Slide - Aula 3 - Formalização do Método das Forças - 2024-1

1 Universidade Federal de Minas Gerais EES 024 – Análise Estrutural II Aula 03: Formalização do método das forças, Determinação dos termos de carga e Determinação dos coeficientes de flexibilidade DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Revisão: Introdução aos métodos de análise: 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação Pelo comportamento do material, tem-se: 𝑑3 𝑑1 𝑁3 𝐴 = 𝐸 𝑑3 𝑙 𝑁1 𝐴 = 𝐸 𝑑1 𝑙/𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 0 incógnitas + 2 equações Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: Revisão: Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) Termo de carga Coeficiente de flexibilidade Revisão: Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma vinculação excedente (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) Termo de carga Coeficiente de flexibilidade Grau de indeterminação estática (GIE): Este curso tem por enfoque a análise de estruturas reticuladas hiperestáticas, abordando métodos básicos para este fim, sendo importante identificar se a estrutura é hiperestática (GIE 0). Além disso, como pôde ser observado, no método das forças é fundamental o conhecimento do Grau de Indeterminação Estática (GIE) para se definir o número de hiperestáticos (incógnitas do problema). O Grau de Indeterminação Estática (GIE) de uma estrutura pode ser definido como a diferença entre o número de incógnitas do problema e o número de equações de equilíbrio estático disponíveis para o modelo: Com base no GIE, os modelos estruturais podem ser classificados como: GIE < 0 Estrutura hipostática e instável (condição suficiente) GIE = 0 Estrutura isostática e estável (condição necessária) GIE < 0 Estrutura hiperestática e estável (condição necessária) 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 Revisão: Para estruturas reticuladas planas, como vigas, pórticos e grelhas, o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser avaliado por: Para treliças o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser avaliado por: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 Grau de indeterminação estática (GIE): Revisão: Para estruturas reticuladas planas, como vigas, pórticos e grelhas, o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser avaliado por: Para treliças o Grau de Indeterminação Estática (GIE) pode ser avaliado por: 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 ∙ 𝑁 𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 2 ∙ 𝑁𝑛ó𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 − 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑖𝑠 𝐺𝐼𝐸𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 𝐺𝐼𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐺𝐼𝐸𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 Grau de indeterminação estática (GIE): Revisão: Princípio dos trabalhos virtuais: Princípio das forças virtuais: De uma fora geral, o deslocamento (ou rotação) em um ponto qualquer de uma estrutura reticulada, com comportamento elástico linear, pode ser dado por: ∆= 1 ത𝑃 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀 𝑑𝜃 ത𝑃2 ∙ 𝐷2 = න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐷2 = 1 ത𝑃2 න 𝑙 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 Revisão: 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: O método das forças tem como ideia básica determinar, dentro do conjunto de soluções em forças que satisfazem as condições de equilíbrio, aquela que faz com que as condições de compatibilidade também sejam satisfeitas. Incógnitas: forças e momentos. Sequência de aplicação das condições básicas: • Equilíbrio; • Leis constitutivas; • Compatibilidade. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Na prática, a metodologia utilizada pelo método das forças para analisar uma estrutura hiperestática é: Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para, na superposição reestabelecer as condições de compatibilidade. A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma estrutura isostática auxiliar (sistema principal [SP]), obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos excedentes. As forças ou momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e recebem a nomenclatura de hiperestáticos. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 1º Passo: Cálculo do GIE 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 1º Passo: Cálculo do GIE 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 5 + 3 ∙ 0 − 3 + 0 = 5 − 3 = 2 Estrutura hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes) Deve-se, então, definir uma estrutura isostática auxiliar, denominada Sistema Principal [SP], a partir da eliminação de 2 vínculos. