Lista 18 - Derivada Direcional e Vetor Gradiente 2021-1

Lista de exercícios 18 - MAT039 Cálculo II Derivada direcional e vetor gradiente Questão 1 Para cada função a seguir, determine o gradiente de f, o gradiente no ponto P e a taxa de variação de f em P na direção do vetor ⃗u fornecido. (a) f(x, y) = 5xy2 − 4x3y, P(1, 2), ⃗u = ⟨ 5 13, 12 13⟩; (b) f(x, y, z) = xe2yz, P(3, 0, 2), ⃗u = ⟨ 2 3, − 2 3, 1 3⟩: Questão 2 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor ⃗v. a) f(x, y) = 1 + 2x√y, (3, 4), ⃗v = ⟨4, −3⟩ b) f(x, y) = ln (x2 + y2), (2, 1), ⃗v = ⟨−1, 2⟩ c) g(r, s) = tg −1(rs), (1, 2), ⃗v = 5i + 10j d) f(x, y, z) = xey + yez + zex, (0, 0, 0), ⃗v = ⟨5, 1, −2⟩ e) f(x, y, z) = √xyz, (3, 2, 6), ⃗v = ⟨−1, −2, 2⟩. Questão 3 Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ fornecido. a) f(x, y) = x2y3 − y4, (2, 1), θ = π 4 b) f(x, y) = ye−x, (0, 4), θ = 2π 3 Questão 4 Determine a derivada direcional de f(x, y) = √xy em P(2, 8) na direção de Q(5, 4). Questão 5 Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. a) f(x, y) = y2 x , (2, 4) b) f(x, y) = sen (xy), (1, 0) Questão 6 Mostre que uma função diferenciável f decresce mais rapidamente em (x, y) na direção oposta à do vetor gradiente, ou seja, na direção de −∇f(x, y). A partir daí, determine a direção na qual f(x, y) = x4y − x2y3 decresce mais rápido no ponto (2, −3). Questão 7 Determine as direções em que a derivada direcional de f(x, y) = ye−xy no ponto (0, 2) tem valor 1. Questão 8 Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 4y é i + j. Questão 9 Seja f uma função de duas variáveis que tenha derivadas parciais contínuas e considere os pontos A(1, 3), B(3, 3), C(1, 7) e D(6, 15). A derivada direcional em A na direção do vetor −→ AB é 3, e a derivada direcional em A na direção −→ AC é 26. Determine a derivada direcional de f em A na direção do vetor −−→ AD. DICA: você precisa determinar as duas componentes do gradiente no ponto A.