Flexao Normal Simples em Vigas - Calculo e Dimensionamento

EES150 Concreto Armado I Vigas Flexão Normal Simples Prof Leandro Lopes da Silva leandrodeesufmgbr Universidade Federal de Minas Gerais UFMG Departamento de Engenharia de Estruturas DEEs Versão 01 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento Em relação às Solicitações Normais elementos estruturais do tipo laje e viga são submetidos preponderantemente ao esforço solicitante do tipo momento fletor agindo em relação a um dos eixos principais de inércia da seção ou seja submetidos à flexão normal simples Em estruturas convencionais as vigas têm em sua maioria seção retangular ao passo que a título de dimensionamento as lajes podem ser interpretadas como compostas por faixas de seção retangular normalmente de largura unitária nas duas direções do plano que as define Desta forma particularizase aqui a discussão sobre Solicitações Normais para o caso de Flexão Normal Simples em Seção Retangular O objetivo é formular um equacionamento para acelerar o processo de cálculo da armadura longitudinal de lajes e vigas bem como de outros elementos estruturais sob condições de solicitação semelhantes O equacionamento apresentado é atribuído ao Prof José de Miranda Tepedino Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento Na flexão simples a linha neutra corta a seção transversal ou seja temse a seção parcialmente comprimida logo dos 5 domínios de deformação têm se como possíveis os domínios 2 3 e 4 x 0 b h encurtamento alongamento εcu εc2 εsu 10 d 𝐴𝑠 𝐴𝑠 εyd CG da seção bruta reta a A 1 2 B 3 4 4a reta b C 5 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐2 𝜀𝑐𝑢 h Domínios 2 e 3 εyd εs εsu σs fyd Seção subarmada Limite domínios 34 εs εyd σs fyd Seção normalmente armada Domínio 4 εs εyd σs fyd Seção superarmada Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento Não há inconveniente técnico na superarmação no entanto a superarmação é antieconômica pelo mau aproveitamento da capacidade resistente do aço Por essa razão sempre que possível devemse projetar seções subarmadas ou normalmente armadas sendo a superarmada desaconselhável pela NBR 61182023 Além disso a NBR 61182023 prescreve A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto menor é xd tanto maior será essa capacidade Visando proporcionar o adequado comportamento dúctil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites xd 045 para concretos C20 a C50 Grupo I xd 035 para concretos C55 a C90 Grupo II Em ambos os casos x2Ld xdL x3Ld ou seja o limite para a linha neutra está contido no domínio 3 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento alongamento encurtamento CG CG Md As Rsd As σs fc αc ηc fcd Rcc fc b y ys εc εcu εs Md Σ MAs 0 Md Rcc d y2 Rsd d d 0 Md fc b y d y2 As σsd d d 1 ΣFH 0 Rst Rcc Rsd 0 As fyd fc b y As σsd 2 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento Adimensionando a Eq 1 dividindoa por fc b d2 obtémse Md fc b d2 fc b y d y2 fc b d2 As σsd d d fc b d2 K K As σsd fc b d 1 dd 3 em que K Md fc b d2 4 parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor externo solicitante de cálculo K α 1 α2 5 parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor interno resistente de cálculo devido ao concreto comprimido sendo α yd λxd λξ 6 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento A Eq 5 pode ser reescrita de modo a explicitar α em termos de K isto é α²2 α K 0 α 1 1 2K x α 1 1 2K 7 Isolandose As na Eq 3 obtémse a expressão para o cálculo da armadura comprimida As fc b d σsd K K 1 dd 8 Multiplicando e dividindo a Eq 8 por fyd temse As fc b d fyd K K 1 dd 1 φ 9 em que φ σsd fyd 1 10 é o nível de tensão na armadura comprimida Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento Isolandose As na Eq 2 obtémse a expressão para o cálculo da armadura tracionada As fc b y fyd As σsd fyd 11 Multiplicando e dividindo o primeiro termo do lado direito da Eq 11 por d As fc b d fydα As φ 12 As As1 As2 13 As1 fc b d fyd 1 1 2K 14 As2 fc b d fyd K K 1 dd 15 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento Com as Eqs 13 14 e 15 calculase a armadura tracionada As e caso a parcela As2 seja diferente de zero calculase a armadura comprimida As As As2 φ 16 A armadura de compressão As somente será necessária quando o momento fletor externo solicitante de cálculo Md ou K implicar numa profundidade para a linha neutra superior aos limites prescritos na norma ξL 045 Grupo I ξL 035 Grupo II no caso de não considerála Se esses limites não forem ultrapassados Md será equilibrado pelo concreto comprimido isto é K K Podese então a partir desses limites e por meio da Eq 5 determinar o máximo momento fletor externo solicitante de cálculo MdL ou KL em que não se necessita de armadura de compressão As KL KL αL 1 αL 2 em que αL ydL λx dL λξL Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento Logo fazse se K KL K K nas Eqs 14 e 15 se K KL K KL nas Eqs 14 e 15 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento Nível de tensão φ na armadura comprimida A s No cálculo da armadura