Exercicios de Álgebra

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO CAMPUS DE SINOP ICNHS Instituto de Ciências Naturais Humanas e Sociais Curso de Licenciatura em Matemática Professor Me Odair José Teixeira da Fonseca Disciplina Álgebra Linear Data Acadêmicoa 1ª Lista de Exercícios Espaços Vetoriais Arbitrários 1 Quais dos seguintes são combinações lineares de u022 e v131 a w222 b w315 c w045 d w000 2 Quais dos seguintes são combinações lineares de A 4 0 2 2 B 1 1 2 3 C 0 2 1 4 a M 6 8 1 8 b M 0 0 0 0 c M 6 0 3 8 d M 1 5 7 1 3 Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R4 são linearmente dependentes a 3873 1531 2126 1403 b 0022 3300 1101 c 0336 2006 0422 0844 d 3036 0231 0220 2121 4 Suponha que v1 v2 e v3 sejam vetores em R3 com pontos iniciais na origem Em cada parte determine se os três vetores estão num mesmo plano a v1220 v2614 v3204 b v1672 v2324 v3412 5 Considere os vetores v10311 v26051 v34713 Expresse cada vetor como uma combinação linear dos outros dois 6 Os vetores dados formam um conjunto linearmente dependente em R3 com quais valores reais de λ v1 λ 1 2 1 2 v2 1 2 λ 1 2 v3 1 2 1 2 λ 7 Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R3 a 1 0 0 2 2 0 3 3 3 b 3 1 4 2 5 6 1 4 8 c 2 3 1 4 1 1 0 7 1 d 1 6 4 2 4 1 1 2 5 8 Se Tx1 x2 x1 x2 x2 3x1 Determine a O domínio de T b O Contradomínio de T c A imagem de x12 por T 9 Encontre a matriz canônica do operador T R3 R3 definido por w1 3x1 5x2 x3 w2 4x1 x2 x3 w3 3x1 2x2 x3 Calcule T1 2 4 2 10 Em cada parte encontre a matriz canônica da transformação T definida pela fórmula a Tx1 x2 x2 x1 x1 3x2 x1 x2 b Tx1 x2 x3 x4 7x1 2x2 x3 x4 x2 x3 x1 c Tx1 x2 x3 0 0 0 0 0 d Tx1 x2 x3 x4 x4 x1 x3 x2 x1 x3 11 Em cada parte use a matriz canônica de T para encontrar Tx e depois confira o resultado calculando Tx diretamente a Tx1 x2 x1 x2 x2 x14 b Txx2 x3 2x1 x2 x3 x2 x3 0 x213 12 Use a multiplicação matricial para encontrar a reflexão de 1 2 a no eixo x b no eixo y c na reta y x 13 Encontre a imagem de u 3 1 pela rotação de um ângulo θ π 3 radianos 60 em torno da origem a No sentido antihorário b No sentido horário 14 Encontre a matriz canônica do operador matricial de R2 que é dado pela reflexão no eixo x seguida de um cisalhamento de fator 3 na direção do eixo x Esboce a imagem do quadrado unitário por esse operador 15 Considere o operador de rotação em R2 e esboce a imagem do quadrado unitário por esse operador com θ π4 3 Respostas 1 a b d 2 a b c 3 Nenhum é 4 a Não são coplanares b São coplanares 5 v1 2 7v2 3 7v3 v2 7 2v1 2 3v3 v3 7 3v1 2 3v2 6 λ 1 2 λ 1 7 a b 8 a R2 b R3 c 123 9 3 5 1 4 1 1 3 2 1 T1 2 4 3 2 3 10 a 0 1 1 0 1 3 1 1 b 7 2 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 