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 2º Passo: Criação do [SP] Estrutura hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes) 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 2º Passo: Criação do [SP] Estrutura hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes) [SP] Estrutura isostática auxiliar (GIE = 0) (Número de vinculações suficientes) Observação: O [SP] é uma estrutura isostática e por isso pode ser analisada levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio. Entretanto, fica claro que a aplicação da solicitação externa no [SP] provocaria deslocamentos e rotações impedidos na estrutura original, ou seja, suas condições de compatibilidade seriam violadas. Vínculos liberados: e 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 2º Passo: Criação do [SP] Estrutura hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes) [SP] Estrutura isostática auxiliar (GIE = 0) (Número de vinculações suficientes) Observação: O [SP] é uma estrutura isostática e por isso pode ser analisada levando-se em conta apenas as equações de equilíbrio. Entretanto, fica claro que a aplicação da solicitação externa no [SP] provocaria deslocamentos e rotações impedidos na estrutura original, ou seja, suas condições de compatibilidade seriam violadas. Vínculos liberados: e 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 3º Passo: Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP] Estrutura isostática auxiliar (GIE = 0) (Número de vinculações suficientes) [SP] Vínculos liberados: e 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 3º Passo: Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP] Estrutura isostática auxiliar (GIE = 0) (Número de vinculações suficientes) [SP] Vínculos liberados: e Hiperestáticos associados aos vínculos liberados: X1 e X2 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: Solicitação externa no [SP] Solicitação dos hiperestáticos no [SP] Solicitação externa na estrutura original Observação: A ideia, então, é encontrar forças e momentos fletores, Xi, denominados hiperestáticos que, ao serem aplicados no [SP], restaurem, na superposição (soma) dos efeitos as condições de compatibilidade originais. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: Solicitação externa no [SP] Solicitações isoladas de cada hiperestáticos no [SP] Solicitação externa na estrutura original Observação: A ideia, então, é encontrar forças e momentos fletores, Xi, denominados hiperestáticos que, ao serem aplicados no [SP], restaurem, na superposição (soma) dos efeitos as condições de compatibilidade originais. X1 X2 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: Solicitação externa no [SP] Solicitação externa na estrutura original Nos passos seguintes, são avaliados os deslocamentos e rotações, associados aos vínculos eliminados, provocados por cada um desses casos de solicitação no [SP] para, na superposição (soma) desses deslocamentos e rotações, reestabelecer a compatibilidade dos vínculos e obter os resultados referentes à estrutura original hiperestática.. Solicitações isoladas de cargas unitárias no mesmo sentido dos hiperestáticos no [SP] 1 1 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 4º Passo: Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 4º Passo: Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. Obtenção dos esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP]. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 5º Passo: Caso [1] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X1. X1=1 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 5º Passo: Caso [1] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X1. X1=1 Obtenção dos esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X1. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 5º Passo: Caso [2] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X2. X2=1 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 5º Passo: Caso [2] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático X2. X2=1 Obtenção dos esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X2. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 5º Passo: Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. Obtenção dos esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 6º Passo: Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 6º Passo: Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. - Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados (Termos de carga 𝛿𝑖𝟎). 𝛿𝑖𝟎 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝟎 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝟎 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Termos de Carga: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado pelo carregamento externo no [SP] (caso 0). 𝛿1𝟎 = −13,64 x 10−3 𝑟𝑎𝑑 𝛿2𝟎 = 115,2 x 10−3 𝑚 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 6º Passo: Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. - Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados (Termos de carga 𝛿𝑖𝟎). 𝛿𝑖𝟎 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝟎 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝟎 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Termos de Carga: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado pelo carregamento externo no [SP] (caso 0). 𝛿1𝟎 = −13,64 x 10−3 𝑟𝑎𝑑 𝛿2𝟎 = 115,2 x 10−3 𝑚 Observação: Utilização dos esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP] e dos esforços solicitantes referentes às respectivas cargas unitárias correspondentes a cada deslocamento de interesse. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 7º Passo: Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. X1=1 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 7º Passo: Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. - Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados (Coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝟏). 𝛿𝑖𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝟏 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝟏 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Coeficientes de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado por uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X1 (caso 1). 