Exercícios Resolvidos - Cálculo 2 2022 1

A alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x para os quais a série ∑ₙ 2⁻ⁿ(-1 - 3x/x²)ⁿ converge, é: Escolha uma opção: ○ (-1/√2, 1/3) ∪ (1/√2, ∞) ○ (1/6(1 - √13), 1/6(1 + √13)) ∪ (1, ∞) ○ (-1/2, ∞) ○ (-∞,1/4(-3 - √17)) ∪ (1/4(√17 - 3), 1/2) ∪ (1, ∞) ○ (0, ∞) ○ Nenhuma das outras Seja m ∈ [-1, 0). Encontre o intervalo de convergência da série ∑ₙ₀∞ 6⁻ⁿmⁿ(5x + 1)ⁿ, supondo que a série está bem definida para n ≥ n₀. Escolha uma opção: ○ ( -11/5 , 9/5 ] ○ [ -7/5 , 1 ) ○ [ -11/5 , 5/9 ) ○ ( -11/5 , 0 ] ○ [ -9/5 , 0 ) ○ ( -2/5 , 0 ] ○ [ -11/5 , 9/5 ] ○ ( -5/9 , 0 ) ○ [ -5/9 , 0 ) ○ [ -7/5 , 1 ] ○ [ -11/5 , 9/5 ) ○ ( -7/5 , 1 ] ○ [ -7/5 , 1 ) Questão 1 Manipulando, temos: ∑ 2−𝑛 (− 1 − 3𝑥 𝑥2 ) 𝑛 = ∑ 2−𝑛 (3𝑥 − 1 𝑥2 ) 𝑛 = ∑ 1 2𝑛 (3𝑥 − 1 𝑥2 ) 𝑛 = ∑ (3𝑥 − 1 2𝑥2 ) 𝑛 Assim, vemos que se trata de uma série geométrica do tipo ∑ 𝑟𝑛, com 𝑟 = 3𝑥−1 2𝑥2 Assim, temos que a série geométrica converge quando: −1 < 𝑟 < 1 −1 < 3𝑥 − 1 2𝑥2 < 1 −2𝑥2 < 3𝑥 − 1 < 2𝑥2 1 − 2𝑥2 < 3𝑥 < 1 + 2𝑥2 −2𝑥2 − 3𝑥 + 1 < 0 < 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 Assim, no limite, temos: {−2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 Assim, devemos ter: { 𝑥 = 3 ± √32 − 4(−2) 2(−2) 𝑥 = 3 ± √32 − 4(2) 2(2) { 𝑥 = 3 ± √9 + 8 −4 𝑥 = 3 ± √9 − 8 4 { 𝑥 = −3 ± √17 4 𝑥 = 3 ± 1 4 { 𝑥 = −3 + √17 4 , 𝑥 = −3 − √17 4 𝑥 = 1, 𝑥 = 1 2 Ordenando estes pontos em ordem crescente, temos: 𝑥 = −3 − √17 4 𝑥 = −3 + √17 4 𝑥 = 1 2 𝑥 = 1 Note que, para 𝑥 → ±∞, temos 𝑟 → 0, ou seja, há convergência nesses pontos Assim, temos que há três intervalos de convergência, de modo que a convergência se alterna entre os pontos obtidos: (−∞, −3 − √17 4 ) ∪ (−3 + √17 4 , 1 2) ∪ (1, ∞) Questão 2 Pelo teste da razão, devemos ter: lim 𝑛→∞ |𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | < 1 lim 𝑛→∞ |6−𝑛−1(𝑛 + 1)𝑚(5𝑥 + 1)𝑛+1 6−𝑛𝑛𝑚(5𝑥 + 1)𝑛 | < 1 lim 𝑛→∞ | 6−𝑛−16𝑛 (𝑛 + 1 𝑛 ) 𝑚 (5𝑥 + 1)𝑛+1 (5𝑥 + 1)𝑛 | < 1 lim 𝑛→∞ |6−1 (1 + 1 𝑛) 𝑚 (5𝑥 + 1)𝑛+1 (5𝑥 + 1)𝑛 | < 1 lim 𝑛→∞|6−1(1 + 0)𝑚(5𝑥 + 1)| < 1 lim 𝑛→∞|6−1(5𝑥 + 1)| < 1 lim 𝑛→∞ |5𝑥 + 1 6 | < 1 |5𝑥 + 1 6 | < 1 −1 < 5𝑥 + 1 6 < 1 −6 < 5𝑥 + 1 < 6 −7 < 5𝑥 < 5 − 𝟕 𝟓 < 𝒙 < 𝟏 Resposta: (− 𝟕 𝟓 , 𝟏)