Aula 3 - Lei de Hooke e Carregamento Axial

1 Universidade Federal de Minas Gerais EES 167 – Resistência dos materiais Aula 3: Lei de Hooke e Carregamento axial DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Material didático elaborado pelo Prof. Juliano dos Santos Becho Professor Disciplina : Sebastião Salvador Real Pereira ssrp@dees.ufmg.br Prof. Juliano dos Santos Becho • A estrutura tem por finalidade resistir às solicitações transmitindo os esforços ao longo de seus componentes e descarregando em uma estrutura rígida a fim de manter o equilíbrio. Em geral o destino final dessa descarga é o solo por meio das fundações. Revisão: Prof. Juliano dos Santos Becho Revisão: C Esforços solicitantes na seção a-a 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 Prof. Juliano dos Santos Becho Sempre que uma força é aplicada a um corpo são gerados esforços internos e este tende a mudar de forma e dimensões. Os esforços avaliados a nível de partícula (ponto muito pequeno do contínuo) são denominados como tensões e as mudanças de forma e dimensões a nível de partícula são denominadas deformações. Força Mudança de forma Tensão Deformação Revisão: Prof. Juliano dos Santos Becho Revisão: Tensão normal média e tensão de cisalhamento média: Tensão Normal Média 𝜎 = 𝑁 𝐴 Tensão de Cisalhamento Média 𝜏𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 𝑉 𝐴 Prof. Juliano dos Santos Becho Deformação normal média: 𝜀𝐿 = ∆𝐿 𝐿 = 𝐿𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐿𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐿𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝛿 𝐿 𝜀𝑟 = ∆𝑟 𝑟 = 𝑟𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝛿′ 𝑟 Deformação normal média longitudinal (ao longo do comprimento) Deformação normal média radial (ao longo do raio) Revisão: Prof. Juliano dos Santos Becho Deformação por cisalhamento média: 𝑏 ℎ 𝐿 𝛾 = 𝜋 2 − 𝜃′ [𝑟𝑎𝑑] 𝛾 = 𝜋 2 − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 ℎ 𝑑 𝜃′ 𝑡𝑎𝑛 𝜃′ = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = ℎ 𝑑 Observação: Revisão: Prof. Juliano dos Santos Becho Tensão Deformação Propriedades dos materiais Determinadas em Ensaios Mecânicos Observação: As deformações são quantidades geométricas medidas por técnicas experimentais, como a extensometria, e a partir delas pode-se determinar tensões numa estrutura utilizando relações entre as propriedades do material. Propriedades dos materiais: Revisão: Prof. Juliano dos Santos Becho Ensaio de tração: Revisão: Prof. Juliano dos Santos Becho Diagrama Tensão-Deformação: Regime Elástico Regime Plástico Região elástica Escoamento Endurecimento Estricção Tensão de ruptura Limite de resistência Tensão de escoamento: σe ou Limite de ruptura real Limite de proporcionalidade σlp Tensão de ruptura: Limite de resistência σs ou Revisão: Prof. Juliano dos Santos Becho Regime Elástico Regime Plástico Região elástica Escoamento Endurecimento Estricção Tensão de ruptura Limite de resistência Tensão de escoamento: σe ou Limite de ruptura real Limite de proporcionalidade σlp Tensão de ruptura: Limite de resistência σs ou Revisão: Tan(q) = E Módulo de elasticidade (ou módulo de Young): q s e Módulo de elasticidade (E): 𝐸 = 𝜎 𝜀 Prof. Juliano dos Santos Becho Módulo de elasticidade (E): 𝐸 = tan 𝜃 = 𝜎 𝜀 O módulo de elasticidade está relacionado com a rigidez de um material. Quanto maior o módulo de elasticidade de uma material, maior a dificuldade em deforma-lo. Ou seja, relaciona a tensão atuante com a deformação apresentada pelo corpo. Revisão: Prof. Juliano dos Santos Becho 7 – Propriedades dos materiais: 7.6 – Lei de Hooke: – Relação tensão-deformação que governa a região elástica linear. – Lei constitutiva. 