comprimida A s Eq 16 temse o nível de tensão φ Em geral φ 1 isto é φ σ sd fyd 1 σ sd fyd A tensão na armadura comprimida σ sd depende da deformação ε s se ε s εyd σ sd fyd φ 1 se ε s εyd σ sd Es ε s fyd φ 1 A deformação ε s por sua vez depende da profundidade da linha neutra x ou ξ xd Na condição de armadura dupla ou seja em que A s 0 essa profundidade é imposta logo previamente conhecida ξL xdL Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento Nível de tensão φ na armadura comprimida As Por tanto alongamento encurtamento εc εcu domínio 3 Fazendose εs εyd na Eq 17 obtémse uma relação dd abaixo da qual se tem φ 1 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular Equacionamento Nível de tensão φ na armadura comprimida As dd xdL 1 εydεcu 18 Por tanto com os valores de d d o tipo de aço e a classe do concreto podese estabelecer limites para a relação dd ou dd para se ter φ 1 CLASSE εcu CA 25 εyd 1035 CA 50 εyd 2070 CA 60 εyd 2484 dd dd dd dd dd dd Até C50 3500 0317 3155 0184 5439 0131 7655 C55 3125 0234 4272 0118 8460 0072 13929 C60 2884 0224 4456 0099 10123 0049 20600 C65 2737 0218 4595 0085 11724 0032 30909 C70 2656 0214 4681 0077 12950 0023 44120 C75 2618 0212 4725 0073 13650 0018 55820 C80 2604 0211 4742 0072 13933 0016 62000 C85 2600 0211 4747 0071 14016 0016 64039 C90 2600 0211 4747 0071 14016 0016 64039 Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas i Armadura longitudinal mínima de tração Conforme o item 17351 da NBR 61182023 A ruptura frágil das seções transversais quando da formação da primeira fissura deve ser evitada considerandose para o cálculo das armaduras um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples supondo que a resistência à tração do concreto seja dada por fctksup devendo também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras Ou seja a armadura mínima de tração Asmin deve ser determinada pelo dimensionamento da seção transversal a um momento fletor mínimo Mdmin Este momento mínimo é definido como sendo aquele que produz na fibra mais tracionada da seção bruta de concreto uma tensão igual ao fctksup ou seja à resistência característica superior do concreto à tração observado o regime não linear em tração isto é Mdmin 0 8 W0 fctksup 19 Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas i Armadura longitudinal mínima de tração Em que W0 Ic yt é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais tracionada Em seções retangulares W0 bh2 6 fctksup 1 3fctm 0 39 fck23 MPa Grupo I 2 756 ln 1 0 11fck MPa Grupo II 20 sendo fctm a resistência média à tração do concreto Além do Asmin determinado pelo Mdmin devese respeitar um mínimo ab soluto de 0 150 da área bruta de concreto Ac isto é Asmin 0 150Ac Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas i Armadura longitudinal mínima de tração É de se esperar que o dimensionamento para o momento fletor mínimo Mdmin conduza a um valor Kmin Mdmin fc b d2 08 W0 fctksup fc b d2 KL 21 isto é seção transversal com armadura simples dada por As Asmin sendo K Kmin Introduzindose as definições de fc e de W0 para seções retangulares na Eq 21 bem como multiplicando e dividindo o denominador por h2 temse Kmin 08 fctksup bh2 6 αcηcfckγc b dh2 h2 08 γc 6 αcηc dh2 fctksup fck 22 A partir da definição de γc αc ηc dh e fck temse Kmin completamente definido por meio da Eq 22 Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas i Armadura longitudinal mínima de tração Da Eq 14 multiplicando e dividindo o numerador por h fazendo K Kmin e observando a Eq 13 e que As2 0 temse Asmin fracalphac etac fcd cdot b cdot dh cdot hfyd left 1sqrt12Kmin right alphac etac cdot dh left 1 sqrt12Kmin right fracAc cdot fcdfyd herefore omegamin fracAsmin fydAc fracfydfcd rhomin fracfydfcd alphac etac cdot dh left 1 sqrt12Kmin right herefore rhomin fracAsminAc alphac etac cdot dh left 1 sqrt12Kmin right fracfcdfyd 23 em que omegamin e rhomin são respectivamente as taxas mecânica e geométrica de armadura mínima Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas i Armadura longitudinal mínima de tração A partir das Eqs 22 e 23 podese construir tabelas com as quais se obtêm valores de Asmin para diferentes combinações de seção retangular aço concreto dh γc γs Para o caso de γc 1 4 e γs 1 15 temse Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas i Armadura longitudinal mínima de tração A partir das Eqs 22 e 23 podese construir tabelas com as quais se obtêm valores de Asmin para diferentes combinações de seção retangular aço concreto dh γc γs Para o caso de γc 1 4 e γs 1 15 temse Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas ii Armadura de pele Em vigas com altura superior à 60 cm é obrigatória a utilização de armadura de pele lateral ou de costela A mínima armadura de pele deve ser 0 10Ac em cada face da viga com espaçamento não maior que 20 cm ou d3 Em regiões tracionadas para controle de fissuração o espaçamento das barras da armadura de pele deve ser menor ou igual a 15 ϕl As armaduras principais de tração As e de compressão A s não podem ser computadas no cálculo da