Geometria Analítica - Aula 4

Mas como (\\vec{u},\\vec{v},\\vec{w}) é LI, então \n\\begin{cases}\n\\alpha + \\beta = 0 \\\\\n\\alpha - 3\\beta = 0 \\\\\n-\\alpha = 0.\n\\end{cases}\nComo o sistema tem única solução em \\alpha = 0 e \\beta = 0, então \\vec{a} e \\vec{b} são LI.\n\nProposição: Os vetores \\vec{u} = (a_1, b_1, c_1) e \\vec{v} = (a_2, b_2, c_2) são LI se, e somente se, a_1, a_1, c_1 e a_2, b_2, c_2, são proporcionais, ou, equivalentemente, se, e somente se, os determinantes\n\\begin{vmatrix}\n a_1 & a_1 & c_1 \\\\\n a_2 & b_2 & c_2 \\\\\n\\end{vmatrix}\n\nsão todos nulos.\n\nExercício: Verifique se \\vec{u} e \\vec{v} são LI ou LD.\n\na) \\vec{u} = (1, 0, 3) e \\vec{v} = (2, 3, 1) b) \\vec{u} = (0, 15, 1) e \\vec{v} = (1, 5/2, 1/2)\n\nExercício: Mostre que se (\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}) é LI, então \\vec{b} = -10\\vec{u} + 6\\vec{v} + 7\\vec{w}, \\vec{c} = \\vec{u} + 6\\vec{v} + 6\\vec{w} são LI.\n\nSolução: \\alpha \\vec{a} + \\beta \\vec{b} + \\gamma \\vec{c} = \\vec{0}\n\\Rightarrow \\alpha(\\vec{u} + \\vec{v} + \\vec{w}) + \\beta(-10\\vec{u} + 6\\vec{v} + 7\\vec{w}) + \\gamma(\\vec{u} + 6\\vec{v} + 6\\vec{w}) = \\vec{0}\n\\Rightarrow (\\alpha - 10\\beta + \\gamma)\\vec{u} + (6\\beta + 6\\gamma)\\vec{v} + (7\\beta + 6\\gamma)\\vec{w} = 0\n\\Rightarrow \\alpha = 0, \\beta = 0 e \\gamma = 0.\nLogo \\vec{a}, \\vec{b} e \\vec{c} são LI. Base\n\nVimos anteriormente que, se E = (\\vec{e_1}, \\vec{e_2}, \\vec{e_3}) é uma tripla LI, então qualquer vetor \\vec{u} pode ser escrito de maneira única como combinação linear dos vetores da tripla, ou seja, existe uma tripla (a_1, a_2, a_3) de escalares tais que\n\\vec{u} = a_1\\vec{e_1} + a_2\\vec{e_2} + a_3\\vec{e_3}.\n\nE essa tripla é a única que satisfaz essa condição. Por este motivo, a tripla E = (\\vec{e_1}, \\vec{e_2}, \\vec{e_3}) é dita uma base de V.\n\nNa notação acima, a_1, a_2, a_3 são as coordenadas de \\vec{u} com relação à base E.\n\nNoção: Quando \\vec{u} = a_1\\vec{e_1} + a_2\\vec{e_2} + a_3\\vec{e_3}, podemos escrever que\n\\vec{u} = (a_1, a_2, a_3)_{E},\n\nou ainda que \\vec{u} = (a_1, i_2, a_3)_{E} quando não houver dúvida com relação à base utilizada.\n\nExemplo: Se E = (\\vec{e_1}, \\vec{e_2}, \\vec{e_3}), então podemos escrever que \\vec{u} = (1, i_1, 0)_{E}. a) \\vec{u} + \\vec{v} = (a_1, a_2, a_3)_{E} + (b_1, b_2, b_2)_{E}\n= (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)_{E}\n\n= (a_1, a_2, a_3)_{E}.\n\nb) \\alpha \\vec{u} = \\alpha(a_1, a_2, a_3)_{E}\n= \\alpha(a_1, a_2, a_3)_{E}.\n\n(Note que para usar a proposição acima é muito importante que as coordenadas dos vetores estejam na mesma base!)