Lista 17 - Regra da Cadeia e Derivação Implícita - 2023-2

Lista de exercícios 17 - MAT039 Cálculo II Regra da cadeia e derivação implícita Questão 1 Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt. (a) z = x2y + xy2, x = 2 + t4, y = 1 − t3 (b) z = sen x cos y, x = πt, y = √ t (c) w = x ey/z, x = t2, y = 1 − t, z = 1 + 2t. Questão 2 Considere z = xy2 + e2x, com x = ln t e y = 1 + t2. (a) Explicite z em termos de t (b) Obtenha dz/dt derivando a expressão obtida. (c) Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt e compare com o resultado do item anterior. Questão 3 Use a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s e ∂z/∂t. z = er cos θ, r = st, θ = √ s2 + t2. Questão 4 Utilize um diagrama em árvore para escrever ∂w/∂x e ∂w/∂y fornecidos pela Regra da Cadeia no caso em que w = f(r, s, t), com r = r(x, y), s = s(x, y) e t = t(x, y). Questão 5 Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂u, ∂z/∂v e ∂z/∂w quando u = 2, v = 1 e w = 0 no caso em que z = x2 + xy3, x = uv2 + w3, y = u + v ew. Questão 6 Usando derivação implícita, determine dy/dx quando √xy = 1 + x2y. Questão 7 Usando derivação implícita, determine ∂z/∂x e ∂z/∂y quando x2 + y2 + z2 = 3xyz. Questão 8 Se z = f(x − y), mostre que ∂z ∂x + ∂z ∂y = 0. Questão 9 Se z = f(x, y), onde x = r cos θ e y = r sen θ. (a) Determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ. (b) Mostre que (∂z ∂x )2 + (∂z ∂y )2 = (∂z ∂r )2 + 1 r2 (∂z ∂θ )2 .