Algebra Linear

Introdução á Álgebra Linear Atividade 05EST Prof Martinho da Costa Araújo Alunoa 24032025 1 Dada as bases B 744 421 750 e C 110 011 311 de R³ a Encontre a matriz ICB e IBC b Determine o produto das matrizes ICB IBC c Dado uB 112 calcule uC 2 Quais das funções abaixo são transformações lineares a T R² R² tal que Txy 2x y x 3y b T R² R³ tal que Txy x y x y x c T R² R² tal que Txy x 2 y 3 3 Determine a transformação linear T R² R³ tal que T11 322 e T12 113 4 Para a transformação linear T R² R³ do exercício 2 determine u R² tal que Tu 112 Observação 1 Forma de entregar a Atividade 05 Pelo Teams até 29032025 1a Para encontrarmos a matriz mudança de base de B para C precisamos escrever os vetores da base B como combinação linear dos vetores da base C Então a matriz 𝐼𝐶 𝐵 será composta pelos coeficientes dessas combinações lineares 744 𝑎 110 𝑏 011 𝑐 31 1 744 𝑎 𝑎0 0𝑏 𝑏 3𝑐 𝑐 𝑐 𝑎 3𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 Temos 3 equações e 3 incógnitas 𝑎 3𝑐 7 𝑎 𝑏 𝑐 4 𝑏 𝑐 4 Isolando b na segunda e na terceira equações e as igualando 𝑏 4 𝑐 𝑎 4 𝑐 Daqui concluímos que 𝑎 0 Da primeira equação 3𝑐 7 𝑎 7 𝑐 7 3 Usando na terceira equação 𝑏 4 𝑐 4 7 3 5 3 Então a primeira coluna da matriz mudança de base de B para C é Escrevendo o segundo vetor da base B em termos da base C obtermos 𝑎 3𝑐 4 𝑎 𝑏 𝑐 2 𝑏 𝑐 1 Isolando b nas duas últimas equações e igualando 𝑏 2 𝑐 𝑎 1 𝑐 𝑎 2 𝑐 1 𝑐 3 Usando a primeira equação 𝑎 3𝑐 4 𝑐 4 𝑎 3 4 3 3 1 3 Usando a última equação 𝑏 1 𝑐 1 1 3 2 3 Agora já temos 2 colunas da matriz mudança de base Agora só falta o terceiro vetor da base B 𝑎 3𝑐 7 𝑎 𝑏 𝑐 5 𝑏 𝑐 0 A solução para este sistema é 𝑎 5 𝑏 4 𝑐 4 Matrix calculations including elementary row operations with fractions and negative values are shown in detail resulting in the matrix IBC A matriz mudança de base de C para B pode ser encontrada escrevendo os elementos de C como combinação linear dos elementos de B ou calculandose a inversa de 𝐼𝐶 𝐵 Vamos calcular a inversa 𝐼𝐵 𝐶 𝐼𝐶 𝐵1 The provided image contains no text 1b Produto das matrizes 𝐼𝐶 𝐵 𝐼𝐵 𝐶 Portanto o produto é igual a matriz identidade 1c O vetor