Geometria Analítica - Aula 12

Ângulos, perpendicularismo e ortogonalidade\n\n1. Reta e Reta\n\nDadas retas r e s, queremos determinar a medida θ (0 ≤ θ ≤ π/2) do ângulo entre elas. Considerando F = 3 vetores diretores de r e s respectivamente, se α é a medida do ângulo entre F e s, temos que\n\ncos(α) = <F, S> / |F| |S|\n\nEntão,\n\n• Se <F, S> > 0, então cos(θ) > 0\n e 0 < α < π/2, logo,\n\ncos(θ) = cos(α)\n\n• Se <F, S> < 0, então cos(θ) < 0\n e π/2 < θ < π, logo,\n\ncos(θ) = -<F, S> / |F| |S|\n\n• Se <F, S> = 0, então cos(θ) = 0\n e θ = α = π/2.\n\nPortanto, em todo caso, temos que\n\ncos(θ) = |<F, S>| / |F| |S| Se ang(r,s) = π/2, dizemos que r e s são ortogonais. \n\nPortanto, se r e s são concorrentes, podemos dizer que r e s são perpendiculares.\n\nExemplos:\n1) Determine o ângulo entre as retas.\n r: x = (1;1;1) + λ(2;1;1) e s: 2x + y + 3z = 1\n\n2) Ache equações paramétricas da reta r que passa por P = (-1;3;4) e é perpendicular à reta s: x - 1/3 = z = 0.\n\n2. Reta e Plano\n\nPara encontrar a medida θ do ângulo entre a reta r e o plano π basta achar a medida do ângulo entre r e uma reta M perpendicular a π, pois α + θ = π/2.\n\nLogo, se r é uma reta diretriz, então\n\nsen(θ) = sen(π/2 - α) = cos(α)\n\nsen(θ) = |<F, M>| / |F| |M| No caso em que θ = π/2 (senθ = 1) dizemos que r e π são perpendiculares.\n\nExemplos:\n1) Determine a medida θ do ângulo entre a reta r: x = (0;1;0) + λ(-1;-1;0) e o plano π: y - 2z - 10 = 0.\n\n2) Obtenha equações paramétricas da reta r que passa por P = (λ;1;1), é paralela ao plano π1, x + 2y - 2 = 0 e forma um ângulo de π/3 rad com o plano π2, x - y + 2z = 1.\n\n3. Plano e Plano\n\nDados planos π1 e π2, a medida do ângulo entre eles é a medida do ângulo entre as retas M1 e M2