Slide - Aula 6 - Efeitos da Variação da Temperatura - 2024-1

1 Universidade Federal de Minas Gerais EES 024 – Análise Estrutural II Aula 06: Efeitos da variação de temperatura e do recalque de apoio no método das forças DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝐺𝐼𝐸 = 𝑁𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠 + 3 ∙ 𝑁𝑎𝑛é𝑖𝑠 − 3 + ෍ 𝑘=1 𝑛º 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑁𝑘 , 𝑛º 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1 𝐺𝐼𝐸 = 5 + 3 ∙ 0 − 3 + 0 = 2 A estrutura é hiperestática com GIE = 2 (2 vinculações excedentes). Sistema principal [SP] Análise de uma viga pelo método das forças: Revisão: Análise de uma viga pelo método das forças: Termos de carga 𝜹𝒊𝟎. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 𝛿𝟐𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = − 5 24 𝑞𝑙4 𝐸𝐼 = − 253,125 𝐸𝐼 𝛿𝟏𝟎 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟎 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = − 1 4 𝑞𝑙4 𝐸𝐼 = − 303,75 𝐸𝐼 Revisão: Coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟏𝟏 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 12 𝐸𝐼 𝛿𝟐𝟏 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 10,5 𝐸𝐼 𝛿𝟏𝟐 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 10,5 𝐸𝐼 𝛿𝟐𝟐 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 12 𝐸𝐼 Análise de uma viga pelo método das forças: Revisão: Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 𝛿10 𝛿20 ⋮ 𝛿𝑔0 + 𝛿11 𝛿21 𝛿12 𝛿22 ⋯ 𝛿1𝑔 ⋯ 𝛿2𝑔 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝛿𝑔1 𝛿𝑔2 ⋯ 𝛿𝑔𝑔 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋𝑔 = 0 0 ⋮ 0 Análise de uma viga pelo método das forças: Revisão: Análise de uma viga pelo método das forças: Revisão: +∆𝑇 −∆𝑇 Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Análise de uma viga pelo método das forças: Revisão: +∆𝑇 −∆𝑇 +∆𝑇 −∆𝑇 Termos de carga 𝜹𝒊𝟎: 𝛿𝟏𝟎 = 𝛿10 𝐶 + 𝛿10 𝑇 + 𝛿10 𝜌 𝛿𝟐𝟎 = 𝛿20 𝐶 + 𝛿20 𝑇 + 𝛿20 𝜌 A variação de temperatura e o recalque de apoio são vistos como solicitações externas. Portanto, considerados no caso [0]. Coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 𝛿𝟏𝟏 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 12 𝐸𝐼 𝛿𝟐𝟏 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟐𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 10,5 𝐸𝐼 𝛿𝟏𝟐 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 10,5 𝐸𝐼 𝛿𝟐𝟐 ≈ න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝟏𝑀𝟏 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 12 𝐸𝐼 Análise de uma viga pelo método das forças: Revisão: Os coeficientes de flexibilidade não são afetados pelas solicitações externas, explicitando-se assim que estes são uma característica intrínseca do sistema principal adotado. Variações de temperatura provocam esforços internos em estruturas hiperestáticas, sendo necessário o estudo dessas solicitações no dimensionamento desse tipo de estrutura. 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Variações de temperatura provocam esforços internos em estruturas hiperestáticas, sendo necessário o estudo dessas solicitações no dimensionamento desse tipo de estrutura. 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝜹 No método das forças, trabalhamos com os resultados (termos de carga e coeficientes de flexibilidade) referentes à uma estrutura isostática auxiliar (sistema principal). Portanto, para avaliar os efeitos da variação de temperatura basta determinar os deslocamentos provocados por esta no sistema principal na direção dos hiperestáticos. Como a variação de temperatura é vista como uma solicitação externa, tal efeito é avaliado no caso [0], em que são determinados os termos de carga. Para tal, pode-se utilizar o PTV expresso por: 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: 𝛿 = 1 ത𝑃 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 ത𝑃 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑑𝑢 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑑𝜃 𝛿 = 1 ത𝑃 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑑𝑢𝑇 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑑𝜃𝑇 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: 𝛿 = 1 ത𝑃 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑑𝑢𝑇 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑑𝜃𝑇 𝛿𝑖0 𝑇 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖 𝛼 ∆𝑇𝐶𝐺 𝑑𝑥 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: 𝛿 = 1 ത𝑃 න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ𝑁𝑑𝑢𝑇 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 ഥ 𝑀𝑑𝜃𝑇 𝛿𝑖0 𝑇 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖 𝛼 ∆𝑇𝐶𝐺 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖 𝛼 ∆𝑇𝑖𝑛𝑓 − ∆𝑇𝑠𝑢𝑝 ℎ 𝑑𝑥 𝑑𝜃𝑇 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: 𝛿𝑖0 𝑇 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖 𝛼 ∆𝑇𝐶𝐺 𝑑𝑥 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖 𝛼 ∆𝑇𝑖𝑛𝑓 − ∆𝑇𝑠𝑢𝑝 ℎ 𝑑𝑥 Portanto, a contribuição da variação de temperatura para os termos de carga pede ser dada por: Observação: Referente ao caso [0] Referente ao caso [0] Referente ao caso [i] Referente ao caso [i] 