Lista 8 - Representações de Funções Como Séries de Potência - Càlculo Diferencial e Integral 2 - 2023-2

a . po ~ ~ po. 8° Lista de Exercicios - Representacoes de fungoes como Séries A . de Poténcia Disciplina: Calculo II CO Questao 1 Se o raio de convergéncia da série de poténcias So en” for 10, qual serdé o raio de convergéncia da série n=0 co S> NCp x” * n=1 co Questao 2 Suponha que vocé sabe que a série S> bnx” converge para |x| <2. O que vocé pode dizer da série a seguir? Por n=0 qué? Ss “2 7" n=0 n+ Questao 3 Encontre uma representagao em série de poténcias centradas em 0 para as fungées e determine o intervalo de convergéncia. (a) f(s) = (b) fe)= 35 = —— zw) = > a x = —_ 1l+2 x? () f(2)= 7 (d) f(z) = 43a, a #0 uestao a) Use a derivagado para encontrar a representagao em série de poténcias com centro 0 para tao 4 U. deri a, t taca srie d ténci tro 0 1 Oa Qual o raio de convergéncia? 1 (b) Use o item (a) para encontrar uma série de poténcias para f(x) = Gta x x2 (c) Use o item (b) para achar uma série de poténcias para f(x) = Gta) x uestao ncontre uma representacao em série de poténcias centradas em 0 para as fungdes e determine o raio de con- tao 5 Encont taca Srie d téncr trad 0 0 determi 10 di vergéencia. 3 _ x (a) f(x) =n(5~2) (0) fa) =ae Ge) o) fle) = (52) Questao 6 (a) Completando quadrado, mostre que [ dx _o8 9 e—-a4+1 33 b) Usando a fatoragéo de x? + 1 como uma soma de cubos, reescreva a integral do ttem (a). Depois expresse —4+ como g xve4+l a soma de uma série de poténcias e use-a para mostrar a seguinte formula para 7: 3BV3 a (-1)" (2 1 7 3N3 ee ee 4 “ss 8" 3sn+1 3n4+2 co ar Questao 7 Considere a série S> —. n! n=0 (a) Encontre seu raio de convergéncia. co ar (b) Defina f(x) = S> —. Mostre que f(x) = f"(2). <n! (c) Mostre que e~* f(x) é constante (Sugestao: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0). co a” (d) Mostre que e” = S> — (Sugestao: Use que f(0) = 1). n) n=0