Slide Aplicações da Equação de Schrödinger-2021 2

Física Moderna 1 Aplicações da Equação de Schrödinger Gustavo Camelo Neto Física Licenciatura Centro Acadêmico do Agreste Universidade Federal de Pernambuco Caruaru PE 07 de dezembro de 2021 Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1 51 Sumário 1 Partícula Livre 2 Poço de Potencial Infinito 3 Poço Finito 4 Oscilador Harmônico Simples 5 Equação de Schrödinger em Três Dimensões 6 Átomos de um Elétron 7 O que vem depois Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger Partícula Livre Solução da Equação de Schrödinger ℏ2 2m d2ϕ dx2 x V xϕx Eϕx V x 0 ℏ2 2m d2ϕ dx2 Eϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ d2ϕ dx2 2mE ℏ2 ϕ 0 E p2 2m ℏ2k2 2m d2ϕ dx2 k2ϕ 0 ξ2 k2 0 ξ ik ϕx Aeikx Beikx Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3 51 Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Relações de Euler eikx cos kx i sen kx eikx cos kx i sen kx cos kx eikx eikx 2 sen kx eikx eikx 2i ϕx Aeikx Beikx A B cos kx iA B sen kx C cos kx D sen kx Função de Onda Completa Ψx t ϕxφt C cos kx D sen kx eiωt Escolhese a representação mais conveniente dependendo do problema Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4 51 Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Relações de Euler eikx cos kx i sen kx eikx cos kx i sen kx cos kx eikx eikx 2 sen kx eikx eikx 2i ϕx Aeikx Beikx A B cos kx iA B sen kx C cos kx D sen kx Função de Onda Completa Ψx t ϕxφt C cos kx D sen kx eiωt Escolhese a representação mais conveniente dependendo do problema Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4 51 Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Relações de Euler eikx cos kx i sen kx eikx cos kx i sen kx cos kx eikx eikx 2 sen kx eikx eikx 2i ϕx Aeikx Beikx A B cos kx iA B sen kx C cos kx D sen kx Função de Onda Completa Ψx t ϕxφt C cos kx D sen kx eiωt Escolhese a representação mais conveniente dependendo do problema Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4 51 Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Relações de Euler eikx cos kx i sen kx eikx cos kx i sen kx cos kx eikx eikx 2 sen kx eikx eikx 2i ϕx Aeikx Beikx A B cos kx iA B sen kx C cos kx D sen kx Função de Onda Completa Ψx t ϕxφt C cos kx D sen kx eiωt Escolhese a representação mais conveniente dependendo do problema Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4 51 Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Relações de Euler eikx cos kx i sen kx eikx cos kx i sen kx cos kx eikx eikx 2 sen kx eikx eikx 2i ϕx Aeikx Beikx A B cos kx iA B sen kx C cos kx D sen kx Função de Onda Completa Ψx t ϕxφt C cos kx D sen kx eiωt Escolhese a representação mais conveniente dependendo do problema Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4 51 Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Relações de Euler eikx cos kx i sen kx eikx cos kx i sen kx cos kx eikx eikx 2 sen kx eikx eikx 2i ϕx Aeikx Beikx A B cos kx iA B sen kx C cos kx D sen kx Função de Onda Completa Ψx t ϕxφt C cos kx D sen kx eiωt Escolhese a representação mais conveniente dependendo do problema Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4 51 Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Relações de Euler eikx cos kx i sen kx eikx cos kx i sen kx cos kx eikx eikx 2 sen kx eikx eikx 2i ϕx Aeikx Beikx A B cos kx iA B sen kx C cos kx D sen kx Função de Onda Completa Ψx t ϕxφt C cos kx D sen kx eiωt Escolhese a representação mais conveniente dependendo do problema Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4 51 Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Relações de Euler eikx cos kx i sen kx eikx cos kx i sen kx cos kx eikx eikx 2 sen kx eikx eikx 2i ϕx Aeikx Beikx A B cos kx iA B sen kx C cos kx D sen kx Função de Onda Completa Ψx t ϕxφt C cos kx D sen kx eiωt Escolhese a representação mais conveniente dependendo do problema Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4 51 Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Relações de Euler eikx cos kx i sen kx eikx cos kx i sen kx cos kx eikx eikx 2 sen kx eikx eikx 2i ϕx Aeikx Beikx A B cos kx iA B sen kx C cos kx D sen kx Função de Onda Completa Ψx t ϕxφt C cos kx D sen kx eiωt Escolhese a representação mais conveniente dependendo do problema Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4 