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Exemplo: 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Exemplo: 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Exemplo: 𝑑𝑢𝑇 = 𝛼 ∆𝑇𝐶𝐺 𝑑𝑥 = 10−5 20+0 2 = 1 ∙ 10−4𝑑𝑥 𝑑𝜃𝑇 = 𝛼 ∆𝑇𝑖𝑛𝑓 − ∆𝑇𝑠𝑢𝑝 ℎ 𝑑𝑥 = 10−5 20 − 0 0,5 𝑑𝑥 = 4 ∙ 10−4 𝑑𝑥 [𝑚−1] 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Exemplo: Caso [1] 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Exemplo: Caso [1] 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Exemplo: Caso [1] 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Exemplo: Termo de carga Observação: Caso [0]: Caso [1]: 𝛿10 𝑇 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑑𝑢𝑇 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑑𝜃𝑇 𝑑𝑢𝑇 = 1 ∙ 10−4 𝑑𝑥 𝑑𝜃𝑇 = 4 ∙ 10−4 𝑑𝑥 [𝑚−1] 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Exemplo: Termo de carga 𝛿10 𝑇 = න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑁𝑖𝑑𝑢𝑇 + න 𝑒𝑠𝑡𝑟 𝑀𝑖𝑑𝜃𝑇 𝛿10 𝑇 = −2 ∙ 10−3 𝑟𝑎𝑑 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Exemplo: Coeficiente de flexibilidade 5 - Método das forças: 5.4 – Variação de temperatura: Exemplo: Reestabelecimento da compatibilidade Recalques de apoio provocam esforços internos em estruturas hiperestáticas, sendo necessário o estudo dessas solicitações no dimensionamento desse tipo de estrutura. 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: No método das forças, trabalhamos com os resultados (termos de carga e coeficientes de flexibilidade) referentes à uma estrutura isostática auxiliar (sistema principal). Portanto, para avaliar os efeitos dos recalques de apoio basta determinar os deslocamentos provocados por estes na direção dos hiperestáticos. Como os recalques de apoio são vistos como uma solicitação externa, tais efeitos são avaliados no caso [0], em que são determinados os termos de carga. 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: ഥ 𝑊𝐸 = ഥ𝑈 → 1 ∙ 𝛿𝑖0 + ෍ 𝑘 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑠 ത𝑅𝑘,𝑖 𝜌𝑘 = 0 ෍ ത𝐹𝐷 = ෍ ҧ𝑓𝑑 Pelo PTV, tem-se: Considerando-se apenas os efeitos dos recalques de apoio e visto que o sistema principal é uma estrutura isostática (apresentando apenas movimento de corpo rígido devido aos recalques, ou seja, os deslocamentos relativos reais “d” são nulos), tem-se: ෍ ത𝐹𝐷 = 0 Portanto, utilizando-se o MCU, para determinar os deslocamentos nas direções dos hiperestáticos, tem-se: 𝛿𝑖0 = − ෍ 𝑘 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑠 ത𝑅𝑘,𝑖 𝜌𝑘 ou seja, apenas a carga unitária na direção do hiperestático e as reações de apoio na direção dos recalques de apoio que realizam trabalho. 5 - Método das forças: Portanto, as contribuições dos recalques de apoio para os termos de carga pedem ser dadas por: Referentes ao caso [0] Referentes ao caso [i] 5.5 – Recalque de apoio: 𝛿𝑖0 𝜌 = − ෍ 𝑘 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑠 ത𝑅𝑘,𝑖 𝜌𝑘 representa a reação no apoio k que ocorre quando se considera a carga unitária na direção do hiperestático i (respectivas reações calculadas no caso [i]). ത𝑅𝑘,𝑖 𝑘 indica o apoio que ocorre cada recalque. 𝜌𝑘 representa o recalque no apoio k. 5 - Método das forças: Nada impede de, na construção do sistema principal, se suprimir a vinculação na direção do recalque de apoio, neste caso tem-se duas possibilidade: Considerar o trabalho realizado pelo hiperestático correspondente ao recalque, quando ocorre o recalque: ou, considerar a contribuição do recalque de apoio para o termo de carga como sendo nula e, no reestabelecimento da compatibilidade, igualar o deslocamento liberado ao recalque, e não a zero como é feito normalmente: Sendo: 5.5 – Recalque de apoio: 𝛿𝑖0 𝜌 = − 𝑋𝑖 𝜌𝑘 𝛿30+ 𝛿31𝑋1 + 𝛿32𝑋2 + 𝛿33𝑋3 + ⋯ + 𝛿3𝑛 𝑋𝑛 = 𝜌3 𝛿30= 𝛿30 𝐶 + 𝛿30 𝑇 + 𝛿30 𝜌 = 0 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: Exemplo: 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: Exemplo: 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: Exemplo: 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: Exemplo: Caso [1] 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: Exemplo: Caso [1] 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: Exemplo: Caso [0]: Caso [1] 𝛿𝑖0 = − ෍ 𝑘 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑠 ത𝑅𝑘,𝑖 𝜌𝑘 Termo de carga: 𝛿10 = − ത𝑉𝐴,1 𝜌𝐴 = − 1 4 −0,01 = 2,5 ∙ 10−3 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: Exemplo: Coeficiente de flexibilidade 5 - Método das forças: 5.5 – Recalque de apoio: Exemplo: Reestabelecimento da compatibilidade Itens abordados: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 1ª ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2010 Leitura essencial: Capítulo 8: Item 8.8: Análise de vigas e pórticos planos hiperestáticos submetidos à variação de temperatura Capítulo 8: Item 8.9: Análise de vigas e pórticos planos hiperestáticos submetidos a recalque de apoio Leitura sugerida: Capítulo 8: Item 8.10: Análise de viga submetida ao efeito combinado de carregamento, variação de temperatura e recalque de apoio. 41 Universidade Federal de Minas Gerais Obrigado!