𝛿1𝟏 = 0,1152 𝑥 10−3 𝑟𝑎𝑑/(𝑘𝑁 ∙ 𝑚) 𝛿2𝟏 = −0, 6997 𝑥 10−3 𝑚/(𝑘𝑁 ∙ 𝑚) X1=1 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 7º Passo: Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. - Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados (Coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝟏). 𝛿𝑖𝟏 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝟏 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝟏 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Coeficientes de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado por uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X1 (caso 1). 𝛿1𝟏 = 0,1152 𝑥 10−3 𝑟𝑎𝑑/(𝑘𝑁 ∙ 𝑚) 𝛿2𝟏 = −0, 6997 𝑥 10−3 𝑚/(𝑘𝑁 ∙ 𝑚) X1=1 Observação: Utilização dos esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X1 e dos esforços solicitantes referentes às respectivas cargas unitárias correspondentes a cada deslocamento de interesse. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 7º Passo: Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. X2=1 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 7º Passo: Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. - Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados (Coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝟐). 𝛿𝑖𝟐 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝟐 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝟐 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Coeficientes de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado por uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X2 (caso 2). 𝛿1𝟐 = −0,6997 𝑥 10−3 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁 𝛿2𝟐 = 6,1180 𝑥 10−3 𝑚/𝑘𝑁 X2=1 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 7º Passo: Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. - Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados (Coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝟐). 𝛿𝑖𝟐 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝟐 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝟐 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝟐 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Coeficientes de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado por uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X2 (caso 2). 𝛿1𝟐 = −0,6997 𝑥 10−3 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁 𝛿2𝟐 = 6,1180 𝑥 10−3 𝑚/𝑘𝑁 X2=1 Observação: Utilização dos esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático X2 e dos esforços solicitantes referentes às respectivas cargas unitárias correspondentes a cada deslocamento de interesse. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 7º Passo: Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. - Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados (Coeficientes de flexibilidade 𝛿𝑖𝒋). 𝛿𝑖𝒋 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝒋 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝒋 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝒋 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Coeficientes de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado por uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj (caso j). Observação: Utilização dos esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj e dos esforços solicitantes referentes às respectivas cargas unitárias correspondentes a cada deslocamento de interesse. Observação: Convém ressaltar que os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 7º Passo: Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. - Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados (Coeficientes de flexibilidade 𝛿𝑖𝒋). 𝛿𝑖𝒋 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝒋 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝒋 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝒋 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Coeficientes de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado por uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj (caso j). Observação: Utilização dos esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj e dos esforços solicitantes referentes às respectivas cargas unitárias correspondentes a cada deslocamento de interesse. Observação: Convém ressaltar que os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 7º Passo: Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. - Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados (Coeficientes de flexibilidade 𝛿𝑖𝒋). 𝛿𝑖𝒋 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝒋 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝒋 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝒋 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Coeficientes de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção e sentido do hiperestático Xi, provocado por uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj (caso j). Observação: Utilização dos esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj e dos esforços solicitantes referentes às respectivas cargas unitárias correspondentes a cada deslocamento de interesse. Observação: Convém ressaltar que os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 8º Passo: Reestabelecimento das condições de compatibilidade. Para anular a rotação no nó inferior esquerdo (nó A): Solicitação externa no [SP] Solicitação externa na estrutura original Solicitações isoladas de cargas unitárias no mesmo sentido dos hiperestáticos no [SP] 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 Para anular o deslocamento horizontal no nó inferior direito (nó B): 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 - Aplicação do princípio da superposição de efeitos. - Determinação dos valores dos hiperestáticos Xi. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 8º Passo: Reestabelecimento das condições de compatibilidade. Para anular a rotação no nó inferior esquerdo (nó A): Solicitação externa no [SP] Solicitação externa na estrutura original Solicitações isoladas de cargas unitárias no mesmo sentido dos hiperestáticos no [SP] 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 Para anular o deslocamento horizontal no nó inferior direito (nó B): 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 - Aplicação do princípio da superposição de efeitos. - Determinação dos valores dos hiperestáticos Xi. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 8º Passo: Reestabelecimento das condições de compatibilidade. Para anular a rotação no nó inferior esquerdo (nó A): Solicitação externa no [SP] Solicitação externa na estrutura original Solicitações isoladas de cargas unitárias no mesmo sentido dos hiperestáticos no [SP] 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 Para anular o deslocamento horizontal no nó inferior direito (nó B): 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 - Aplicação do princípio da superposição de efeitos. - Determinação dos valores dos hiperestáticos Xi. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 8º Passo: Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 𝛿10 𝛿20 + 𝛿11 𝛿12 𝛿21 𝛿22 𝑋1 𝑋2 = 0 0 Matriz de flexibilidade +0,1152𝑥10−3 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 −0,6997𝑥10−3 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁 −0,6997𝑥10−3 𝑚/𝑘𝑁𝑚 +6,1180𝑥10−3 𝑚/𝑘𝑁 𝑋1 𝑋2 = +13,64𝑥10−3 𝑟𝑎𝑑 −115,2𝑥10−3 𝑚 Reescrevendo o sistema algébrico em notação matricial: Para anular a rotação no nó inferior esquerdo (nó A): 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 Para anular o deslocamento horizontal no nó inferior direito (nó B): 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 Substituindo os valores do problema e resolvendo o sistema, tem-se: 𝑋1 = +13,39 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = −17,29 𝑘𝑁 - Aplicação do princípio da superposição de efeitos. - Determinação dos valores dos hiperestáticos Xi. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 8º Passo: Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 𝛿10 𝛿20 + 𝛿11 𝛿12 𝛿21 𝛿22 𝑋1 𝑋2 = 0 0 Matriz de flexibilidade +0,1152𝑥10−3 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 −0,6997𝑥10−3 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁 −0,6997𝑥10−3 𝑚/𝑘𝑁𝑚 +6,1180𝑥10−3 𝑚/𝑘𝑁 𝑋1 𝑋2 = +13,64𝑥10−3 𝑟𝑎𝑑 −115,2𝑥10−3 𝑚 Reescrevendo o sistema algébrico em notação matricial: Para anular a rotação no nó inferior esquerdo (nó A): 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 Para anular o deslocamento horizontal no nó inferior direito (nó B): 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 Substituindo os valores do problema e resolvendo o sistema, tem-se: 𝑋1 = +13,39 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = −17,29 𝑘𝑁 - Aplicação do princípio da superposição de efeitos. - Determinação dos valores dos hiperestáticos Xi. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 8º Passo: Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 𝛿10 𝛿20 + 𝛿11 𝛿12 𝛿21 𝛿22 𝑋1 𝑋2 = 0 0 Matriz de flexibilidade +0,1152𝑥10−3 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁𝑚 −0,6997𝑥10−3 𝑟𝑎𝑑/𝑘𝑁 −0,6997𝑥10−3 𝑚/𝑘𝑁𝑚 +6,1180𝑥10−3 𝑚/𝑘𝑁 𝑋1 𝑋2 = +13,64𝑥10−3 𝑟𝑎𝑑 −115,2𝑥10−3 𝑚 Reescrevendo o sistema algébrico em notação matricial: Para anular a rotação no nó inferior esquerdo (nó A): 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0 Para anular o deslocamento horizontal no nó inferior direito (nó B): 𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0 Substituindo os valores do problema e resolvendo o sistema, tem-se: 𝑋1 = +13,39 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = −17,29 𝑘𝑁 - Aplicação do princípio da superposição de efeitos. - Determinação dos valores dos hiperestáticos Xi. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 8º Passo: Reestabelecimento das condições de compatibilidade. 𝑋1 = +13,39 𝑘𝑁𝑚 𝑋2 = −17,29 𝑘𝑁 17,29 𝑘𝑁 13,39 𝑘𝑁𝑚 - Aplicação do princípio da superposição de efeitos. - Determinação dos valores dos hiperestáticos Xi. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 9º Passo: Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 9º Passo: Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. - Análise da estrutura hiperestática utilizando-se as equações de equilíbrio, com os hiperestáticos calculados: ෍ 𝐹𝑥 = 0 ෍ 𝐹𝑦 = 0 ෍ 𝑀𝑧 = 0 𝑉𝐵 𝑉𝐴 𝐻𝐴 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Como exemplo, considere o pórtico plano hiperestático abaixo: 9º Passo: Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. - Ou aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar: 𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1𝑋1 + 𝑀2𝑋2 𝑄 = 𝑄0 + 𝑄1𝑋1 + 𝑄2𝑋2 𝑅 = 𝑅0 + 𝑅1𝑋1 + 𝑅2𝑋2 Diagrama de momento fletor Diagrama de esforço cortante Reação em um apoio qualquer ∆= ∆0 + ∆1𝑋1 + ∆2𝑋2 Deslocamento em um ponto qualquer Observação: Na prática, há uma preferência por esta segunda opção, visto que o método da carga unitária, utilizado na obtenção dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade, já exige o traçado dos referidos diagramas e obtenção das reações de apoio. