Introdução a Álgebra Linear

Introdução à Álgebra Linear Lista1Parte 03EST Prof Martinho da Costa Araujo Alunoa 25082025 1 Seja V R3 o espaço vetorial com as operações usuais Encontre um vetor em V R3 que gere U W onde U ab0 ab R e W 123111 2 Quais das funções abaixo são transformações lineares a T R2 R2 tal que Txy 2x yx 3y b T R2 R3 tal que Txy x yx yx c T R2 R2 tal que Txy x 2y 3 3 Para cada uma das transformações lineares do exercício 2 Determine a NT b ImT 4 Encontre uma transformação linear T R3 R4 tal que ImT 13122011 2º RESOLUÇÃO 2º RESOLUÇÃO VAMOS ANALISAR AS FUNÇÕES a T1 R2 R2 T1xy 2x yx 3y b T2 R2 R2 T2xy x yx y c T3 R2 R2 T3xy xy 13 x 1y 3 VAMOS FAZER O TESTE DE LINEARIDADE ADIÇÃO HOMOGENEIDADE a e b são COMBINAÇÕES LINEARES DE X e Y sem ter mo CONSTANTE LINEARES c Tem termo constante 13 T300 13 00 NÃO É LINEAR concluímos que a e b LINEARES c NÃO LINEARES 3º RESOLUÇÃO 3º a T R2 R2 DADA POR Txy 2x yx 3y MATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO BASE CANÔNICA A 2113 ONDE T x y Ax y j NÚCLEO NT xy AxyT 0 RESOLVEMOS O SISTEMA HOMOGÊNEO 2x y 0 x 3y 0 SAINDO POR ELIMINAÇÃO DA PRIMEIRA EQUA Y 2X SUBSTITUINDO NA SEGUNDA X 32X X 6X 5X 0 X 0 ENTÃO Y 20 0 ÚNICO VETOR QUE SATISFAZ É 00 LOGO NT 00 2 IMAGEM IMT ImT 2113 ImT R2 4º RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO FAZER T ENVIAR e1 v1 1312 e2 v2 2011 e e3 0 PARA xyz ℝ³ Txyz x1312 y2011 z000 Txyz x 2y3xx y2x y É LINEAR A IMAGEM CONTÉM v1 e v2 E TEM POSTO 2 POIS v1 e v2 SÃO LI LOGO IT v1v2 NT 00z z ℝ EXERCÍCIO RESOLVIDO 1º RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO TEMOS U ab0 ab ℝ W 123 111 TODO VETOR DE W TEM A FORMA α123 β111 α β 2α 3α β PARA PERTENCER A U PRECISA TER Z 0 3α β 0 β 3α SUBSTITUINDO α 3α 2α 3α 0 2α 5α 0 α250 LOGO U W 250 UM VETOR QUE GERA U W 250 QUALQUER MÚLTIPLO NÃO NULO SERVE