armadura de pele b h 60 cm ϕl As As Aspele Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas iii Armadura total na seção transversal tração e compressão Conforme o item 17351 da NBR 61182023 A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessi dade de se assegurar condições de ductilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto açoconcreto A soma das armaduras de tração As e de compressão A s não deve ser maior que 4 da área bruta do concreto Ac calculada fora da zona de emen das isto é As A s 4Ac iv Dimensões limites Conforme o item 1321 da NBR 61182023 A prescrição de valoreslimites mínimos para as dimensões de elementos estruturais de concreto tem como objetivo evitar um desempenho inaceitável para os elementos estruturais e propiciar condições de execução adequadas A seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor que 12 cm Este limite pode ser reduzido respeitandose um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas v Distribuição transversal das armaduras longitudinais O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais medido no plano da seção transversal deve ser igual ou superior ao maior dentre os seguintes valores na direção horizontal ah 20 mm diâmetro da barra do feixe ou da luva 12 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo na direção vertical av 20 mm diâmetro da barra do feixe ou da luva 05 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas v Distribuição transversal das armaduras longitudinais b h ϕl ϕt c bútil av ah bútil b 2 c ϕt em que c cobrimento nominal da armadura ϕt diâmetro da armadura transversal Número máximo de barras por camada nϕcam nϕcam ϕl ah ah bútil nϕcam bútil ah ϕl ah Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas Vigas Flexão Normal Simples Prescrições Normativas Vigas Concreto Armado bw c 3 cm Øt ØL Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 1 Para a viga ilustrada abaixo pedese dimensionar a armadura longitudinal Considerar seção retangular de b 16 cm de largura por h 55 cm de altura altura útil d 49 cm e uma sobrecarga de 28 kNm em toda a viga p g q g 280 kNm 400 cm 16 cm 55 cm Dados Obra em área rural CAA I CA50 γConcreto Armado 25 kNm3 d d 6 cm d 55 6 49 cm γf 14 γc 14 γs 115 g carga permanente q carga acidental fck 20 MPa c 25 mm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 1 i Definição do carregamento p g q g 28 0 kNm 0 16 0 55 25 0 28 0 30 2 kNm ii Análise estrutural p 302 kNm 40 m Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 1 i Definição do carregamento p g q g 28 0 kNm 0 16 0 55 25 0 28 0 30 2 kNm ii Análise estrutural M p 302 kNm 40 m Mmáx pl2 8 30 2 42 8 60 4 kNm 6040 0 kNcm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 1 iii Valores de cálculo fc alphac cdot etac cdot fcd alphac cdot etac cdot fracfckgammac 085 imes 10 imes frac2014 1214 kNcm2 fyd fracfykgammas frac50115 4348 kNcm2 Md gammaf cdot Mmáx 14 imes 60400 84560 kNcm iv Cálculo da armadura K fracMdfc cdot b cdot d2 frac845601214 imes 16 imes 492 approx 0181 KL 0295 herefore K K armadura simples As As1 cancelto0As2 fracfc cdot b cdot dfyd left 1 sqrt1 2K right frac1214 imes 16 imes 494348 left 1 sqrt1 2 imes 0181 right 4405 cm2 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 1 v Verificação da armadura longitudinal mínima de tração dh 49 55 0 90 ρmin 0 150 Asmin 0 150 16 55 1 320 cm2 As 4 405 cm2 vi Detalhamento Número de barras nϕ AsAsϕ arredondado para cima ϕ 6 3 mm 15 ϕ Asreal 4 676 cm2 ϕ 8 0 mm 9 ϕ Asreal 4 524 cm2 ϕ 10 0 mm 6 ϕ Asreal 4 712 cm2 ϕ 12 5 mm 4 ϕ Asreal 4 909 cm2 ϕ 16 0 mm 3 ϕ Asreal 6 032 cm2 ϕ 20 0 mm 2 ϕ Asreal 6 283 cm2 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 1 v Verificação da armadura longitudinal mínima de tração dh 49 55 0 90 ρmin 0 150 Asmin 0 150 16 55 1 320 cm2 As 4 405 cm2 vi Detalhamento Número de barras nϕ AsAsϕ arredondado para cima ϕ 6 3 mm 15 ϕ Asreal 4 676 cm2 ϕ 8 0 mm 9 ϕ Asreal 4 524 cm2 ϕ 10 0 mm 6 ϕ Asreal 4 712 cm2 ϕ 12 5 mm 4 ϕ Asreal 4 909 cm2 ϕ 16 0 mm 3 ϕ Asreal 6 032 cm2 ϕ 20 0 mm 2 ϕ Asreal 6 283 cm2 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 1 vi1 Detalhamento transversal supondo ϕt 6 3 mm bútil b 2 c ϕt 16 2 2 5 0 63 9 74 cm nϕcam bútil ah ϕl ah 9 74 2 0 1 0 2 0 3 9 nϕcam 3 2 63 mm montagem 6 100 mm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 1 vi11 Verificação do dReal supondo ϕt 6 3 mm d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 2 5 0 63 1 02 3 63 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 2 50 631 021 02 6 63 cm d Real 3Aϕ10d 1 3Aϕ10d 2 6Aϕ10 3 3 63 3 6 63 6 5 13 cm dReal h d Real 55 5 13 49 87 cm d Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 1 vi12 Posição da linha neutra alpha fracyd fraclambda xd 1 sqrt1 2K herefore x fracdlambda left 1 sqrt1 2K right frac4908 left 1 sqrt1 2 imes 0181 right approx 123 cm x 123 cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 1 vi2 Detalhamento longitudinal esboço 2 63 mm montagem 6 100 mm N1 6 100 mm C XXX cm N2 2 63 mm C YYY cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 2 Para