Atividade Álgebra

Exercício 191 1 Seja T R2 R a transformação linear para a qual T11 3 e T01 2 Encontre Txy para xy R2 2 Um operador linear T definido em P2R é tal que T1t2 Tt1 t e Tt21 t t2 a Determine Ta bt ct2 onde a bt ct2 é um vetor genérico de P2R b Determine p P2R tal que Tp 3 t t2 3 Encontre Txy onde T R2 R3 é definida por T12 3 1 5 e T01 21 1 4 Determine Txyz onde T R3 R é dada por T111 3 T012 1 e T001 2 1 Seja T R2 R3 a transformação definida por Tx Ax onde A 1 2 2 1 2 1 Encontre a imagem de u 2 3 0 e u 1 1 1 2 Quantas linhas e colunas deve ter uma matriz A para definir uma aplicação de R4 em R6 por Tx Ax 3 Para os valores da matriz A e vetor b nos itens abaixo encontre se for possível um vetor x tal que Tx b a A 1 0 1 2 1 3 b 2 3 b A 11 1 2 5 1 6 b 2 3 2 4 Encontre todos os valores de x R4 que são levados no vetor nulo pela transformação x Ax onde A 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 5 Nos itens abaixo use um sistema de coordenadas para representar graficamente os vetores u 2 1 v 3 1 Tu e Tv Faça uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T nos vetores de R2 a Tx 3 0 0 3 b Tx 05 0 0 05 c Tx 1 0 0 1 d Tx 0 0 0 1 6 Seja T R2 R2 uma transformação linear Se T1 0 2 1 e T0 1 1 3 determine T2 1 e Tx1 x2 Exercícios 1 Em R2 obtenha o vetor projeção ortogonal de u 45 na direção de v 12 2 Em R3 obtenha o vetor projeção ortogonal de u 1 1 3 na direção de v 011 3 Dê a componente de u 211 em R3 ortogonal ao vetor v 1 2 1 4 Determine a projeção ortogonal do vetor u 213 sobre o subespaço de R3 gerado por S 101 212 5 Projete ortogonalmente o vetor u 3 2 1 sobre o subespaço W xyz R3 x y z 0 6 Use o método de ortonormalização de GramSchmidt para obter uma base ortonormal de R3 a partir da base B 100 011 012 7 Obtenha uma base ortonormal de R2 a partir da base B 12 13 8 Obtenha uma base ortonormal para o seguinte subespaço vetorial de R4 U xyzt R4x y 0 e z 2t A seguir projete o vetor u 1 3 4 2 ortogonalmente sobre U 611 Ache o polinômio característico os autovalores e os autovetores de cada matriz a 1 1 11 1 b 1 1 2 4 c 0 1 2 0 0 3 0 0 0 d 1 0 0 1 3 0 3 2 2 e 2 2 3 0 3 2 0 1 2 f 2 2 3 1 2 1 2 2 1 612 Ache bases para os autoespaços associados a cada autovalor a 2 0 0 3 1 0 0 4 3 b 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 d 2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1 613 Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis a 1 4 1 2 b 1 0 2 1 c 1 1 2 4 0 4 1 1 4 d 1 2 3 0 1 2 0 0 2 Exercício 221 1 Determine a matriz TAB sendo T R3 R2 a transformação linear definida por Txyz 2xyzx2y A 100 210 011 e B 11 01 2 Determine o operador linear T definido em R2 sabendo que sua matriz em relação à base A 11 12 é 1 0 1 2 3 Seja T R3 R2 tal que TAB 1 0 1 1 1 0 sendo A 011 100 101 e B 10 01 bases do R3 e do R2 respectivamente a Encontre a expressão de Txyz b Determine o núcleo de T c Determine a imagem de T d T é injetora É sobrejetora 4 Seja T a transformação linear de R3 em R2 dada por Txyz 2xyzx2y Fixadas as bases A 100210011 e B 11 01 de R3 e R2 respectivamente e considerando v 120 R3 a Dê o vetorcoordenadas de v em relação à base A b Calcule Tv c Determine o vetorcoordenadas de Tv em relação à base B d Obtenha a matriz TAB e Calcule o vetorcoordenadas de Tv0 em relação à base B usando a matriz obtida no item d isto é calcule TABvA e compare com o item c 5 A transformação linear T R2 R3 tem matriz TAB 3 1 2 5 1 1 em relação às bases A 1110 do R2 e B 111 210 301 do R3 Determine a A expressão de Txy b A matriz canônica de T 6 Sejam A 11 02 e B 101 012 120 bases de R2 e R3 respectivamente e TAB 1 0 1 1 0 1 a Determine T b Ache uma base C de R3 tal que TAC 1 0 0 0 0 0 0 0 1