u está na base B e queremos escrevêlo na base C Vamos usar a matriz 𝐼𝐶 𝐵 𝑢𝐵 𝐼𝐶 𝐵 𝑢𝐶 𝑢𝐶 7 17 3 32 3 Para que seja TL cada 𝑇𝑥 𝑦 deve cumprir dois requisitos 1 𝑇𝑢 𝑣 𝑇𝑢 𝑇𝑣 2 𝑇𝑘 𝑢 𝑘 𝑇𝑢 com 𝑢 𝑥1𝑦1 𝑣 𝑥2𝑦2 2a 𝑇𝑢 𝑣 𝑇𝑥1𝑦1 𝑥2𝑦2 𝑇𝑥1 𝑥2𝑦1 𝑦2 𝑇𝑢 𝑣 2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑥1 𝑥2 3 𝑦1 𝑦2 𝑇𝑢 𝑣 2𝑥1 2𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑥1 𝑥2 3𝑦1 3𝑦2 𝑇𝑢 𝑣 2𝑥1 𝑦1 𝑥1 3𝑦1 2𝑥2 𝑦2 𝑥2 3𝑦2 𝑇𝑢 𝑇𝑣 O requisito 1 foi cumprido 𝑇𝑘 𝑢 𝑇𝑘 𝑥1𝑦1 𝑇𝑘 𝑥1𝑘 𝑦1 2 𝑘𝑥1 𝑘𝑦1𝑘𝑥1 3 𝑘𝑦1 𝑇𝑘 𝑢 𝑘 2𝑥1 𝑦1𝑥1 3𝑦1 𝑘 𝑇𝑢 O requisito 2 também foi cumprido 𝑇𝑥𝑦 2𝑥 𝑦 𝑥 3𝑦 é uma transformação linear 2b 𝑇𝑢 𝑣 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑥1 𝑥2 𝑇𝑢 𝑣 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑥1 𝑥2 𝑇𝑢 𝑣 𝑥1 𝑦1𝑥1 𝑦1 𝑥1 𝑥2 𝑦2𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑇𝑢 𝑇𝑣 O requisito 1 foi cumprido 𝑇𝑘 𝑢 𝑘𝑥1 𝑘𝑦1𝑘𝑥1 𝑘𝑦1𝑘𝑥1 𝑘 𝑥1 𝑦1𝑥1 𝑦1 𝑥1 𝑘 𝑇𝑢 O requisito 2 também foi cumprido 𝑇𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 é uma transformação linear 2c 𝑇𝑢 𝑣 𝑥1 𝑥2 2𝑦1 𝑦2 3 𝑥1 2 𝑦1 3 𝑥2𝑦2 𝑇𝑢 𝑇𝑣 O requisito 1 não foi cumprido 𝑇𝑥𝑦 𝑥 2𝑦 3 não é uma transformação linear 𝑢 1 1 𝑣 12 𝑥 𝑦 𝑎 𝑢 𝑏 𝑣 𝑎 1 1 𝑏 12 𝑎 𝑏 𝑎 2𝑏 Temos 2 equações para calcular as duas incógnitas a e b 𝑥 𝑎 𝑏 𝑦 𝑎 2𝑏 Isolando a nas duas equações 𝑎 𝑥 𝑏 𝑎 2𝑏 𝑦 𝑏 𝑥 𝑦 Usando na primeira equação 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 Assim 𝑥 𝑦 𝑎11 𝑏12 2𝑥 𝑦11 𝑥 𝑦12 𝑇𝑥 𝑦 𝑇2𝑥 𝑦11 𝑥 𝑦12 𝑇𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 𝑇11 𝑥 𝑦 𝑇12 𝑇𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 322 𝑥 𝑦 1 13 𝑇𝑥 𝑦 6𝑥 3𝑦 4𝑥 2𝑦 4𝑥 2𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 3𝑥 3𝑦 A transformação linear procurada é 𝑇𝑥𝑦 7𝑥 4𝑦 3𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Do exercício 2 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 𝑦𝑥 𝑦 𝑥 𝑢 𝑥1𝑦1 𝑇𝑥1𝑦1 𝑥1 𝑦1𝑥1 𝑦1𝑥1 112 Temos 3 equações e duas incógnitas 𝑥1 𝑦1 1 𝑥1 𝑦1 1 𝑥1 2 Somando a primeira e a segunda equações 𝑥1 𝑦1 𝑥1 𝑦1 1 1 2𝑥1 0 𝑥1 0 Esse resultado contradiz a terceira equação que diz que 𝑥1 2 Portanto não existe um vetor 𝑢 ℝ2 tal que 𝑇𝑢 112 para 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