a seção transversal ilustrada abaixo submetida a um momento fletor M 73 85 kNm pedese determinar a altura útil mínima dL de modo a se adotar somente armadura simples A s 0 e calcular a armadura 25 cm dL Dados Obra em área rural CAA I CA50 d 6 cm γf 14 γc 14 γs 115 fck 20 MPa c 25 mm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 2 i Valores de cálculo fc αc ηc fcd αc ηc fckγc 085 10 2014 1214 kNcm² fyd fykγs 50115 4348 kNcm² Md γf Mmáx 14 73850 103390 kNcm ii Cálculo da altura útil mínima dL para se ter As 0 As 0 K KL logo da Eq 4 K Md fc b d² KL d Md fc b KL dL Md fc b KL dL 103390 1214 25 0295 34 cm h d d 34 6 40 cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 2 iii Cálculo da armadura K KL K K KL 0295 As As1 As2⁰ fc b d fyd1 1 2K 1214 25 34 43481 1 2 0295 8536 cm² iv Verificação da armadura longitudinal mínima de tração dh 3440 085 ρmin 0150 Asmin 0150 25 40 1500 cm² As 8536 cm² v Detalhamento 11 ϕ 100 mm Asreal 8639 cm² nϕcam 6 7 ϕ 125 mm Asreal 8590 cm² nϕcam 6 5 ϕ 160 mm Asreal 10053 cm² nϕcam 5 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 2 iii Cálculo da armadura K KL K K KL 0295 As As1 As2⁰ fc b d fyd1 1 2K 1214 25 34 43481 1 2 0295 8536 cm² iv Verificação da armadura longitudinal mínima de tração dh 3440 085 ρmin 0150 Asmin 0150 25 40 1500 cm² As 8536 cm² v Detalhamento 11 ϕ 100 mm Asreal 8639 cm² nϕcam 6 7 ϕ 125 mm Asreal 8590 cm² nϕcam 6 5 ϕ 160 mm Asreal 10053 cm² nϕcam 5 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 2 v1 Detalhamento transversal supondo ϕt 6 3 mm 2 63 mm montagem 7 125 mm x 045d 153 cm d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 2 5 0 63 1 252 3 755 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 2 5 0 63 1 25 2 1 252 7 005 cm d Real 6Aϕ125d 1 1Aϕ125d 2 7Aϕ125 6 3 755 1 7 005 7 4 22 cm dReal h d Real 40 4 22 35 78 cm d Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 Para a viga ilustrada abaixo pedese dimensionar a armadura longitudinal Considerar seção retangular de b 15 cm de largura por h 60 cm de altura e que o carregamento apresentado já considera o peso próprio 400 kNm 600 cm 600 cm 15 cm 60 cm Dados Obra em área urbana CAA II CA50 d d 6 cm d 60 6 54 cm γf 14 γc 14 γs 115 fck 25 MPa c 30 mm 125 kNm 125 kNm 120 cm 120 cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 i Análise estrutural 600 cm 600 cm 10725 kN 10725 kN 29550 kN 120 cm 120 cm 125 kNm 125 kNm 400 kNm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 i Análise estrutural 600 cm 600 cm 10725 kN 10725 kN 29550 kN 120 cm 120 cm 125 kNm 125 kNm 400 kNm M kNm 17550 97376 97376 900 900 A B C D E F G Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 ii Valores de cálculo fc αc ηc fcd αc ηc fck γc 0 85 1 0 2 5 1 4 1 518 kNcm2 fyd fyk γs 50 1 15 43 48 kNcm2 M B d γf M B 1 4 900 1260 00 kNcm M D d γf M D 1 4 900 1260 00 kNcm M B d M C d γf M C 1 4 17550 24570 00 kNcm M F d γf M F 1 4 9737 6 13632 64 kNcm M G d γf M G 1 4 9737 6 13632 64 kNcm M F d Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iii Cálculo das armaduras Obs Armadura longitudinal mínima de tração dh 5460 090 ρmin 0150 Asmin 0150 15 60 1350 cm² Momento negativo em B e D Md 1260 0 kNcm K Md fc b d² 1260 0 1518 15 54² 0019 KL 0295 K K armadura simples As As1 As2⁰ fc b d fyd 1 1 2K 1518 15 54 4348 1 1 2 0019 0543 cm² Asmin Logo As Asmin 1350 cm² Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iii Cálculo das armaduras 5 ϕ 63 mm Asreal 1559 cm² nϕcam 3 3 ϕ 80 mm Asreal 1508 cm² nϕcam 3 2 ϕ 100 mm Asreal 1571 cm² nϕcam 3 Supondo ϕt 63 mm dReal c ϕt ϕl 2 3 063 08 2 403 cm dReal h dReal 60 403 5597 cm d x d λ1 1 2K 54 081 1 2 0019 13 cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iii Cálculo das armaduras Momento negativo em C Md 24570 0 kNcm K Md fc b d² 24570 0 1518 15 54² 0370 KL 0295 K KL armadura dupla As As1 As2 As1 fc b d fyd 1 1 2K 1518 15 54 4348 1 1 2 0295 10172 cm² As2 fc b d fyd K K 1 dd 1518 15 54 4348 0370 0295 1 6 54 2386 cm² As 10172 2386 12558 cm² Asmin Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iii Cálculo das armaduras 11 ϕ 12 5 mm Asreal 13 499 cm2 nϕcam 2 7 ϕ 16 0 mm Asreal 14 074 cm2 nϕcam 2 4 ϕ 20 0 mm Asreal 12 566 cm2 nϕcam 2 3 ϕ 25 0 mm Asreal 14 726 cm2 nϕcam 2 d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 3 0 63 22 4 63 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 3 0 63 2 2 22 8 63 cm d Real 2Aϕ20d 1 2Aϕ20d 2 4Aϕ20 2 4 63 2 8 63 4 6 63 cm dReal h d Real 60 6 63 53 37 cm d X recalcular Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iii Cálculo das armaduras Recalculando com d 53 37 cm K 24570 0 1 518 15 53 37² 0 379 KL 0 295 K KL armadura dupla As As1 As2 As1 1 518 15 53 37 43 48 1 1 2 0 295 10 053 cm² As2 1 518 15 53 37 43 48 0 379 0 295 1 6 53 37 2 645 cm² As As1 As2 10 053 2 645 12 698 cm² 4 ϕ 20 mm X trocar detalhamento 7 ϕ 16 0 mm Asreal 14 074 cm² nϕcam 2 5 ϕ 20 0 mm Asreal 15 708 cm² nϕcam 2 3 ϕ 25 0 mm Asreal 14 726 cm² nϕcam 2 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iii Cálculo das armaduras d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 3 0 