Lista 1 - 2024-1

MeCsol - Lista 01 1/4 2024 sem 01 Questao 1 a 5 Para os sistemas discretos indicados determine: (a) Distensao ou compressao das molas Di; (b) Forcas internas nas molas fi ou momentos internos m_i. Expresse os resultados em funcao de ki, carregamento e comprimentos indicados. (1) P Kθ 1 2 A ← barra rigida. ki ξ k2ξ ___a___a___a___ _P (2) ___1___2___3___ ← barra rigida k1 k2 k3 ____a_____a_____ P 3 Determine a relacao entre ki, k2 e k3 da questao 2 para que a barra rigida permaneça na horizontal. (4) 1 A 2 ki Kθ . . _k2 . ___aa_a_a____ ←a a a→ P (5) 1 A ε P Kθ yε . . _k2 . _kε ___aa_a_a____ MeCsol - Lista 01 2/4 2024 sem 02 6) Para as componentes de tensao representadas nas figuras: ia) Escreva o tensor tensao em notacao matricial. iib) Determine as componentes de tensao no sistema x',y',z' indicado. ii.1) Represente em forma matricial. ii.2) Represente as componentes nas faces de um cubo (elemento do continuumn) nos eixos x', y' e z'. 190MPa 120MPa 100MPa a) 80MPa x y z idem anterior x';y';z' giro de 30° sentido anti-horario, em torno de y. . x';y';z' girado de 30° sentido anti-horario, em torno de z. Idem anterior d) (i) Para o caso (a) verifique se os valores das componentes r_xx = r_xx? r_xz = r_x3? r_33 = r_33.1 e r_3 = r_x3? O mesmo ocorre para os casos (b), e (c)? 50MPa 190MPa x\y 100MPa 80MPa 120MPa x' e y' 30° em torno de y, no sentido anti- horario x,y,z,c,z' giro de 30° MeCsol - Lista 02 (continua) 3/4 2023 Sem 02 7) Mostre que: [ Txx τxy 0 Vyx σyy 0 0 0 σ33 ] para [L] = [ c s 0 -s c 0 0 0 1 ] [ Tx'x' Tx'y' 0 Ty'x' Ty'y' ] [ c s -s c ] T33'σ33. onde, c = cos(β) e s = sen(θ) sugesto: utilize [σ'] = [L][σ][L]T x' y' x 8) Mostre que Txy != Txz e Ty'3' != Tyz [ Txx τxy τxz Vyx σyy τyz Vzx τzy σ33 ] demas matrices iguais ao Prob. 2 Para os tensors de tensão a seguir, determine: a) Componentes principais de tensão; b) Cossenos diretores dos planos principais e c) Maxima componente de cisalhamento em 3D. 9) [σ] = [ 70 100 0 100 -80 0 0 0 80 ] MPa. (use det[σ-λI]=0) 10) [σ] = [ -100 20 3.0 20 120 -40 3.0 -40 80 ] MPa END [L'] = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix} \Rightarrow L = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix} [\bar{\sigma}'] = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & 0 & \sigma_{xz} \\ 0 & \sigma_{yy} & 0 \\ \sigma_{zx} & 0 & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix} \sigma_{x'x'} = (c \sigma_{xx} - s \sigma_{zx}) c - (c \sigma_{xz} - s \sigma_{zz}) s \sigma_{x'z'} = c^2 \sigma_{xx} - cs \sigma_{zx} + o \sigma_{xz} + s^2 \sigma_{zz} \cos 2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} \quad \sin 2 \theta = \frac{1 - \cos 2 \theta}{2} \quad 2 \cos \theta \sin \theta = \sin 2 \theta \sigma_{x'x'} = \frac{(1 + \cos 2 \theta)}{2} \sigma_{xx} + \frac{(1 - \cos 2 \theta)}{2} \sigma_{zz} - \sin 2 \theta \sigma_{zx} \sigma_{x'z'} = \frac{\sigma_{zz} + \sigma_{xx}}{2} - \frac{(\sigma_{zz} - \sigma_{xx})}{2} \cos 2 \theta - \sin 2 \theta \sigma_{zx} \sigma_{z'z'} = \frac{\sigma_{zz} + \sigma_{xx}}{2} + \frac{(\sigma_{zz} - \sigma_{xx})}{2} \cos 2 \theta + \sin 2 \theta \sigma_{zx} Para usar nas questões 1(a) e 1(c).