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: O número de casos básicos que devem ser resolvidos, além do caso (0), é igual ao Graus de Indeterminação Estática (𝑔) da estrutura. O vetor dos termos de carga tem dimensão (𝑔), a matriz de flexibilidade tem dimensões (𝑔 x 𝑔) e o vetor dos hiperestáticos em dimensão (𝑔): A matriz de flexibilidade é simétrica e os termos da diagonal são necessariamente positivos, visto que: 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑗𝑖 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑗𝑀𝑖 𝐸𝐼 𝑑𝑥 → න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑖 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖 2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 → 𝛿𝑖𝑖 ≥ 0 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: O número de casos básicos que devem ser resolvidos, além do caso (0), é igual ao Graus de Indeterminação Estática (𝑔) da estrutura. O vetor dos termos de carga tem dimensão (𝑔), a matriz de flexibilidade tem dimensões (𝑔 x 𝑔) e o vetor dos hiperestáticos em dimensão (𝑔): A matriz de flexibilidade é simétrica e os termos da diagonal são necessariamente positivos, visto que: 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑗𝑖 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑗𝑀𝑖 𝐸𝐼 𝑑𝑥 → න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑖 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖 2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 → 𝛿𝑖𝑖 ≥ 0 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: O número de casos básicos que devem ser resolvidos, além do caso (0), é igual ao Graus de Indeterminação Estática (𝑔) da estrutura. O vetor dos termos de carga tem dimensão (𝑔), a matriz de flexibilidade tem dimensões (𝑔 x 𝑔) e o vetor dos hiperestáticos em dimensão (𝑔): A matriz de flexibilidade é simétrica e os termos da diagonal são necessariamente positivos, visto que: 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑗𝑖 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑗𝑀𝑖 𝐸𝐼 𝑑𝑥 → න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑖 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖 2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 → 𝛿𝑖𝑖 ≥ 0 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: Existem diversas opções para o sistema principal [SP], no entanto, este deve ser determinado de forma a manter a estrutura estável para qualquer carregamento. O fato de existirem diversas possibilidades para o sistema principal [SP] faz com que seja difícil formalizar, além da metodologia descrita, um procedimento padrão para a análise de estruturas pelo método das forças, o que dificulta sua implementação computacional. Deve-se observar ainda, que os coeficientes da matriz de flexibilidade não dependem da carga externa. São obtidos a partir da determinação do sistema principal [SP] e da solicitação dos hiperestáticos no [SP], ou seja, a matriz de flexibilidade é uma propriedade da estrutura e do sistema principal escolhido e independe das solicitações externas. Portanto, para analisar a mesma estrutura sob outras configurações de carregamentos, basta recalcular os termos de carga. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: Existem diversas opções para o sistema principal [SP], no entanto, este deve ser determinado de forma a manter a estrutura estável para qualquer carregamento. O fato de existirem diversas possibilidades para o sistema principal [SP] faz com que seja difícil formalizar, além da metodologia descrita, um procedimento padrão para a análise de estruturas pelo método das forças, o que dificulta sua implementação computacional. Deve-se observar ainda, que os coeficientes da matriz de flexibilidade não dependem da carga externa. São obtidos a partir da determinação do sistema principal [SP] e da solicitação dos hiperestáticos no [SP], ou seja, a matriz de flexibilidade é uma propriedade da estrutura e do sistema principal escolhido e independe das solicitações externas. Portanto, para analisar a mesma estrutura sob outras configurações de carregamentos, basta recalcular os termos de carga. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: Existem diversas opções para o sistema principal [SP], no entanto, este deve ser determinado de forma a manter a estrutura estável para qualquer carregamento. O fato de existirem diversas possibilidades para o sistema principal [SP] faz com que seja difícil formalizar, além da metodologia descrita, um procedimento padrão para a análise de estruturas pelo método das forças, o que dificulta sua implementação computacional. Deve-se observar ainda, que os coeficientes da matriz de flexibilidade não dependem da carga externa. São obtidos a partir da determinação do sistema principal [SP] e da solicitação dos hiperestáticos no [SP], ou seja, a matriz de flexibilidade é uma propriedade da estrutura e do sistema principal escolhido e independe das solicitações externas. Portanto, para analisar a mesma estrutura sob outras configurações de carregamentos, basta recalcular os termos de carga. 