63 2 52 4 88 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 30 632 52 52 52 9 88 cm d Real 2Aϕ25d 1 1Aϕ25d 2 3Aϕ25 2 4 88 1 9 88 3 6 55 cm dReal h d Real 60 6 55 53 45 cm d 53 37 cm Sendo K KL A s 0 logo d d 6 53 37 0 112 0 184 φ 1 A s As2 φ 2 645 1 2 645 cm2 6 ϕ 8 0 mm A sreal 3 016 cm2 nϕcam 3 4 ϕ 10 0 mm A sreal 3 142 cm2 nϕcam 3 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iii Cálculo das armaduras Obs Armadura total na seção transversal As A s 14 726 3 016 17 742 cm2 4 15 60 36 cm2 6 80 mm 3 250 mm x 240 cm d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 3 0 63 0 82 4 03 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 3 0 63 0 8 2 0 82 6 83 cm d Real 3Aϕ80d 1 3Aϕ80d 2 6Aϕ80 3 4 03 3 6 83 6 5 43 cm d Real 5 43 cm d 6 cm x 0 45d 0 45 53 37 24 0 cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iii Cálculo das armaduras Momento positivo em F e G Md 13632 64 kNcm K Md fc b d² 13632 64 1 518 15 54² 0 205 KL 0 295 K K armadura simples As As1 As2⁰ fc b d fyd 1 1 2K 1 518 15 54 43 48 1 1 2 0 205 6 558 cm² Asmin 9 ϕ 10 0 mm Asreal 7 069 cm² nϕcam 3 6 ϕ 12 5 mm Asreal 7 363 cm² nϕcam 2 4 ϕ 16 0 mm Asreal 8 042 cm² nϕcam 2 3 ϕ 20 0 mm Asreal 9 425 cm² nϕcam 2 2 ϕ 25 0 mm Asreal 9 817 cm² nϕcam 2 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iii Cálculo das armaduras 2 63 mm montagem 4 160 mm x 158 cm d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 3 0 63 1 62 4 43 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 3 0 63 1 6 2 1 62 8 03 cm d Real 2Aϕ160d 1 2Aϕ160d 2 4Aϕ160 2 4 43 2 8 03 4 6 23 cm dReal h d Real 60 6 23 53 77 cm d X recalcular Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iii Cálculo das armaduras Recalculando com d 53 77 cm K Mdfc b d² 13632 64 1 518 15 53 77² 0 207 KL 0 295 K K armadura simples As As1 As2⁰ fc b d fyd 1 1 2K 1 518 15 53 77 43 48 1 1 2 0 207 6 603 cm² 4 ϕ 16 0 mm detalhamento atende x dλ 1 1 2K 53 77 0 8 1 1 2 0 207 15 8 cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 3 iv Detalhamento longitudinal esboço 2 63 mm montagem 2 63 mm montagem 3 80 mm 3 80 mm 6 80 mm 3 250 mm 2 63 mm montagem 2 63 mm montagem 4 160 mm 4 160 mm N1 3 80 mm C AAA cm N1 N2 2 63 mm C BBB cm N2 N3 3 250 mm C CCC cm N4 6 80 mm C DDD cm N5 4 160 mm C EEE cm N5 N6 2 63 mm C FFF cm N6 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento As vigas de concreto armado são normalmente construídas solidárias às lajes que nelas se apoiam tal que em trabalho se deformam conjuntamente Se a região comprimida da seção transversal da viga for a contígua às lajes parte das lajes mesa colaborante contribuirá para a resistência da viga aumentando a área de concreto comprimida P1 P2 P3 P4 P5 P6 L1 L2 V1 a b V2 a b V3 V4 V5 PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento As vigas de concreto armado são normalmente construídas solidárias às lajes que nelas se apoiam tal que em trabalho se deformam conjuntamente Se a região comprimida da seção transversal da viga for a contígua às lajes parte das lajes mesa colaborante contribuirá para a resistência da viga aumentando a área de concreto comprimida M V4 M V1 LN LN LN LN Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento Σ MAs 0 Md Rcc1 d y2 Rcc2 d hf 2 Rsd d d 0 Md fc bw y d y 2 fc bf bw hf d hf 2 As σsd d d 24 Σ FH 0 Rst Rcc1 Rcc2 Rsd 0 As fyd fc bw y fc bf bw hf As σsd 25 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento Adimensionando a Eq 24 dividindoa por fc bw d2 obtémse Md fc bw d2 fc bw y d y 2 fc bw d2 fc bf bw hf d hf 2 fc bw d2 As σsd d d fc bw d2 26 Passando o segundo termo do lado direito da Eq 26 para o lado esquerdo observandose ainda a definição de φ dada na Eq 10 temse Md fc bw d2 bf bw 1 hf d 1 hf 2d y d 1 y 2d As φ fyd fc bw d 1 d d K K As φ fyd fc bw d 1 d d 27 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento Em que devese observar no equacionamento de seção T ou L K Md fc bw d2 bf bw 1 hf d 1 hf 2d 28 é parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor externo solicitante de cálculo remanescente a ser resistido pela alma da seção isto é pela viga propriamente dita uma vez que subtrai do momento externo a parcela resistida pelas abas da mesa Já o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor interno resistente de cálculo devido ao concreto comprimido K referese à região de concreto comprimida na alma na viga propriamente dita tal como no equacionamento de seção retangular isto é K α 1 α2 5 revisitada sendo aqui também α yd λxd λξ 6 revisitada Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento Analogamente ao equacionamento de seção retangular da Eq 5 α²2 α K 0 α 1 1 2K α 1 1 2K 7 revisitada Isolandose As na Eq 27 obtémse a expressão para o cálculo da armadura comprimida As fc bw d fyd K K 1 dd 1φ 29 O nível de tensão na armadura comprimida φ σsd fyd 1 10 revisitada é definido tal como no equacionamento de seção retangular sendo pois os mesmos limites para dd abaixo dos quais se tem φ 1 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento Isolandose As na Eq 25 obtémse a expressão para