y z V ℝ³ e todo λ ℝ 2 Seja V ℝ³ o espaço vetorial com as operações usuais e U a b c ℝ³ a b 2c 0 T a b c ℝ³ a c W 0 0 c ℝ³ c ℝ subespaços de V ℝ³ a Mostre que U T e W são subespaços vetoriais de V ℝ³ b Calcule U T U W e T W c V ℝ³ é soma direta de quais somas do item2b 3 Seja V Mₙₓₙℝ o conjunto das matrizes n n com entradas reais com as operações usuais de matrizes sabemos que V Mₙₓₙℝ é um espaço vetorial sobre ℝQuais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de V Mₙₓₙℝ a U A Mₙₓₙℝ Aᵗ A b W A Mₙₓₙℝ A B B A onde B Mₙₓₙ ℝ é uma matriz fixa Observação 1 Forma de entregar a Atividade 02 Pelo Teams até 28022025 1 a Note que V não é um espaço vetorial pois não satisfaz 1 xy xy Tome α1 e 21 V temos 1 21 311 1a 3 a 21 b V é um espaço vetorial pois dado a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ c₃ V e x₁x₂ ℝ I a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ c₃ a₁b₁5 a₂b₂7 a₃b₃1 c₁ c₂ c₃ a₁b₁5c₁5 a₂b₂7c₂7 a₃b₃1c₃1 a₁5b₁c₁5 a₂7b₂c₂7 a₃1b₃c₃1 a₁ a₂ a₃ b₁c₁5 b₂c₂7 b₃c₃1 a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ c₃ II a₁a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ a₁b₁5 a₂b₂7 a₃b₃1 b₁a₁5 b₂a₂7 b₃a₃1 b₁ b₂ b₃ a₁ a₂ a₃ III O vetor 571 é o vetor nulo pois a₁ a₂ a₃ 571 a₁55 a₂77 a₃11 a₁ a₂ a₃ IV Se a₁ a₂ a₃ V então seu inverso é 10a₁ 14a₂ 2a₃ pois a₁ a₂ a₃ 10a₁ 14a₂ 2a₃ a₁a₁105 a₂a₂147 a₃a₃21 5 7 1 o vetor nulo aqui V λa₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ λa₁b₁5 a₂b₂7 a₃b₃1 λa₁b₁55λ1 λa₂b₂77λ1 λa₃b₃1λ1 note que λa₁a₂a₃λb₁b₂b₃ λa₁5λ1 λa₂7λ1 λa₃λ1 λb₁5λ1 λb₂7λ1 λb₃λ1 λa₁5λ1λb₁5λ15 λa₂7λ1λb₂7λ1 λa₃λb₃2λ11 λa₁b₁55λ1 λa₂b₂77λ1 λa₃b₃1λ1 logo λa₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ λa₁ a₂ a₃ λb₁ b₂ b₃ VI λ₁λ₂a₁ a₂ a₃ λ₁λ₂a₁5λ₁λ₂1 λ₁λ₂a₂7λ₁λ₂1 λ₁λ₂a₃λ₁λ₂1 note que λ₁a₁ a₂ a₃ λ₂a₁ a₂ a₃ λa₁5λ1 λa₂7λ1 λa₃λ1 λa₁5λ1 λa₂7λ1 λa₃λ1 λ₁λ₂a₁5λ₁λ₂1 λ₁λ₂a₂7λ₁λ₂1 λ₁λ₂a₃λ₁λ₂1 portanto λ₁λ₂a₁ a₂ a₃ λ₁a₁ a₂ a₃ λ₂a₁ a₂ a₃ vii λ1 λ2a1 a2 a3 λ1 λ2 a1 5λ1 λ2 1 λ1 λ2 a2 7λ1 λ2 1 λ1 λ2 a3 λ1 λ2 1 por outro lado λ1 λ2 a1 a2 a3 λ1 λ2 a1 5λ2 1 λ2 a2 7λ2 1 λ2 a3 λ2 1 λ1 λ2 a1 5 λ1 λ2 1 5λ1 1 λ1 λ2 a2 7 λ1 λ2 1 7λ1 1 λ1 λ2 a3 λ1 λ2 1 λ1 λ2 a1 5λ1 λ2 1 λ1 λ2 a2 7λ1 λ2 1 λ1 λ2 a3 λ1 λ2 1 portanto λ1 λ2 a1 a2 a3 λ1 λ2 a1 a2 a3 viii 1 a1 a2 a3 1a1 511 1a2 7 11 1a3 11 a1 a2 a3 portanto W é um subespaço vetorial 2 a Sejam a1 b1 c1 a2 b2 c2 U e λ ℝ assim a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1 a2 b1 b2 c1 c2 logo a1 a2 b1 b2 2c1 c2 a1 b1 2c1 a2 b2 2c2 0 e assim a1 b1 c1 a2 b2 c2 U λ a1 b1 c1 λ a1 λ b1 λ c1 λ a1 λ b1 2 λ c1 λ a1 b1 2 c1 0 e λ a1 b1 c1 U logo U é subespaço vetorial de ℝ3 1 Sejam a1 b1 c1 a2 b2 c2 T e λ ℝ assim a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1 a2 b1 b2 c1 c2 logo a1 a2 a1 a2 c1 c2 c1 c2 e I portanto a1 b1 c1 a2 b2 c2 T e λ a1 b1 c1 λ a1 λ b1 λ c1 segue que λ a1 λ a1 λ c1 λ c1 assim λ a1 b1 c1 T Portanto ℝ3 é um subespaço vetorial Sejam 0 0 c1 0 0 c2 W e λ ℝ assim 0 0 c1 0 0 c2 0 0 c1 c2 W λ 0 0 c1 0 0 λ c1 W portanto W é um subespaço vetorial de ℝ3 U T N V N U t u U e t T N V N a₁ b₁ a₂ b₂ a₃ b₃ onde a₁ a₂ 2a₃ 0 e b₁ b₃ Note que a₁ b₁ a₂ b₂ 2a₃ b₃ b₁ b₂ 2b₃ a₁ a₂ 2a₃ 0 b₁ b₂ 2b₃ b₂ b₁ ou seja U T N V N a₁ b₁ a₂ b₂ a₃ b₃ a₁ b₁ a₂ b₂ 2a₃ b₃ b₂ b₁ U W N V N u w u U e w W N V N a₁ a₂ a₃ c Note que a₁ a₂ 2a₃ c 2c Assum U W N V N a₁ a₂ a₃ c a₁ a₂ 2a₃ c 2c T W N V N t w t T e w W N V N a₁ a₂ a₃ c Note que a₃ c a₁ c Assum T W N V N a₁ a₂ a₃ c a₃ c a₁ c c Basta verificar as interseções dos subespaços U T N T e N U x y 2z 0 e x z N x y z assim x y 2z 0 x z y z portanto U T x1 1 1 x R não é soma direta U W N U e w W x y 2z 0 e x 0 y x y 2z 0 x 0 y 0 z 0 logo U W 0 portanto é soma direta T W N T e N W x z e x y 0 x 0 y 0 z x z 0 logo U W 0 portanto é soma direta 3 Basta verificar que U e W são fechados para a adição e multiplicação por escalar a Sejam A B U e λ R assim A Bt At Bt A B U λAt λAt λA U portanto U é um subespaço vetorial b Sejam A C W e λ R assim A C B A B C B B A B C BA C W λA B λA B λBA BλA W portanto W é um subespaço vetorial