𝐸 = 𝜎 𝜀 Módulo de elasticidade (ou módulo de Young): Lei de Hooke: 𝜎 = 𝐸𝜀 Onde: s é a tensão normal no material E é o módulo de elasticidade (ou módulo de Young) e é a deformação normal Lei de Hooke para o cisalhamento: 𝜏 = 𝐺𝛾 Onde: t é a tensão de cisalhamento no material g é a deformação angular G é o módulo de elasticidade transversal 𝐺 = 𝐸 2(1 + ν) Prof. Juliano dos Santos Becho 7 – Propriedades dos materiais: 7.6 – Lei de Hooke: • Exemplo 1: Determinar a tensão atuante em um ponto do material que experimenta uma deformação de 0,0005 mm/mm. sy: tensão de escoamento su: tensão ultima 70 138 250 262 350 434 240 [MPa] [mm/mm] spl: limite de proporcionalidade elástica q s e 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸 = tan 𝜃 = 𝜎 𝜀 = 240000000 0,0012 = 200 𝐺𝑃𝑎 Módulo de elasticidade (ou módulo de Young): 𝜎 = 200 𝑥 109 𝑥 0,0005 𝜎 = 𝐸𝜀 𝜎 = 100 𝑥 106 = 100 𝑀𝑃𝑎 Prof. Juliano dos Santos Becho 7 – Propriedades dos materiais: 7.6 – Lei de Hooke: • Exemplo 2: Determinar a deformação em um ponto do material onde atua uma tensão de 200 MPa. sy: tensão de escoamento su: tensão ultima 70 138 250 262 350 434 240 [MPa] [mm/mm] spl: limite de proporcionalidade elástica q s e 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸 = tan 𝜃 = 𝜎 𝜀 = 240000000 0,0012 = 200 𝐺𝑃𝑎 Módulo de elasticidade (ou módulo de Young): 𝜀 = 200 𝑥 106 200 𝑥 109 = 0,001 𝑚𝑚/𝑚𝑚 𝜎 = 𝐸𝜀 → 𝜀 = 𝜎 𝐸 Prof. Juliano dos Santos Becho 7 – Propriedades dos materiais: 7.6 – Lei de Hooke: • Exemplo 3: Determinar: ▪ Alongamento axial ▪ Alongamento transversal Aço ASTM A36: E=200 GPa n = 0,32 x y z Prof. Juliano dos Santos Becho 7 – Propriedades dos materiais: 7.6 – Lei de Hooke: • Exemplo 3: Determinar: ▪ Alongamento axial ▪ Alongamento transversal Aço ASTM A36: E=200 GPa n = 0,32 x y z 𝜎 = 𝐸𝜀 → 𝜀 = 𝜎 𝐸 𝜎 = 𝑃 𝐴 = 80 𝑥 103 0,100 𝑥 0,050 = 16 MPa 𝜀𝑥 = 16 𝑥 106 200 𝑥 109 = 0,00008 𝑚/𝑚 𝜀𝑥 = 80 𝜇𝑚/𝑚 𝜀𝑥 = 𝛿𝑥 𝐿𝑥 → 𝛿𝑥= 𝜀𝑥𝐿𝑥 𝛿𝑥 = 0,00008 𝑥 1,5 = 0,00012 𝑚 = 0,12 𝑚𝑚 𝜐 = − 𝜀𝑦 𝜀𝑥 = − 𝜀𝑧 𝜀𝑥 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = −𝜐𝜀𝑥 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = −0,32 𝑥 80 𝑥 10−6 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = −25,6 𝑥 10−6 𝑚𝑚/𝑚𝑚 = −25,6 𝜇𝑚/𝑚 𝛿𝑦 = 𝜀𝑦𝐿𝑦 = −25,6 𝑥 10−6 𝑥 0,100 = −0,00256 𝑚𝑚 𝛿𝑧 = 𝜀𝑧𝐿𝑧 = −25,6 𝑥 10−6 𝑥 0,050 = −0,00128 𝑚𝑚 Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: • Nos itens anteriores apresentamos os conceitos de tensões e deformações, assim como a relação matemática entre tensão e deformação que é dependente do tipo de material do qual o corpo é feito. • Mostramos também que o material pode se deformar elasticamente ou plasticamente e que a relação tensão x deformação pode ser linear ou não- linear. • No caso particular em que o material se comporta elasticamente e a relação tensão x deformação é linear (comportamento elástico-linear), pode-se aplicar a Lei de Hooke σ = E ε Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.1 – Princípio de Saint-Venant: Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.1 – Princípio de Saint-Venant: Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.1 – Princípio de Saint-Venant: • Princípio de Saint-Venant: a tensão e a deformação geradas em um ponto suficientemente afastado da região de aplicação do carregamento sobre o corpo serão as mesmas produzidas por qualquer carregamento atuante que tenha a mesma resultante estaticamente equivalente aplicada ao corpo na mesma região. • Pode-se afirmar que a equação s = P/A fornece as tensões axiais em uma seção transversal apenas quando esta seção está suficientemente afastada das regiões de concentração de tensões. • Pode-se considerar esta distância como sendo, no mínimo, igual à maior dimensão da seção transversal. • Esta regra é baseada em observações experimentais do comportamento do material. Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.1 – Princípio de Saint-Venant: • Esse princípio estabelece que um sistema de forças externas em equilíbrio, agindo sobre uma porção pequena da superfície da peça em relação ao todo, produz nessa região uma concentração de tensões elevadas. Entretanto essas concentrações de tensões ocorrem apenas nas imediações da região de aplicação dessas forças, sejam elas de ação ou reação. Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.1 – Princípio de Saint-Venant: • Significado prático no dimensionamento e na análise de barras: como os efeitos de concentrações de tensão são localizados, pode-se usar todas as fórmulas básicas de tensão (como s = P/A) em seções transversais a uma distância suficiente da origem da concentração. • As fórmulas que são aplicáveis às barras, fornecem resultados satisfatórios mesmo quando concentrações de tensão estiverem presentes, pois as concentrações de tensão são localizadas e têm pequeno efeito no comportamento geral de uma barra. Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial: Caso geral: barras com variações contínuas de carga e/ou dimensões • Seja um elemento diferencial de comprimento dx e de área A(x), localizado em uma posição arbitrária x em relação ao ponto A da barra AB. A força normal interna P(x) pode ser determinada pelo método das seções. • Considerando-se comportamento elástico linear do material da barra AB, o qual apresenta módulo de elasticidade E, pode-se determinar o alongamento d de uma das extremidades do elemento diferencial em relação à outra utilizando-se a Lei de Hooke: Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial: Caso geral: barras com variações contínuas de carga e/ou dimensões • O alongamento total é obtido integrando-se ao longo de todo o comprimento L da barra: Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial: Caso particular: barras com carga e área de seção transversal constantes • Se a barra for feita de um material homogêneo (E constante), apresentar área de seção transversal constante (A constante) e for submetida a uma única força axial constante (P constante), então:   = = = L 0 L AE PL AE dx P x E A x dx P 0 ) ( ( )  𝛿 = 𝑃𝐿 𝐸𝐴 Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial: Caso particular: barras com carga e área de seção transversal constantes • Se a barra apresentar trechos nos quais a força normal, a área da seção transversal e o módulo de elasticidade do material forem constantes, então: 𝛿 = න 0 𝐿 𝑃(𝑥) 𝐸(𝑥)𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 = න 0 𝐿1 𝑃(𝑥) 𝐸(𝑥)𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 + න 𝐿1 𝐿2 𝑃(𝑥) 𝐸(𝑥)𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝛿 = 𝑃𝐴𝐵𝐿𝐴𝐵 𝐸𝐴𝐵𝐴𝐴𝐵 + 𝑃𝐵𝐶𝐿𝐵𝐶 𝐸𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶 = −𝑃1𝐿1 𝐸1𝐴1 + − 𝑃1 + 𝑃2 𝐿2 𝐸2𝐴2 𝛿 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑃𝑖𝐿𝑖 𝐸𝑖𝐴𝑖 Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial: Convenção de sinais • Esforço normal e deslocamento são considerados positivos se provocarem tração e alongamento; • Esforço normal e deslocamento são considerados negativos se provocarem compressão e contração. Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial: Conceito de rigidez x resistência: • Resistência é a propriedade de transmitir forças internamente, dos pontos de aplicação das cargas ao apoio. Avalia-se pela maior tensão a que o material pode resistir. • Rigidez é capacidade de um elemento estrutural de resistir uma deformação. EA = rigidez axial de uma seção transversal 𝑬𝑨 𝑳 = rigidez axial de uma barra 𝐸 = ∆𝝈 ∆𝜺 = módulo de Elasticidade (rigidez) de um material 𝑁 = 𝑃 ∆ = 𝛿 𝑬𝑨 𝑳 Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial: Exemplo 01: Aço ASTM A36: E=200 GPa Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial: Exemplo 01: Aço ASTM A36: E=200 GPa 𝛿 = 𝑃𝐿 𝐸𝐴 𝛿 = 80 𝑥 103 𝑥 1,5 200 𝑥 109 𝑥 0,100 𝑥 0,050 𝛿 = 0,00012 𝑚 = 0,12 𝑚𝑚 Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial: Exemplo 02: – Determinar o alongamento longitudinal total da barra e o alongamento longitudinal relativo entre os pontos A e C. Tração Compressão - (Positivo) (Negativo) + AAB=0,020 m2; ABD=0,015 m2; EAC=100GPa ECD=200GPa Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial: Exemplo 02: – Determinar o alongamento longitudinal total da barra e o alongamento longitudinal relativo entre os pontos A e C. AAB=0,020 m2; ABD=0,015 m2; EAC=100GPa ECD=200GPa 𝛿 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑃𝑖𝐿𝑖 𝐸𝑖𝐴𝑖 𝛿𝐴𝐷 = 𝑃𝐴𝐵𝐿𝐴𝐵 𝐸𝐴𝐵𝐴𝐴𝐵 + 𝑃𝐵𝐶𝐿𝐵𝐶 𝐸𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶 + 𝑃𝐶𝐷𝐿𝐶𝐷 𝐸𝐶𝐷𝐴𝐶𝐷 𝛿𝐴𝐷 = 5 𝑥 103 𝑥 2 100 𝑥 109 𝑥 0,020 + −3 𝑥 103 𝑥 2 100 𝑥 109 𝑥 0,015 + −7 𝑥 103 𝑥 3 200 𝑥 109 𝑥 0,015 = −0,006 𝑚𝑚 𝛿𝐴𝐵 𝛿𝐵𝐶 𝛿𝐶𝐷 𝛿𝐴𝐶 = 𝛿𝐴𝐵 + 𝛿𝐵𝐶 = +0,005 𝑚𝑚 Encurtamento Alongamento Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.3 – Princípio da superposição de efeitos: • O princípio da superposição de efeitos é frequentemente utilizado para determinar a tensão ou o deslocamento em um ponto de um elemento quando estiver submetido a um sistema de carregamentos complicado. • Esse princípio da superposição estabelece que, subdividindo o sistema de carregamentos em componentes de carregamento, a tensão ou o deslocamento resultante pode ser obtido pela soma das tensões ou dos deslocamentos causados por cada uma das componentes atuando separadamente. • Para aplicar o princípio da superposição, as duas condições a seguir devem ser válidas: o A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou o deslocamento a ser determinado (regime elástico linear – linearidade física). o A carga não deve provocar mudanças significativas na geometria (regime de pequenas deformações e pequenos deslocamentos – linearidade geométrica). Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.3 – Princípio da superposição de efeitos: 𝛿 = 𝛿1 + 𝛿2 Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.3 – Princípio da superposição de efeitos: 𝛿𝐴 = 𝑃𝐴𝐵𝐿𝐴𝐵 𝐸𝐴𝐵𝐴𝐴𝐵 + 𝑃𝐵𝐶𝐿𝐵𝐶 𝐸𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶 𝛿𝐴 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑃𝑖𝐿𝑖 𝐸𝑖𝐴𝑖 𝛿𝐴 𝑃1 = −𝑃1𝐿𝐴𝐵 𝐸𝐴𝐵𝐴𝐴𝐵 + −𝑃1𝐿𝐵𝐶 𝐸𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶 𝛿𝐴 𝑃2 = −𝑃2𝐿𝐵𝐶 𝐸𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶 𝛿𝐴 = 𝛿𝐴 𝑃1 + 𝛿𝐴 𝑃2 𝛿𝐴 = −𝑃1𝐿𝐴𝐵 𝐸𝐴𝐵𝐴𝐴𝐵 + − 𝑃1 + 𝑃2 𝐿𝐵𝐶 𝐸𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶 Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.3 – Princípio da superposição de efeitos: Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.4 – Elemento estaticamente indeterminado com carga axial: • Estruturas estaticamente determinadas (ISOSTÁTICAS): As reações de apoio podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio da estática. As reações podem ser encontradas sem levar em conta as propriedades dos materiais ou das seções transversais. • Estruturas estaticamente indeterminadas (HIPERESTÁTICAS): As equações de equilíbrio da estática não são suficientes para se determinar todas as reações de apoio. As equações de equilíbrio devem ser complementadas com equações adicionais de deslocamentos da estrutura, denominadas equações de compatibilidade de deslocamentos. Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.4 – Elemento estaticamente indeterminado com carga axial: • Estrutura estaticamente determinada: Incógnita: Eq. Equilíbrio: R = 0  y F • Estrutura estaticamente indeterminada: Incógnitas: Eq. Equilíbrio: Eq. Compatibilidade: B A e R R = 0  y F 0 / B A = Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.4 – Elemento estaticamente indeterminado com carga axial: ❑ Equações de compatibilidade • Expressam relações de deslocamentos compatíveis com as condições de contorno da estrutura. • Podem ser expressas em termos das reações desconhecidas, utilizando-se as relações de força-deslocamento. Essas relações dependem das propriedades mecânicas dos materiais e das propriedades geométricas das seções transversais. Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.4 – Elemento estaticamente indeterminado com carga axial: ❑ Análise de uma estrutura com carga axial estaticamente indeterminado • Escolhe-se uma estrutura isostática fundamental (retirada de vínculos); • As forças associados aos vínculos retirados são chamadas de “redundantes” e resolve-se a estrutura isostática fundamental em função das redundantes; • Pelo Princípio da Superposição tem-se: (a) = (b) + (c); • Obtém-se as equação de equilíbrio da barra em termos das forças ativas e reativas; • Obtém-se as equação de compatibilidade da barra em termos das forças ativas e reativas e das propriedades físicas e geométricas da barra. • Resolve-se o sistema de equações obtido determinando-se as reações de apoio. Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.4 – Elemento estaticamente indeterminado com carga axial: Exemplo 01: (resolução 1) • Incógnitas (neste caso, reações de apoio): • Equação de equilíbrio da estática: • Equação de compatibilidade de deslocamentos: • Resolvendo o sistema de equações: L Pa e R L Pb R B A = + + = 𝑅𝐴 𝑒 𝑅𝐵 ෍ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑅𝐴 +𝑅𝐵 − 𝑃 = 0 𝛿𝐵 = 0 → 𝛿𝐵 𝑃 + 𝛿𝐵 𝑅𝐵 = 0 𝑃 𝑎 𝐸 𝐴 − 𝑅𝐵 𝐿 𝐸 𝐴 = 0 Estrutura isostática fundamental Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.4 – Elemento estaticamente indeterminado com carga axial: Exemplo 01: (resolução 2) • Incógnitas (neste caso, reações de apoio): • Equação de equilíbrio da estática: • Equação de compatibilidade de deslocamentos: • Resolvendo o sistema de equações: L Pa e R L Pb R B A = + + = 𝑅𝐴 𝑒 𝑅𝐵 ෍ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑅𝐴 +𝑅𝐵 − 𝑃 = 0 𝛿𝐵 = 0 → ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑃𝑖𝐿𝑖 𝐴𝑖𝐸𝑖 = 0 𝑅𝐴𝑎 𝐸 𝐴 − 𝑅𝐵 𝑏 𝐸 𝐴 = 0 Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.4 – Elemento estaticamente indeterminado com carga axial: – Determinar as reações de apoio: AAB=0,020 m2; ABD=0,015 m2; EAC=100GPa ECD=200GPa Exemplo 02: Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.4 – Elemento estaticamente indeterminado com carga axial: – Determinar as reações de apoio: AAB=0,020 m2; ABD=0,015 m2; EAC=100GPa ECD=200GPa Exemplo 02: 𝛿𝐴𝐷 = ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑃𝑖𝐿𝑖 𝐸𝑖𝐴𝑖 = 0 𝑃𝐴𝐵𝐿𝐴𝐵 𝐸𝐴𝐵𝐴𝐴𝐵 + 𝑃𝐵𝐶𝐿𝐵𝐶 𝐸𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶 + 𝑃𝐶𝐷𝐿𝐶𝐷 𝐸𝐶𝐷𝐴𝐶𝐷 = 0 12 + 𝑅𝐷 𝑥 2 100 𝑥 109 𝑥 0,020 + 4 + 𝑅𝐷 𝑥 2 100 𝑥 109 𝑥 0,015 + 𝑅𝐷 𝑥 3 200 𝑥 109 𝑥 0,015 = 0 𝑅𝐷 = −5,2 𝐾𝑁 σ 𝐹𝑥 = 0 𝑅𝐴 + 8 + 4 + 𝑅𝐷 = 0 → 𝑅𝐴 + 𝑅𝐷 = −12 → 𝑅𝐴 = −6,8 𝐾𝑁 Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.5 – Tensões (de origem) térmicas em barras: • Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões de um elemento estrutural. Se a temperatura aumenta, o elemento estrutural, em geral, expande, se a temperatura diminui, o elemento estrutural contrai. A relação entre a expansão ou a contração