o cálculo da armadura tracionada As fc bw y fyd fc bf bw hf fyd As σsd fyd 30 Multiplicando e dividindo os dois primeiros termos do lado direito da Eq 30 por d As fc bw d fyd α bf bw 1 hf d As φ 31 As As1 As2 32 As1 fc bw d fyd 1 1 2K bf bw 1 hf d 33 As2 fc bw d fyd K K 1 dd 34 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento Com as Eqs 32 33 e 34 calculase a armadura tracionada As e caso a parcela As2 seja diferente de zero calculase a armadura comprimida A s A s As2 φ 35 Como no equacionamento de seção retangular a armadura de compressão A s somente será necessária visando ductilidade isto é visando limitar a profundidade da linha neutra ξL 0 45 Grupo I ξL 0 35 Grupo II Essa condição é garantida fazendose se K KL K K nas Eqs 33 e 34 se K KL K KL nas Eqs 33 e 34 em que aqui KL representa o máximo momento fletor externo solicitante de cálculo remanescente a ser resistido pela alma em que não se necessita de armadura de compressão A s Sendo a equação que define K a mesma em ambos os equacionamentos Eq 5 observase que os valores de KL são os mesmos já apresentados Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento A esta altura devese observar que o equacionamento de seções T ou L parte do princípio que toda a espessura hf da aba da mesa colaborante está sob fc isto é que y hf sendo pois aplicável somente nestes casos Desta forma é conveniente se definir um momento de referência MdRef acima do qual y hf schematic diagram with dimensions bf hf d x yhf CG As MdRef fc bf hf d hf2 36 Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento Logo podese fazer se Md MdRef y hf equacionamento seção T ou L se Md MdRef y hf h CG bf y hf x Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento Logo podese fazer se Md MdRef y hf equacionamento seção T ou L se Md MdRef y hf h CG bf y hf x Vigas Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção T ou L Equacionamento Logo podese fazer se Md MdRef y hf equacionamento seção T ou L se Md MdRef y hf equacionamento seção retangular bf h h CG bf y hf x Vigas Flexão Normal Simples Determinação da largura da mesa colaborante bf Para a determinação da largura da mesa colaborante bf considerase o corte genérico de uma fôrma bf0 bw0 b1 b3 bf0 bw0 b1 b1 a distância entre pontos de momento fletor nulo no trecho da viga em análise comprimento em que se aplica o recurso de seção T ou L no trecho Vigas Flexão Normal Simples Determinação da largura da mesa colaborante bf Para uma análise mais precisa sugerese que a medida a seja determinada a partir do diagrama real de momentos fletores da viga De forma simplificada podese estimar esta medida em um trecho como p ℓ 𝑎 100 ℓ p ℓ 𝑎 075 ℓ 𝑎 𝑎 p ℓ 𝑎 060 ℓ 𝑎 p ℓ 𝑎 200 ℓ Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 Para a viga V2 da planta estrutural abaixo pedese dimensionar a armadura longitudinal utilizando o recurso de seção T ou L quando aplicável Para tanto considerar uma carga p g q 50 kNm em toda a viga P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 L1 L2 V1 a b V2 a b V3 a b V4 a b 20 580 20 480 20 V5 a b 20 400 20 400 20 V4 a b 37 8 PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION medidas em cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 Para a viga V2 da planta estrutural abaixo pedese dimensionar a armadura longitudinal utilizando o recurso de seção T ou L quando aplicável Para tanto considerar uma carga p g q 50 kNm em toda a viga Dados Obra em área urbana CAA II fck 25 MPa c 30 mm Aço CA50 d d 6 cm d 45 6 39 cm γf 1 4 γc 1 4 γs 1 15 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 i Análise estrutural 600 cm 500 cm 11771 kN 8625 kN 34604 kN 500 kNm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 i Análise estrutural 600 cm 500 cm 11771 kN 8625 kN 34604 kN 500 kNm M kNm 13855 19375 7439 470 cm 345 cm A B C D E Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 ii Valores de cálculo fc αc ηc fcd αc ηc fck γc 0 85 1 0 2 5 1 4 1 518 kNcm2 fyd fyk γs 50 1 15 43 48 kNcm2 M D d γf M D 1 4 13855 0 19397 0 kNcm M E d γf M E 1 4 7439 0 10414 6 kNcm M B d γf M B 1 4 19375 0 27125 0 kNcm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras Momento positivo em D Md 19397 0 kNcm Uma vez que este momento fletor comprime a região da seção contígua à laje o recurso de seção T ou L se aplica logo bf 20 b1 esquerda b1 direita 400 cm 400 cm b1 0 5 b2 0 1 a b1 esquerda 0 5 400 200 cm 0 1 470 47 cm b1 direita 0 5 400 200 cm 0 1 470 47 cm bf 20 47 47 114 cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras 114 cm 8 cm 45 cm CG yCG 6 cm 20 cm MdRef fc bf hf d hf2 1518 114 8 39 82 4845456 kNcm Logo Md MdRef y hf equacionamento seção retangular bf h Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras K Md fc b d² 193970 1518 114 39² 0074 KL 0295 K K armadura simples As As1 As20 fc b d fyd 1 1 2K 1518 114 39 4348 1 1 2 0074 11946 cm² Verificação da armadura longitudinal mínima de tração Mdmin 08 W0 fctksup 08 Iyt 039 fck ²³ c fck em MPa yt yCG 114 8 41 20 37 185 114 8 20 37 31 cm I 114 8³12 114 8 41 31² 20 37³12 20 37 31 185² 