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: Após o cálculo do vetor dos hiperestáticos, os esforços internos, as reações de apoio e os deslocamentos em um ponto qualquer podem ser obtidos utilizando-se o princípio da superposição de efeitos se valendo dos resultados obtidos em cada caso de solicitação do sistema principal [SP]: 𝐸 = 𝐸0 + ෍ 𝑘=1 𝑔 𝐸𝑘𝑋𝑘 Diagrama de esforço solicitante (N, M, Q ou T) Reação em um apoio qualquer Deslocamento em um ponto qualquer 𝑅 = 𝑅0 + ෍ 𝑘=1 𝑔 𝑅𝑘𝑋𝑘 ∆= ∆0 + ෍ 𝑘=1 𝑔 ∆𝑘𝑋𝑘 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: De forma geral, para estruturas reticuladas, tem-se: Determinação dos termos de carga: Determinação dos coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖0 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄0 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑇𝑖𝑇0 𝐺𝐽 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝑗 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑇𝑖𝑇𝑗 𝐺𝐽 𝑑𝑥 Observação: Convém ressaltar que os termos de carga têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad). Enquanto, os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: De forma geral, para estruturas reticuladas, tem-se: Determinação dos termos de carga: Determinação dos coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖0 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄0 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑇𝑖𝑇0 𝐺𝐽 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝑗 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑇𝑖𝑇𝑗 𝐺𝐽 𝑑𝑥 Observação: Convém ressaltar que os termos de carga têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad). Enquanto, os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: Para pórticos, tem-se: Determinação dos termos de carga: Determinação dos coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖0 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄0 𝐺𝐴 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝑗 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Observação: Convém ressaltar que os termos de carga têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad). Enquanto, os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: Para pórticos, tem-se: Determinação dos termos de carga: Determinação dos coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖0 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄0 𝐺𝐴 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝑗 𝐺𝐴 𝑑𝑥 Observação: Convém ressaltar que os termos de carga têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad). Enquanto, os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: Para grelhas, tem-se: Determinação dos termos de carga: Determinação dos coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖0 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄0 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑇𝑖𝑇0 𝐺𝐽 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝑗 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑇𝑖𝑇𝑗 𝐺𝐽 𝑑𝑥 Observação: Convém ressaltar que os termos de carga têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad). Enquanto, os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: Para grelhas, tem-se: Determinação dos termos de carga: Determinação dos coeficientes de flexibilidade: 𝛿𝑖0 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀0 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄0 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑇𝑖𝑇0 𝐺𝐽 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑀𝑗 𝐸𝐼 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝜒 𝑄𝑖𝑄𝑗 𝐺𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑇𝑖𝑇𝑗 𝐺𝐽 𝑑𝑥 Observação: Convém ressaltar que os termos de carga têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad). Enquanto, os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: Para treliças, tem-se: Determinação dos termos de carga: ou ainda: Determinação dos coeficientes de flexibilidade: ou ainda: 𝛿𝑖0 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑑𝑥 𝛿𝑖0 = ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑙 𝑘 𝛿𝑖𝑗 = ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑙 𝑘 Observação: Convém ressaltar que os termos de carga têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad). Enquanto, os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). 5 - Método das forças: 5.1 - Metodologia de análise pelo método das forças: Observações gerais: Para treliças, tem-se: Determinação dos termos de carga: ou ainda: Determinação dos coeficientes de flexibilidade: ou ainda: 𝛿𝑖0 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑑𝑥 𝛿𝑖𝑗 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑑𝑥 𝛿𝑖0 = ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑁𝑖𝑁0 𝐸𝐴 𝑙 𝑘 𝛿𝑖𝑗 = ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑁𝑖𝑁𝑗 𝐸𝐴 𝑙 𝑘 Observação: Convém ressaltar que os termos de carga têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad). Enquanto, os coeficientes de flexibilidade têm unidades de deslocamento (m) ou rotação (rad) por unidade do hiperestático que os provocam (por exemplo: m/kN, rad/kN, m/kNm ou rad/kNm). Itens abordados: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 1ª ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2010 Leitura essencial: Capítulo 8: Item 8.1: Metodologia de análise pelo método das forças Capítulo 8: Item 8.2: Matriz de flexibilidade e vetor dos termos de carga Capítulo 8: Item 8.3: Determinação dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade Leitura sugerida: Capítulo 5: Idealização do comportamento de barras Capítulo 7: Princípio dos trabalhos virtuais Obs.: Capítulo 6 não será tratado no curso 77 Universidade Federal de Minas Gerais Obrigado!