do elemento estrutural e o aumento ou redução da temperatura normalmente e linear e pode ser avaliada a partir do coeficiente de dilatação térmica “𝛼”. • Dessa forma, a variação de comprimento de uma barra pode ser dada por: em que: 𝛿𝑇 representa a variação de comprimento devido a variação da temperatura; 𝛼 representa o coeficiente de dilatação térmica, sendo este uma propriedade do material; ∆𝑇 representa a variação de temperatura; L representa o comprimento original da barra 𝛿𝑇 = 𝛼 ∆𝑇 𝐿 Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.5 – Tensões (de origem) térmicas em barras: • A mudança de comprimento de um elemento estaticamente determinado pode ser calculada diretamente pela expressão apresentada, visto que o elemento está livre para se expandir ou contrair quando sofre variação na temperatura. • Quando o elemento é estaticamente indeterminado, essa expansão ou contração é restringida pelas vinculações (apoios), o que faz surgir tensões térmicas (tensões de origem térmica) que devem ser consideradas no projeto. • O cálculo das tensões térmicas em elementos estaticamente indeterminados pode ser realizado considerando-se o princípio da superposição de efeitos. Dessa forma, pode- se obter as forças reativas (reações de apoio) e, consequentemente, os esforços solicitante necessários para manutenção da compatibilidade de deslocamentos. Visto que, devido a variação na temperatura, o elemento tende a expandir ou contrair e as vinculações (apoios) impedirão essa expansão ou contração, introduzindo forças reativas e esforços solicitantes. A partir desses esforços solicitante é possível avaliar as tensões térmicas. Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.5 – Tensões (de origem) térmicas em barras: Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.5 – Tensões (de origem) térmicas em barras: – Determinar a tensão térmica desenvolvida na barra: Exemplo 01: Dados: Material: Aço A36 E = 200 GPa 𝛼 = 1,2 x 10-5 /°C Temperatura de projeto: 25°C Temperatura de operação: 40°C Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.5 – Tensões (de origem) térmicas em barras: – Determinar a tensão térmica desenvolvida na barra: Exemplo 01: Dados: Material: Aço A36 E = 200 GPa 𝛼 = 1,2 x 10-5 /°C Temperatura de projeto: 25°C Temperatura de operação: 40°C Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.5 – Tensões (de origem) térmicas em barras: – Determinar a tensão térmica desenvolvida na barra: Exemplo 01: Dados: Material: Aço A36 E = 200 GPa 𝛼 = 1,2 x 10-5 /°C Temperatura de projeto: 25°C Temperatura de operação: 40°C Prof. Juliano dos Santos Becho 8 – Carregamento axial: 8.5 – Tensões (de origem) térmicas em barras: – Determinar a tensão térmica desenvolvida na barra: Exemplo 01: Dados: Material: Aço A36 E = 200 GPa 𝛼 = 1,2 x 10-5 /°C Temperatura de projeto: 25°C Temperatura de operação: 40°C 𝛿𝑇 = 𝛼 ∆𝑇 𝐿 𝛿𝑇 = 1,2 𝑥 10−5 𝑥 40 − 25 𝑥 1 𝛿𝑇 = 0,18 𝑚𝑚 𝛿𝐹 = −𝛿𝑇 𝛿𝐹 = 𝑃𝐿 𝐸𝐴 𝑃 = 𝛿𝐹𝐸𝐴 𝐿 𝜎 = 𝑃 𝐴 = 𝛿𝐹𝐸 𝐿 𝜎 = 0,00018 𝑥 200 𝑥 109 1 = 36 𝑀𝑃𝑎 Prof. Juliano dos Santos Becho Itens abordados: Livro - Resistência dos Materiais, HIBBELER, R. C., 7ª ed., São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. Leitura essencial: Capítulo 3: Item 3.4 – Lei de Hooke; Capítulo 4: Item 4.1 – Princípio de Saint-Venant; Capítulo 4: Item 4.2 – Deformação elástica de uma elemento submetido a carga axial; Capítulo 4: Item 4.3 – Princípio da superposição; Capítulo 4: Item 4.4 – Elemento com carga axial estaticamente indeterminado; Capítulo 4: Item 4.6 – Tensão térmica. Lista de exercícios 03 (entrega em 22/junho) 54 Universidade Federal de Minas Gerais Obrigado! Prof. Juliano dos Santos Becho julianobecho@ufmg.br