296111 cm⁴ Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras Mdmin 0 8 296111 31 0 39 2523 10 2548 05 kNcm Mdmin 2548 05 kNcm Md 19397 0 kNcm Asmin As Asminabs 0 150 114 8 20 37 2 478 cm2 As 11 946 cm2 Logo empregase As 11 946 cm2 10 ϕ 12 5 mm Asreal 12 272 cm2 nϕcam 4 6 ϕ 16 0 mm Asreal 12 064 cm2 nϕcam 4 4 ϕ 20 0 mm Asreal 12 566 cm2 nϕcam 3 3 ϕ 25 0 mm Asreal 14 726 cm2 nϕcam 3 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 3 0 63 1 62 4 43 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 3 0 63 1 6 2 1 62 8 03 cm d Real 4Aϕ16d 1 2Aϕ16d 2 6Aϕ16 4 4 43 2 8 03 6 5 63 cm dReal h d Real 45 5 63 39 37 cm d Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras Momento positivo em E Md 104146 kNcm Uma vez que este momento fletor comprime a região da seção contígua à laje o recurso de seção T ou L se aplica logo bf 20 b1esquerda b1direita b1esquerda b1direita 20 cm 400 cm 400 cm b1 05 b2 01 a b1esquerda 05 400 200 cm 01 345 345 cm b1direita 05 400 200 cm 01 345 345 cm bf 20 345 345 89 cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras 89 cm 8 cm 45 cm CG yCG 6 cm 20 cm MdRef fc bf hf d hf 2 1518 89 8 39 8 2 3782856 kNcm Logo Md MdRef y hf eqicionamento seção retangular bf h Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras K Md fc b d2 104146 1518 89 392 0051 KL 0295 K K armadura simples As As₁ As₂0 fc b d fyd 1 1 2K 1518 89 39 4348 1 1 2 0051 6346 cm² Verificação da armadura longitudinal mínima de tração Mdmin 08 W₀ fctksup 08 I yt 039 fck23 c fck em MPa yt yCG 89 8 41 20 37 185 89 8 20 37 295 cm I 89 83 12 89 8 41 2952 20 373 12 20 37 295 1852 271921 cm4 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras Mdmin 0 8 271921 29 5 0 39 2523 10 2458 87 kNcm Mdmin 2458 87 kNcm Md 10414 6 kNcm Asmin As Asminabs 0 150 89 8 20 37 2 178 cm2 As 6 346 cm2 Logo empregase As 6 346 cm2 13 ϕ 8 0 mm Asreal 6 535 cm2 nϕcam 5 9 ϕ 10 0 mm Asreal 7 069 cm2 nϕcam 4 6 ϕ 12 5 mm Asreal 7 363 cm2 nϕcam 4 4 ϕ 16 0 mm Asreal 8 042 cm2 nϕcam 4 3 ϕ 20 0 mm Asreal 9 425 cm2 nϕcam 3 2 ϕ 25 0 mm Asreal 9 817 cm2 nϕcam 3 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 3 0 63 1 252 4 255 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 3 0 63 1 25 2 1 252 7 505 cm d Real 4Aϕ125d 1 2Aϕ125d 2 6Aϕ125 4 4 255 2 7 505 6 5 34 cm dReal h d Real 45 5 34 39 66 cm d Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras Momento negativo em B Md 27125 0 kNcm Uma vez que este momento fletor comprime a região da seção que não é a contígua à laje o recurso de seção T ou L não se aplica logo K Md fc b d2 271250 1518 20 392 0587 KL 0295 K KL armadura dupla As As₁ As₂ As₁ fc b d fyd 1 1 2K 1518 20 39 4348 1 1 2 0295 9795 cm² As₂ fc b d fyd K K 1 d d 1518 20 39 4348 0587 0295 1 6 39 9397 cm² Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras As 9 795 9 397 19 192 cm2 Verificação da armadura longitudinal mínima de tração dh 39 45 0 85 ρmin 0 150 Asmin 0 150 20 45 1 350 cm2 As 19 192 cm2 Logo empregase As 19 192 cm2 10 ϕ 16 0 mm Asreal 20 106 cm2 nϕcam 4 7 ϕ 20 0 mm Asreal 21 991 cm2 nϕcam 3 4 ϕ 25 0 mm Asreal 19 635 cm2 nϕcam 3 3 ϕ 32 0 mm Asreal 24 127 cm2 nϕcam 2 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 3 0 63 2 52 4 88 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 3 0 63 2 5 2 5 2 52 9 88 cm d Real 3Aϕ25d 1 1Aϕ25d 2 4Aϕ25 3 4 88 1 9 88 4 6 13 cm dReal h d Real 45 6 13 38 87 cm d X recalcular iii Cálculo das armaduras Recalculando com d 3887 cm K 271250 1518 20 3887² 0591 KL 0295 K KL armadura dupla As As1 As2 As1 1518 20 3887 4348 1 1 2 0295 9762 cm² As2 1518 20 3887 4348 0591 0295 1 63887 9500 cm² As As1 As2 9762 9500 19262 cm² 4 ϕ 25 mm detalhamento atende Sendo K KL As 0 logo dd 6 3887 0154 0184 φ 1 As As2 φ 9500 1 9500 cm² Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iii Cálculo das armaduras Para A s 9 500 cm2 19 ϕ 8 0 mm A sreal 9 550 cm2 nϕcam 5 13 ϕ 10 0 mm A sreal 10 210 cm2 nϕcam 4 8 ϕ 12 5 mm A sreal 9 817 cm2 nϕcam 4 5 ϕ 16 0 mm A sreal 10 053 cm2 nϕcam 4 4 ϕ 20 0 mm A sreal 12 566 cm2 nϕcam 3 2 ϕ 25 0 mm A sreal 9 817 cm2 nϕcam 3 Armadura total na seção transversal As A s 19 635 9 817 29 452 cm2 4 20 45 36 cm2 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 4 iv Detalhamento 6 160 mm 2 63 mm montagem 6 125 mm 2 63 mm montagem 4 250 mm 2 250 mm A A B B C C 6 160 mm Corte AA 2 63 mm montagem 6 125 mm Corte CC 2 63 mm montagem Corte BB 4 250 mm 2 250 mm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 Para a viga V2 da planta estrutural abaixo pedese dimensionar a armadura longitudinal utilizando o recurso de seção T ou L quando aplicável Para tanto considerar uma carga p g q 75 kNm em toda a viga P1 P2 P3 P4 P5 P6 L1 L2 V1 a inv b inv V2 a 2045 inv b 2045 inv V3 b a V4 b a 20 400 20 500 20 80 20 500 20 V3 b a 37 8 PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION medidas em cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 Para a viga V2 da planta estrutural abaixo pedese dimensionar a armadura longitudinal utilizando o recurso de seção T ou L quando aplicável Para tanto considerar uma carga p g