Lista 15 - Derivadas Parciais - 2023-2

Lista de exercícios 15 - MAT039 Cálculo II Derivadas parciais Questão 1 Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. (a) f(x, y) = 3x − 2y4 (b) f(x, y) = xe3y (c) f(x, y) = (2x + 3y)10 (d) f(x, y) = tg (xy) (e) f(x, y) = x − y x + y (f) h(x, y, z) = x sen (y − z) (g) f(x, y) = x y z (h) F(x1, x2, . . . , xn) = √ x2 1 + x2 2 + · · · + x2 n Questão 2 Determine as derivadas parciais calculadas nos pontos indicados. (a) f(x, y) = ln (x + √ x2 + y2), fx(3, 4) (b) g(x, y, z) = y x + y + z, gy(2, 1, −1) Questão 3 Tomando f(x, y) = x2y − x3y, use a definição de derivadas parciais como limites para encontrar fx(x, y) e fy(x, y). Questão 4 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo. (a) f(x, y) = x3y5 + 2x4y (b) z = exey Questão 5 Para as funções u abaixo, verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, que uxy = uyx. (a) u = x sen (x + 2y) (b) u = xyey Questão 6 Mostre que não existe nenhuma função f(x, y) cujas derivadas parciais são fx(x, y) = x + 4y e fy(x, y) = 3x − y e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas. Questão 7 Encontre uma função f(x, y) cujas derivadas parciais são fx(x, y) = y2exy2 + 4xy e fy(x, y) = 2xyexy2 + 2x2 + 1.