Exercícios - Cálculo 2 2021-1

A alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x para os quais a série \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{\ln n} \) converge, é: Escolha uma opção: O (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (0, \infty) O (-\frac{1}{3}, 0) \cup (\frac{1}{3}, \infty) O Nenhuma das outras O (-\infty, -\sqrt{2}) O (-1, 0, \sqrt{2} \cup (0, \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)) O (-\infty, \frac{1}{2}(-1-\sqrt{5})) \cup (0, \frac{1}{2}(\sqrt{5} -1)) ✔ correta Sua resposta está correta. A resposta correta é (-\infty, \frac{1}{2}(-1-\sqrt{5})) \cup (0, \frac{1}{2}(\sqrt{5} -1)) Qual das seguintes alternativas representa o termo geral da sequência \( a_2 = \frac{1}{3}, a_3 = -\frac{9}{4}, a_4 = \frac{25}{5}, a_5 = -\frac{112}{11}, \ldots \)? Escolha uma opção: O \(a_n = (-1)^{n}\frac{(n+1)^2}{n}\) O \(a_n = (-1)^{n}\frac{2n^1+1}{2n+1})\) O \( a_n = (-1)^{n}\frac{n^n+1}{n}\) O \(a_n = (-1)^{n}\frac{(n^2+1)}{n^n+1}\) O \(a_n = \frac{2n}{2n-1}\) O Nenhuma das outras O \(a_n = (-1)^{n}\frac{3n^2+2n+2}{n}\) ✖ incorreta Sua resposta está incorreta. A resposta correta é \( a_n = (-1)^{n}\frac{(n+1)^2}{n}\) Para quais inteiros k, ambas séries \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^k+1n ln n}{n!} \) e \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\frac{k^2}{n})^n}{k!} \) convergem? As escolhas corretas valem 20% da questão, e as escolhas incorretas valem -20% da questão. Caso escolher mais respostas incorretas que corretas, a pontuação da questão será 0. Escolha uma ou mais: ☐ 0 ☐ 8 ☐ 10 ☐ -4 ☐ 6 ☐ 4 ☐ 7 ☐ 3 ☐ -2 ☐ 2 ✔ correta ✔ correta ✔ correta ✔ correta ✔ correta Sua resposta está correta. As respostas corretas são: 6, 2, 10, 4, 8 Quais das sequências abaixo convergem? As escolhas corretas valem 25% da questão, e as escolhas incorretas valem -25% da questão. Caso escolher mais respostas incorretas que corretas, a pontuação da questão será 0. Escolha uma ou mais: ☐ \( \ln(4n^2 - n^2 + 3) = \ln(n^2 + n + 1)\) ☐ \( \frac{1}{n^2+1}\) ☐ \( \cos\left(\frac{1}{n}\right)\) ☐ \( \left(1 - \frac{2}{n}\right)^{2n}\) ☐ \( \frac{e^{n+3}}{(2n+2)^{2n}}\) ✖ incorreta ✔ correta ✖ incorreta ✔ correta ✖ incorreta Sua resposta está incorreta. As respostas corretas são: \(\cos\left(\frac{1}{n}\right), \left(1 - \frac{2}{n}\right)^{2n}, \frac{e^{n+3}}{(2n+2)^{2n}}\) Indique os testes de convergência associados às seguintes séries (cada escolha correta vale 33% da questão) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 - (n-1)^3} \) Comparação com p-série ✖ \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}\) Divergência ✖ \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt \pi}\) Divergência ✖ Determine o valor ao qual converge a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(n^a - b^2)}{a^b \sqrt b^4} \) onde \( a, b > 1 \). Escolha uma opção: O \( \frac{-b}{a-1}\frac{\sqrt 6}{b-1}\) O \( \frac{(a-b^2)(a-b^{-1})-a}{(a+1)\sqrt b (\sqrt b -1)}\) O \( \frac{\sqrt 2-b}{a+1}\frac{(\sqrt b+1)}\) O Nenhuma das outras O \(\frac{b-a}{b+1}\frac{(\sqrt b-\sqrt b)}{b}\) O \(\frac{a-b}{b+1}\frac{\sqrt{b^2 -2}}{(\sqrt{b}-1)\sqrt{b}+1)}\) O \(\frac{\sqrt b-1(6-3)}{(\sqrt b+1)(\sqrt b-1)}\) ✖ incorreta Sua resposta está incorreta. A resposta correta é \( \frac{a-b}{b+1}\frac{\sqrt{b^2 -2}}{(\sqrt{b}-1)\sqrt{b}+1)}\)