4 c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 11 a T1 4 5 4 b T2 1 3 0 2 0 12 a 1 2 b 1 2 c 2 1 13 a 3 3 2 3 3 1 2 b 3 3 2 1 3 3 2 5 14 A 1 3 0 1 x y 3 2 1 15 x y 2 2 2 2 2 6 1º Resposta a b e d a w 2 2 2 0α 1β 2 2α 3β 2 2α 1β 2 Da primeira equação temos β 2 Substituindo na segunda equação 2α 32 2 2α 6 2 2α 4 α 2 Agora substituindo α 2 e β 2 na terceira equação 22 12 2 4 2 2 2 2 Como α 2 e β 2 satisfazem todas as equações w 2 2 2 é uma combinação linear de u e v b w 3 1 5 0α 1β 3 2α 3β 1 2α 1β 5 Da primeira equação temos β 3 Substituindo na segunda equação 2α 33 1 2α 9 1 2α 8 α 4 Agora substituindo α 4 e β 3 na terceira equação 24 13 5 8 3 5 5 5 Como α 4 e β 3 satisfazem todas as equações w 3 1 5 é uma combinação linear de u e v d w 0 0 0 0α 1β 0 2α 3β 0 2α 1β 0 Da primeira equação temos β 0 Substituindo na segunda equação 2α 30 0 2α 0 α 0 Substituindo α 0 e β 0 na terceira equação 20 10 0 0 0 0 0 0 Como α 0 e β 0 satisfazem todas as equações w 0 0 0 é uma combinação linear de u e v a combinação trivial 2º Resposta a b c a M 6 8 1 8 6 8 1 8 x 4 0 2 2 y 1 1 2 3 z 0 2 1 4 4x y 6 y 2z 8 2x 2y z 1 2x 3y 4z 8 6 4x 2z 8 4x 2z 2 2x z 1 z 1 2x 2x 26 4x 1 2x 1 2x 12 8x 1 2x 1 12x 12 x 1 Se x 1 então y 6 41 2 e z 1 21 3 21 32 43 2 6 12 8 M 0 0 0 0 b é uma matriz nula C 6 0 3 8 x 4 0 2 2 y 1 1 2 3 z 0 2 1 4 4x y 6 y 2z 0 2x 2y z 3 2x 3y 4z 8 6 4x 2z 0 4x 2z 6 2x z 3 z 3 2x 2x 26 4x 3 2x 3 2x 12 8x 3 2x 3 12x 12 x 1 Se x 1 então y 6 41 2 e z 3 21 1 21 32 41 2 6 4 8 3 Nenhuma das alternativas 4 a b v1 6 7 2 v2 3 2 4 v3 4 1 2 6 7 2 3 2 4 4 1 2 6 2 4 7 3 4 2 3 2 1 2 4 2 4 1 6 22 41 7 32 44 2 31 24 6 4 4 7 6 16 2 3 8 6 8 7 10 2 11 48 70 22 0 Como o determinante é 0 os vetores v1 v2 e v3 estão no mesmo plano 5º 1 Expressando v1 em termos de v2 e v3 v1 a v2 b v3 0 3 1 1 a6 0 5 1 b4 7 1 3 6a 4b 0 0a 7b 3 5a 1b 1 1a 3b 1 6a 437 0 6a 127 a 27 527 37 107 37 77 1 27 337 27 97 77 1 Portanto v1 27 v2 37 v3 2 Expressando v2 em termos de v1 e v3 v2 c v1 d v3 6 0 5 1 c0 3 1 1 d4 7 1 3 0c 4d 6 3c 7d 0 1c 1d 5 1c 3d 1 c 32 5 c 5 32 72 372 732 212 212 0 72 332 72 92 22 1 Portanto v2 72 v1 32 v3 3 Expressando v3 em termos de v1 e v2 v3 e v1 f v2 4 7 1 3 e0 3 1 1 f6 0 5 1 0e 6f 4 3e 0f 7 1e 5f 1 1e 1f 3 73 523 73 103 33 1 73 23 73 23 93 3 Portanto v3 73 v1 23 v2 6 λ 12 12 12 λ 12 12 12 λ 0 λ 12 12 12 12 1212 λ 12 λ λ2 14 12 12 λ 14 12 14 12 λ 0 λ3 14 λ 14 λ 18 18 14 λ 0 λ3 34 λ 14 0 4λ3 3λ 1 0 λ 124λ2 2λ 2 0 λ 122λ2 λ 1 0 λ 122λ 1λ 1 0 2λ 1λ 1λ 12 0 λ 12 λ 1 λ 12 7 Resposta A e B a 100 2 2 0 3 3 3 1 2 3 0 2 3 0 0 312 3 20 3 30 2 123 30 20 30 6 0 3 0 3 Como o determinante é diferente de zero os vetores são linearmente Independentes Portanto o conjunto a é uma base de R3 