q 75 kNm em toda a viga Dados Obra em área urbana CAA II fck 25 MPa c 30 mm Aço CA50 d d 6 cm d 45 6 39 cm γf 14 γc 14 γs 115 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 i Análise estrutural 420 cm 520 cm 10652 kN 15382 kN 44466 kN 750 kNm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 i Análise estrutural 420 cm 520 cm 10652 kN 15382 kN 44466 kN 750 kNm 7564 15774 21412 M kNm 284 cm 410 cm 246 cm A B C D E Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 ii Valores de cálculo fc αc ηc fcd αc ηc fck γc 0 85 1 0 2 5 1 4 1 518 kNcm2 fyd fyk γs 50 1 15 43 48 kNcm2 M B d γf M B 1 4 21412 0 29976 8 kNcm M D d γf M D 1 4 7564 0 10589 6 kNcm M E d γf M E 1 4 15774 0 22083 6 kNcm iii Cálculo das armaduras Momento negativo em B Md 299768 kNcm Uma vez que este momento fletor comprime a região da seção contígua à laje o recurso de seção T ou L se aplica logo b₁ b₃ 20 cm bf 20 b₁ b₃ 500 cm 80 cm b₁ 05 b₂ 01 a b₃ b₄ 01 a b₁ 05 500 250 cm 01 246 246 cm b₃ 80 cm 01 246 246 cm bf 20 246 246 692 cm Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras MdRef fc bf hf d hf2 1518 692 8 39 82 2941277 kNcm Logo Md MdRef y hf equacionamento seção T ou L Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras K Md fc bw d2 bf bw 1 hf d 1 hf 2d 299768 1518 20 392 69220 1 8 39 1 82 39 0196 K 0196 KL 0295 K K armadura simples As As1 0 As2 fc bw d fyd 1 1 2K bf bw 1 hf d 1518 20 39 4348 1 1 2 0196 69220 1 839 19740 cm² Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras Verificação da armadura longitudinal mínima de tração Mdmin 0 8 W0 fctksup 0 8 Iyt 0 39 fck23 c fck em MPa yt yCG 69 2 8 41 20 37 18 5 69 2 8 20 37 28 1 cm I 69 2 83 12 69 2841 28 12 20 373 12 203728 1 18 52 247697 cm4 Mdmin 0 8 247697 28 1 0 39 2523 10 2351 41 kNcm Mdmin 2351 41 kNcm Md 29976 8 kNcm Asmin As Asminabs 0 150 69 2 8 20 37 1 940 cm2 As 19 740 cm2 Logo empregase As 19 740 cm2 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras 10 ϕ 16 0 mm Asreal 20 106 cm2 nϕcam 4 7 ϕ 20 0 mm Asreal 21 991 cm2 nϕcam 3 5 ϕ 25 0 mm Asreal 24 544 cm2 nϕcam 3 3 ϕ 32 0 mm Asreal 24 127 cm2 nϕcam 2 d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 3 0 63 2 52 4 88 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 30 632 52 52 52 9 88 cm d Real 3Aϕ25d 1 2Aϕ25d 2 5Aϕ25 3 4 88 2 9 88 5 6 88 cm dReal h d Real 45 6 88 38 12 cm d X recalcular Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras Recalculando com d 3812 cm K Md fc bw d2 bf bw 1 hf d 1 hf 2d 299768 1518 20 38122 69220 1 8 3812 1 82 3812 0217 K 0217 KL 0295 K K armadura simples As As1 0 As2 fc bw d fyd 1 1 2K bf bw 1 hf d 1518 20 3812 4348 1 1 2 0217 69220 1 8 3812 20334 cm² 5 ϕ 25 mm detalhamento atende Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras Momento positivo em D Md 105896 kNcm Uma vez que este momento fletor comprime a região da seção que não é a contígua à laje o recurso de seção T ou L não se aplica logo K Mdfc b d² 105896 1518 x 20 x 39² 0229 KL 0295 K K armadura simples As As1 As20 fc b d fyd112K 1518 20 39 43481 1 2 0229 7184 cm² Verificação da armadura longitudinal mínima de tração dh 3945 085 ρmin 0150 Asmin 0150 20 45 1350 cm² As 7184 cm² Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras Logo empregase As 7 184 cm2 6 ϕ 12 5 mm Asreal 7 363 cm2 nϕcam 4 4 ϕ 16 0 mm Asreal 8 042 cm2 nϕcam 4 3 ϕ 20 0 mm Asreal 9 425 cm2 nϕcam 3 d1 d2 d d 1 c ϕt ϕl2 3 0 63 1 252 4 255 cm d 2 c ϕt ϕl av ϕl2 3 0 63 1 25 2 1 252 7 505 cm d Real 4Aϕ125d 1 2Aϕ125d 2 6Aϕ125 4 4 255 2 7 505 6 5 34 cm dReal h d Real 45 5 34 39 66 cm d Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras Momento positivo em E Md 220836 kNcm Uma vez que este momento fletor comprime a região da seção que não é a contígua à laje o recurso de seção T ou L não se aplica logo K Md fc b d² 220836 1518 20 39² 0478 KL 0295 K KL armadura dupla As As1 As2 As1 fc b d fyd1 1 2K 1518 20 39 43481 1 2 0295 9795 cm² As2 fc b d fydK K1 d d 1518 20 39 43480478 0295 1 639 5890 cm² Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras As 9 795 5 890 15 685 cm2 Verificação da armadura longitudinal mínima de tração dh 39 45 0 85 ρmin 0 150 Asmin 0 150 20 45 1 350 cm2 As 15 685 cm2 Logo empregase As 15 685 cm2 8 ϕ 16 0 mm Asreal 16 085 cm2 nϕcam 4 5 ϕ 20 0 mm Asreal 15 708 cm2 nϕcam 3 4 ϕ 25 0 mm Asreal 19 635 cm2 nϕcam 3 2 ϕ 32 0 mm Asreal 16 085 cm2 nϕcam 2 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras d d Real c ϕt ϕl2 3 0 63 3 22 5 23 cm dReal h d Real 45 5 23 39 77 cm d Sendo K KL A s 0 logo d d 6 39 0 154 0 184 φ 1 A s As2 φ 5 890 1 5 890 cm2 Para A s 5 890 cm2 12 ϕ 8 0 mm A sreal 6 032 cm2 nϕcam 5 8 ϕ 10 0 mm A sreal 6 283 cm2 nϕcam 4 5 ϕ 12 5 mm A sreal 6 136 cm2 nϕcam 4 3 ϕ 16 0 mm A sreal 6 032 cm2 nϕcam 4 Vigas Flexão Normal Simples Exemplo 5 iii Cálculo das armaduras Armadura total na seção transversal As A s 16 085 6 032 22 117 cm2 4 20 45 36 cm2 iv Detalhamento 2 63 mm montagem 2 320 mm 3 160 mm 5 250 mm A A B B C C Corte AA 2 63 mm montagem 2 320 mm Corte CC 3 160 mm Corte BB 5 250 mm 2 63 mm montagem 6 125 mm 6 125 mm 2 63 mm montagem