Lista 3 P1 - Cálculo 2 2021-1

Quais das seguintes séries são condicionalmente convergentes? (As escolhas corretas valem 50% da questão, as escolhas incorretas valem -50% da questão.) Escolha uma ou mais: [] \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right) [] \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n (\ln n)^{2}} [] \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \x [] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} e^{\sqrt{n}} \left(\ln(n+1)\right)}{n+1} Sua resposta está incorreta. As respostas corretas são: \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} e^{\sqrt{n}} \left(\ln(n+1)\right)}{n+1} Em cada afirmação indique Verdadeiro ou Falso. Falso \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq 0, então a série \sum_{i=1}^{\infty} |a_{i}| = 1. Verdadeiro \x Se a série \sum a_{n} diverge, então a série \sum |a_{n}| diverge. Falso \x Se a série \sum a_{n} converge, então a série \sum \left| \frac{a_{n}}{b_{n}} \right| converge. Verdadeiro \x Se a_{n} > 0 para n \geq 1 e a série \sum a_{n} converge, então a série \sum \log(a_{n}) diverge Verdadeiro \x Se a sequência (a_{n}) é converge a 0, decrescente e positiva, então a série \sum (-1)^{n} a_{n} converge. Verdadeiro \x Se \int_{0}^{\infty} f(x) dx converge e f é contínua, positiva e decrescente, então \sum_{i=1}^{\infty} f(n) converge. (As escolhas corretas têm um valor de 1/6 do valor da questão, as escolhas incorretas têm um valor de 0 pontos.) Seja g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+4}}{2 n+2} Indique g \left( \frac{1}{2} \right) Escolha uma opção: () \cos \left( \frac{1}{2} \right) () \frac{3}{4} \cos \left( \frac{3}{2} \right) () \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{4 n} () 1 () \frac{1}{8} \sen \left( \frac{1}{4} \right) () \frac{1}{16} \sen \left( \frac{1}{2} \right) \x () \frac{18}{32} () 2 \ln \left( \frac{3}{2} \right) () \frac{3 \ln(2)}{4} Sua resposta está correta. A resposta correta é \frac{\ln(2)}{16} Seja f(x) = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n^{2} (3 n^{2}+2 n)}{n!} Achar f^{(3)}(-1) Escolha uma opção: () \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 3^{n} x^{2 n}}{n!} () \sum_{\substack{n=0}}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 3^{-2n-1} (n - 2) (n - 1) \sin(3n)}{n!} () \sum_{\substack{n=1}}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(n+2)!} (3n^{2}+2) (2n^{2}+2) +\frac{1}{6} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{3n} n (n - 1)(n + 1) \cos(2(n + 1))}{n!} () \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 3^{-2n} (n - 2) (n - 1) (3n^{2}+2n)}{n!}\x Sua resposta está correta. A resposta correta é \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 3^{-2n} (n - 2)(n - 1)(3n^{2}+2n)}{n!} Das séries de Taylor abaixo, qual é a única consistente com o gráfico de f ? (sugestão: considere as derivadas de f ) Escolha uma opção: () -8 x^{3} \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - 2\pi x^{3} \left(x - \frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{4}} + \cdots () -6\pi \left(x - \frac{1}{2}\right)^{3} + 5\pi x^{3} + 3\pi x^{3} \left(x - \frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{6}} + \cdots () 8\pi^{2} \left(x - \frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}} + 2\pi^{3} \left(x - \frac{1}{2}\right)^{4} + \cdots () -\frac{3\pi}{2} \left(x - \frac{1}{2}\right)^{4} + 2\pi^{3} + \cdots () T_{n} \left(x - \frac{1}{2}\right)^{3} - 4\pi^{3} + \cdots () -2\pi^{2} x^{3} \left(x + \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} \x () \frac{3\pi}{10}\left(x - \frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots . \varphi \left(x - \frac{1}{3}\right)^{4} e^{3\pi}\ln \left(x - \frac{1}{2}\right)\cos^{2}\theta \pi +\cdots \varphi \left(x + \frac{1}{2}\right) 4\pi^{2}\left(x - \frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} + \cdots Sua resposta está correta. A resposta correta é e^{3 \pi^{2}} \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + 2\pi^{3} \left( x - \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{4}} + \cdots Para cada série, indique um teste que seja suficiente para determinar se a série converge ou não (cada escolha correta vale 33% da questão e cada escolha incorrecta vale 0%) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \log(n+1)}{n (\log(n))} Alternada [] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!} Razão \x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{2^{n}} Comparação (As escolhas corretas têm um valor de 33% da questão, as escolhas incorretas têm um valor de 0%) Seja m \in [-1,0), Encontre o intervalo de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} 5^{-n} n^{m} (5x + 1)^{n}, supondo que a série está bem definida para n \geq n_{0} Escolha uma opção: () [-\frac{5}{6}, \frac{3}{4}) () [-2,0) () [-\frac{5}{6}, 0) () (-\infty, \infty) () [-\frac{5}{6}, \frac{3}{4}] () [-\infty, \infty) \x () (-\frac{5}{8}, \frac{5}{8}) \x () \frac{3\pi}{10}\left(x - \frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots\x Sua resposta está parcialmente correta. A resposta correta é (-\frac{5}{8}, \frac{3}{4})