Lista 16 - Plano Tangente Aproximação Linear e Diferenciais - 2023-2

Lista de exercícios 16 - MAT039 Cálculo II Plano tangente, aproximação linear e diferenciais Questão 1 Verifique que o ponto especificado realmente faz parte da superfície cuja equação está sendo dada e determine uma equação para o plano tangente naquele ponto. (a) z = 4x2 − y2 + 2y, ponto (−1, 2, 4) (b) z = y ln x, ponto (e3, 2, 6) (c) z = y cos(x − y), ponto (2, 2, 2) Questão 2 Obtenha equações para os planos tangentes à superfície z = 2x2 + xy2 nos pontos A = (1, 1, 3) e B = (−1, 2, −2). Questão 3 Verifique a validade das seguintes aproximações lineares no ponto (0, 0). (a) 2x + 3 4y + 1 ≈ 3 + 2x − 12y (b) y + cos2 x ≈ 1 + y Questão 4 Determine a aproximação linear da função f(x, y) = √ 20 − x2 − 7y2 no ponto (2, 1) e use-a para encontrar valores aproximados para f(1.95 , 1.08). Usando uma calculadora, obtenha também o valor exato para f(1.95 , 1.08). Questão 5 Determine a aproximação linear da função f(x, y, z) = √ x2 + y2 + z2 no ponto (3, 2, 6) e use-a para encontrar valores aproximados para √ (3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2. Usando uma calcula- dora, obtenha também o valor exato Questão 6 Explique porque a função é diferenciável no ponto indicado e encontre a linearização L(x, y) naquele ponto. (a) f(x, y) = x3y4, ponto (1, 4) (b) f(x, y) = e−xy cos y, ponto (π, 0) Questão 7 Determine a diferencial total das funções abaixo. (a) z(x, y) = x3 ln(y2) (b) w(x, y, z) = x 1 + xyz Questão 8 Se z = 5x2+y2 e (x, y) varia de (3, −1) para (2.96, −0.95), obtenha e compare os valores de ∆z e dz. Questão 9 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respec- tivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0.1 cm. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área desse retângulo.