b 3 1 4 2 5 6 1 4 8 3 2 1 1 5 4 4 6 835 4 21 4 15 634024 28 16 16 20 316 2 24 1 2648 48 2626 Como o determinante é diferente de zero os vetores são linearmente independentes Portanto o conjunto b é uma base de R3 8 a O domínio de T O domínio de T é o conjunto de todos os vetores x1 x2 que podem ser inseridos na transformação T Como x1 e x2 podem ser quaisquer números reais o domínio de T é R2 b O contradomínio de T O contradomínio de T é o espaço vetorial no qual a transformação T mapeia seus vetores Neste caso a transformação T mapeia vetores de R2 para vetores em R3 pois a saída de Tx1 x2 é um vetor com três componentes Portanto o contradomínio de T é R3 c A imagem de x 1 2 por T T1 2 1 2 2 31 1 3 Portanto a imagem de x 1 2 por T é 1 2 3 9 w₁ 3x₁ 5x₂ x₃ w₂ 4x₁ x₂ x₃ w₃ 3x₁ 2x₂ x₃ A 3 5 1 4 1 1 3 2 1 T1 2 4 3 5 1 4 1 1 3 2 1 1 2 4 T1 2 4 3 1 5 2 1 4 4 1 1 2 1 4 3 1 2 2 1 4 T1 2 4 3 10 4 4 2 4 3 4 4 T1 2 4 3 2 3 Portanto T1 2 4 3 2 3 10 a T1 0 0 1 1 1 T0 1 1 0 3 1 A 0 1 1 0 1 3 1 1 b Tx₁ x₂ x₃ x₄ 7x₁ 2x₂ x₃ x₄ x₂ x₃ x₁ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 T1 0 0 0 7 0 1 T0 1 0 0 2 1 0 T0 0 1 0 1 1 0 T0 0 0 1 1 0 0 A 7 2 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 C T1 0 0 0 0 0 0 0 T0 1 0 0 0 0 0 0 T0 0 1 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d Tx₁ x₂ x₃ x₄ x₄ x₁ x₃ x₂ x₁ x₃ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 T1 0 0 0 0 1 0 0 1 T0 1 0 0 0 0 0 1 0 T0 0 1 0 0 0 1 0 1 T0 0 0 1 1 0 0 0 0 A 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 11 a Te₁ T1 0 1 0 0 1 0 Te₂ T0 1 0 1 1 1 1 A 1 1 0 1 Tx Ax 1 1 0 1 1 4 11 14 01 14 1 4 0 4 5 4 Tx₁ x₂ x₁ x₂ x₂ T1 4 1 4 4 1 4 4 b Tx₁ x₂ x₃ 2x₁ x₂ x₃ x₂ x₃ 0 x 2 1 3 Te₁ T1 0 0 21 0 0 0 0 0 2 0 0 Te₂ T0 1 0 20 1 0 1 0 0 1 1 0 Te₃ T0 0 1 20 0 1 0 1 0 1 1 0 A 2 1 1 0 1 1 0 0 0 Tx Ax 2 1 1 0 1 1 0 0 02 1 3 22 11 13 02 11 13 02 01 03 4 1 3 0 1 3 0 0 0 0 2 0 12 a Reflexão no eixo x 1 0 0 1 1 0 0 11 2 11 02 01 12 1 2 b Reflexão no eixo y 1 0 0 1 1 0 0 11 2 11 02 01 12 1 2 c Reflexão na reta y x 0 1 1 0 0 1 1 01 2 01 12 11 02 2 1 13 Rθ cosθ sinθ sinθ cosθ Para θ π3 temos cosπ3 12 sinπ3 32 Rπ3 12 32 32 12 12 32 32 123 1 123 321 323 121 32 32 332 12 3 32 33 12 Rπ3 cosπ3 sinπ3 sinπ3 cosπ3 12 32 32 12 12 32 32 123 1 123 321 323 121 32 32 332 12 3 32 1 332 a No sentido antihorário 3 32 33 12 b No sentido horário 3 32 1 332 14 R1 0 0 1 S1 3 0 1 TSR1 3 0 11 0 0 11 3 0 1 0010 30 00 10 00 1011 30 01 10 10 1111 31 01 11 21 0110 31 00 11 31 Os novos vértices são 00 10 21 e 31 O quadrado unitário é transformado em um paralelogramo 15 Rcosθ sinθ sinθ cosθ Para θπ4 temos Rcosπ4 sinπ4 sinπ4 cosπ4 22 22 22 22 22 22 22 2200 00 22 22 22 2210 22 22 22 22 22 2211 0 2 22 22 22 2201 22 22