Limites: Definição e Propriedades

Limites Definicao e Propriedades Profa Liliana Jurado Limite de uma funcao Propriedades Introducao Vamos analisar o comportamento da funcao f definida por f x x2 x 2 para valores proximos de 2 A tabela a seguir fornece os valores de f x para valores de x proximos de 2 mas nao iguais a 2 x f x x f x 10 2000 30 8000 15 2750 25 5750 18 3440 22 4640 19 3710 21 4310 195 3853 205 4153 199 3970 201 4030 Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Introducao Da tabela vemos que quando x estiver proximo de 2 f x tendera a 4 De fato parece que podemos tornar os valores de f x tao proximos de 4 quanto quisermos ao tomar x suficientemente proximo de 2 Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao Definicao Sejam X R f X R uma funcao real e a X Dizse que o numero real L e limite de f x quando x tende para a e escrevese lim xa f x L se ϵ 0 δ 0 x X 0 x a δ f x L ϵ Informalmente limxa f x L quer dizer que se pode tornar f x tao proximo de L quando se queira desde que se tome x X proximo porem diferente de a Negar que se tem limxa f x L equivale a dizer que ϵ 0 δ 0 pode se achar xδ X 0 xδ a δ e f xδ L ϵ Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao Teorema Sejam f g h X R a X e limxa f x limxa hx L Se f x gx hx para todo x X a entao limxa gx L Demonstracao Dado arbitrariamente ϵ 0 δ1 0 x X 0 x a δ1 L ϵ f x L ϵ δ2 0 x X 0 x a δ2 L ϵ hx L ϵ Seja δ minδ1 δ2 Entao x X 0 x a δ L ϵ f x gx hx L ϵ Logo lim xa gx L Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao y h L g f 0 a x Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao Teorema Sejam f X R e a X limxa f x L se e somente se toda sequˆencia de pontos xn X a com limn xn a entao limn f xn L Demonstracao Suponhamos primeiro que limxa f x L isto e ϵ 0 δ 0 x X 0 x a δ f x L ϵ e seja xn X a com lim xn a n0 N n n0 0 xn a δ Por conseguinten n0 f xn L ϵ logo limn f xn L Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao Reciprocamente suponhamos que xn X a e lim xn a impliquem lim f xn L vamos provar que se tem limxaf x L Com efeito negar esta igualdade ϵ 0 δ 1n podemos achar xn Xtal que 0 xna 1n mas f xn L ϵ Entao terıamos xn X a lim xn a sem que fosse lim f xn L Esta contradicao completa a demontracao Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao Teorema Sejam f X R e a X Se limxa f x L e limxa f x M entao L M Demonstracao Basta tomar uma sequˆencia de pontos xn X a com limn xn a Entao teremos L lim f xn e M lim f xn Pela unicidade do limite da sequˆencia f xn vem L M Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao Teorema Propriedades de Limites Suponha que lim xa f x L e lim xa gx M Entao temos 1 lim xaf xr lim xa f xr Lr 2 lim xa cf x c lim xa f x cL 3 lim xaf x gx lim xa f x lim xa gx L M 4 lim xaf xgx lim xa f x lim xa gx LM 5 lim xa f x gx lim xa f x lim xa gx L M M 0 Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao Teorema Propriedades de Limites Se limx0 f x 0 e g e limitada numa vizinhanca de a temse limxaf xgx 0 Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite de funcoes Exemplo Se f R R dada por f x c entao para todo a R temse limxa f x c Se f R R dada por f x x entao para todo a R temse limxa f x a Se f R R dada por f x a0 a1x a2x2 anxn entao para todo a R temse limxa f x f a Se f x px qx onde px qx sao polinˆomioscom qx 0 entao para todo a R temse limxa f x f a Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao Exemplo Sendo f x x3 calcule lim x2 f x Solucao O grafico de f e mostrado abaixo Observe que podemos fazer f x tao proximo do numero 8 quanto quisermos tomando x suficientemente proximo de 2 y y x³ 8 2 x f x esta proximo de 8 sempre que x esta proximo de 2 Portanto lim x2 x3 8 Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma fundo Propriedades Limite de uma funcao Sendo x2 sexAl x ax 1 sex1 Calcule lim gx x1 O dominio de gx é 0 conjunto de todos os nimeros reais O grafico de g mostra que gx fica arbitrariamente prdéxima de 3 quando x esta suficientemente prdéximo de 1 Portanto lim gx 3 x1 Ya y gx 3 1 1 mx o a z Hae Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao Observe que gx 1 o que difere do limite da funcao g quando x tende a 1 Lembramos que o valor de g em x 1 nao tem nenhuma relevˆancia para a existˆencia e o valor do limite de g quando x tende a 1 Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma fundo Propriedades Limite de uma funcao Calcule o limite das seguintes funcdes quando x se aproxima do ponto indicado 1 sex0 1 a fx x0 Ob x sz x0 Bes 1 sex0 ax x ee o z Hac Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao y y gx 1 x² yfx 1 x x 2 1 1 2 1 a b a Da Figura a por mais proximo que x esteja de x 0 f x assume os valores 1 ou 1 dependendo de x ser positivo ou negativo Assim nao ha um unico numero real L do que f x se aproxima quando x se aproxima de zero Concluımos que o limite de f x nao existe quando x se aproxima de zero b Da Figura b vemos que quando x se aproxima de x 0 gx cresce alem de qualquer limite e portanto nao se aproxima de nenhum numero real especıfico Concluımos dessa forma que o limite de gx nao existe quando x se aproxima de zero Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma fundo Propriedades Limite de uma funcao Use as propriedades para calcular os seguintes limites 2x2 41 lim 2x3 Vx lim a 3 x xe Ul Lim xt1 Solucao a lim 2x3x2 7 2 lim 2x3x27 x3 x3 2lim x lim Vx 7 x73 x93 233V37 2274 216 q a Nace Limite de uma funcao Propriedades Limite de uma funcao b lim x2 2x2 1 x 1 lim x22x2 1 lim x2x 1 2221 21 9 3 3 Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades Limite de uma funcao Propriedades Limite Exemplo Seja X R 0 A funcao f X R definida por f x sen 1x nao possui limite x tende a 0 Com efeito Seja xn 2 2n1π e tal que lim xn 0 mas f xn 1 se n ımpar xn 2 2n1π e tal que lim xn 0 mas f xn 1 se n par Por outro lado gx x sen 1x temse limx0 gx 0 pois sen 1x 1 para todo x X e limx0 x 0 Profa Liliana Jurado Limites Definicao e Propriedades