Geometria Analítica - Aula 7

Produto Misto\n\nSuponha que queiramos encontrar o volume V da região limitada pelo paralelepípedo de lado. O volume é dado pelo produto da área da base pela altura. A área da base é \\vec{u} \\wedge \\vec{v}. Já para a altura, basta calcular a norma da projeção de \\vec{w} sobre um vetor ortogonal a \\vec{u} e \\vec{v}. Portanto,\n\nV = \\vec{u} \\cdot \\text{proj}_{\\vec{n}} \\vec{w} = |\\vec{u} \\wedge \\vec{v}| \\cdot [\\vec{w}, \\vec{u}, \\vec{v}] / |\\vec{u} \\wedge \\vec{v}|.\n\nDefinição: O produto misto dos vetores \\vec{u}, \\vec{v} e \\vec{w} nesta ordem, é um número real, indicado por [\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}], dado por\n\n[\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}] = \\langle \\vec{u} \\wedge \\vec{v}, \\vec{w} \\rangle.\n\nSuponha que \\vec{u} = (a_1, b_1, c_1), \\vec{v} = (a_2, b_2, c_2) e \\vec{w} = (a_3, b_3, c_3) em relação a uma base ortonormal positiva B = (\\hat{i}, \\hat{j}, \\hat{k}). Então,\n\n\\vec{u} \\wedge \\vec{v} = |b_1 c_1| |a_1 c_2| |a_2 b_1|\\n\\vec{u} \\wedge \\vec{v} \\wedge \\vec{w} = b_1 c_1 a_2 b_1 + a_2 b_2 c_3 = a_1 b_1 c_2 = a_2 b_2 c_1.\n\nPortanto, em relação a uma base ortonormal positiva, podemos calcular o produto misto de \\vec{u}, \\vec{v} e \\vec{w} por Note que (\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}) é LD \\iff [\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}] = 0.\n\nExemplo: Calcule o volume V do paralelepípedo da figura anterior sabendo que \\overline{AB} = (1,0,4), \\overline{BE} = (1,1,1) e \\overline{AD} = (0,3,3).\n\nPropriedades: O produto misto é linear e alternado, ou seja, dados \\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}, \\vec{x}, \\vec{y} \\in V, e \\alpha, \\beta \\in \\mathbb{R},\n\na) [\\alpha \\vec{u} + \\beta \\vec{v}, \\vec{w}] = \\alpha [\\vec{u}, \\vec{w}] + \\beta [\\vec{v}, \\vec{w}] e\n\nb) [\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w} + \\vec{x}] = [\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}] + [\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{x}].\n\nEssas propriedades vêm direto das propriedades de determinantes.\n\nNote que \\langle \\vec{u} \\wedge \\vec{v}, \\vec{w} \\rangle \\in [\\vec{u}, \\vec{v}, \\vec{w}].\n\nExemplos: 1) Prove que [\\vec{u} + \\vec{v} + \\vec{w}, \\vec{u} + \\vec{w}] = \\alpha [\\vec{u}, \\vec{v}]\\n2) Prove que \\langle \\vec{u} \\wedge \\vec{v} \\wedge a_3 \\rangle = |\\langle \\vec{u}, \\vec{1} \\rangle \\langle \\vec{v}, \\vec{j} \\rangle|. Sistemas de Coordenadas\n\nA ideia básica é localizar um ponto P no espaço através de coordenadas com uma base num sistema de coordenadas, que será definido a seguir.\n\nDefinição: Sejam O um ponto e E = (\\hat{e}_1, \\hat{e}_2, \\hat{e}_3) uma base qualquer, O par ordenado \\sum_{0 \\to O} \\vec{e} = \\overline{O} e o \nsistema de coordenadas (\\mathbb{R}^3) como base E. Então, O é a origem, onde será indicado por (O, \\hat{e}_1, \\hat{e}_2, \\hat{e}_3). Se E é ortonormal, o sistema de coordenadas é dito ortonormal.\n\nDado um ponto P, as coordenadas do vetor \\overline{OP} são dadas: Se \\overline{OP} = (\\vec{i}, \\vec{j}, \\vec{k})\\n\\Rightarrow \\overline{OP} = (\\overline{x}, \\overline{y}, \\overline{z}) = P(\\overline{P} = \\overline{OP}) = (O_x, O_y, O_z)\n\ne \\vec{1} = O^1, \\overline{P} = O^2, O_{AB} = O_{AC} = O_{BC} são os eixos coordenados.\n\nOA é o eixo das abscissas, OB é o eixo das ordenadas e OC é o eixo das cotas.\n\nOs planos determinados por OAB, OAC e OBC são os planos coordenados O_{x_1}, O_{x_2} e O_{y_2}. Proposição: Fixado um sistema de coordenados Σ=(O; e), seja A=(x₁,y₁,z₁), B=(x₂,y₂,z₂), \u0303u=(a,b,c) e λ∈ℝ. Então\n\na) AB = (x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁)\n\nb) A + λ\u0303u = (x₁ + λa; y₁ + λb; z₁ + λc)\n\nDemonstração:\n\na) AB = A\u0300B - OB = OB - OA = (x₁-x₂; y₁-z₂; z₁-z₂).\n\nb) Seguindo D = A + λ\u0303u. Então, AB = λ\u0303u. Se D=(x₁+x); por a (x-y₁,y₂-z₂)=(A,x,λ;λ); x = x + λa; y₁ + λb; z₁ + λc.\n\nLogo D = A + λ\u0303u = (x₁ + λa; y₁ + λb; z₁ + λc).