\n\nExercício: Calcule as coordenadas de \\vec{w} = \\bar{5} \\vec{u} + 7\\vec{v}.\nSabendo que \\vec{u} = (4, 5, 3) e \\vec{v} = (-0, 1, 3)_{E}\n\nSolução: \\vec{w} = 5\\vec{u} - 3\\vec{v} = (0, 1)_{E}\n= (5\\cdot (4, 5, 3) - 3\\cdot (0, 1, 3))_{E}\n= (5\\cdot 4, 5\\cdot 5 - 15, 3\\cdot 5 - 9)_{E}\n= (10, 15 - 15, 15 - 9)_{E}\n= (10, 0, 6).\n\nExercício: Considere a tripla (\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}) de vetores e os vetores \\vec{a} = \\vec{u} + \\vec{v} - \\vec{w}, \\vec{b} = \\vec{u} - 3\\vec{v}. Mostre que se (\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}) é LI, então \\vec{a} e \\vec{b} são LI.\n\nSolução: Considere uma combinação de \\vec{a} e \\vec{b} que resolve no vetor nulo, \\alpha\\vec{a} + \\beta\\vec{b} = \\vec{0}. Vamos mostrar que \\alpha e \\beta devem ser zero.\n\nNote que\n\\alpha\\vec{a} + \\beta\\vec{b} = \\alpha(\\vec{u}+\\vec{v}-\\vec{w}) + \\beta(\\vec{u}-3\\vec{v})\n= (\\alpha + \\beta)\\vec{u} + (\\alpha - 3\\beta)\\vec{v} + (-\\alpha)\\vec{w}.\n Proposição: Os vetores u = (ai1, bi1, c1), v = (ai2, bi2, c2) e w = (ai3, bi3, ci) são LD se, e somente se,\na1, b1, c1\na2, b2, c2\n a3, b3, c3\n= 0\n\nDemonstração: (u,v,w) é LD se, e somente se, existem α, β e γ não todos nulos tais que αu + βv + γw = 0,\n(αa1 + βa2 + γa3 = 0,\nαb1 + βb2 + γb3 = 0\nαc1 + βc2 + γc3 = 0), tal fato ocorre se, e somente se o sistema\n\nμα + βa1 + γa2 = 0\nαb1 + βb2 + γb3 = 0\nμc1 + βc2 + γc3 = 0\n\nadminite mais de uma solução pois α = 0, β = 0 é uma solução. Mas isso é equivalente a ter que\n\nla1 b1 c1\nlb2 b2 c2\nla3 b3 c3\n\nExercício: Verifique se u = (1;2;3), v = (3;1;1) e w = (5;1;1) são LI ou LD.\n\nExercício: Sabendo que E = (e1,e2,e3) é base que fi = e2² + e1,\ne2 = e2² + e2,\nf3 = e2 + e2,\na1) Mostre que F = (e1, i + f5) é base;\nb) Calcule as coordenadas de v = (1;1;1) e na base F. Definição: a) u e v são ortogonais se existirem representates (A,B) e (B,C) de u e v, respectivamente, tais que o ângulo ABC é reto. Indicaremos por u·v.\nb) d é ortogonal a qualquer vetor.\n\nProposição: Os vetores u e v são ortogonais se, e somente se, ||u|| + ||v||.\n\nDemonstração: Teorema de Pitágoras.\n\nDefinição: Uma base E = (e1,e2,e3) é ortonormal se e1, e2 e e3 são unitários e são dois a dois ortogonais.\n\nProposição: (e1, e2, e3) é uma base ortonormal se u = αe1 + βe2 + γe3.\n\nDemonstração: Note que αe1 e (βe2 + γe3) são dois a dois ortogonais, portanto,\npela proposição anterior,\n||u||² = ||αe1||² + ||βe2 + γe3||²\n= |α|²||e1||² + |β|²||e2||² + |γ|²||e3||².\n\nExercício: Calcule ||u|| sabendo que u = (7;3;12) e que E é uma base ortonormal.\n\nSolução: ||u|| = √(7² + 3² + 12²) = √(60).