51 Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Partícula Livre Exponencial Complexa e Funções Trigonométicas Relações de Euler eikx cos kx i sen kx eikx cos kx i sen kx cos kx eikx eikx 2 sen kx eikx eikx 2i ϕx Aeikx Beikx A B cos kx iA B sen kx C cos kx D sen kx Função de Onda Completa Ψx t ϕxφt C cos kx D sen kx eiωt Escolhese a representação mais conveniente dependendo do problema Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4 51 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Wx t yxot oad ia aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Vx t yxot Ael Be en oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Wx t yxot Ae 4 Be ev iwt Aelkxt 4 Be ilkxet oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Vx t yxot Ae 4 Be ev iwt Aellkxt 4 Be ikxet Acos kx wt iAsen kx wt SS oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Vx t yxot Ae 4 Be ev iwt Aellkxt 4 Be ikxet Acos kx wt iAsen kx wt Onda Progressiva oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Wx t yxdt Ae 4 Be e iwt Aelkxt 4 Be ikxet Acos kx wt iAsen kx wt Bcoskx wt iBsenkx wt eee Se Onda Progressiva oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Vx t yxot Ae 4 Be ev iwt Aellkxt 4 Be ikxet Acos kx wt iAsen kx wt Bcoskx wt iBsenkx wt eee Se Onda Progressiva Onda Retrograda oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Vx t yxot Ae 4 Be ev iwt Aellkxt 4 Be ikxet Acos kx wt iAsen kx wt Bcoskx wt iBsenkx wt eee Se Onda Progressiva Onda Retrograda elkt Particula Progressiva oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Vx t yxot Ae 4 Be ev iwt Aellkxt 4 Be ikxet Acos kx wt iAsen kx wt Bcoskx wt iBsenkx wt a Onda Progressiva Onda Retrograda elkt Particula Progressiva e ixt 2 Particula Retrograda oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Vx t yxot Ae 4 Be ev iwt Aellkxt 4 Be ikxet Acos kx wt iAsen kx wt Bcoskx wt iBsenkx wt eee Se Onda Progressiva Onda Retrograda elkt Particula Progressiva e ixt 2 Particula Retrograda A particula esta indo voltando ou ambos oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo da Funcado de Onda Vx t yxot Ae 4 Be ev iwt Aellkxt 4 Be ikxet Acos kx wt iAsen kx wt Bcoskx wt iBsenkx wt eM eee Onda Progressiva Onda Retrograda elkt Particula Progressiva e ixt 2 Particula Retrograda A particula esta indo voltando ou ambos Gato de Schrédinger ade x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 551 Particula Livre Interpretacdo Probabilistica Px yp w aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 651 Particula Livre Interpretacdo Probabilistica Px yp Avent 4 Brel Ae 4 Be oad ia aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 651 Particula Livre Interpretacdo Probabilistica Px yp Avent 4 Brel Ae 4 Be AtA 4 B AeZikx 4 At Be2ikx 4 BB QY NH progressiva emaranhado retrograda oad ia aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 651 Particula Livre Interpretacdo Probabilistica Px yp Avent 4 Brel Ae 4 Be AtA 4 B AeZikx 4 At Be2ikx 4 BB QA SS YY progressiva emaranhado retrograda co Pxdx CoO oad ia aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 651 Particula Livre Interpretacdo Probabilistica Px yp Avent 4 Brel Ae 4 Be AtA B AeZikx At Be2ikx BB progressiva emaranhado retrograda co co Pxdx 4A BY AZ 4 A Ben 2ike 4 BB dx CoO Cco oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 651 Particula Livre Interpretacdo Probabilistica Px p Avent 4 Brel Ae 4 Be AA BA Qikx 2ikx eo A Be BB progressiva emaranhado retrograda co co co Pxdx 4A BY AZ 4 A Ben 2ike 4 BB dx AA BB dx CoO Cco Cco oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 651 Particula Livre Interpretacdo Probabilistica Px p Avent 4 Brel Ae 4 Be AA BA Qikx 2ikx eo A Be BB progressiva emaranhado retrograda co co co Pxdx 4A BY AZ 4 A Ben 2ike 4 BB dx AA BB dx 3 co oo oo oo oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 651 Particula Livre Interpretacdo Probabilistica Px yy Avent 4 Brel Ae 4 Be AtA B AeZikx At Be2ikx BB progressiva emaranhado retrograda co co co Pxdx 4A 4 BY Aci 4 A Beil BB dx AA BB dx 3 co Co Co Co Nao é quadraticamente integravel aaa B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 651 Particula Livre Interpretacdo Probabilistica Px yy Avent 4 Brel Ae 4 Be AtA B AeZikx At Be2ikx BB progressiva emaranhado retrograda co co co Pxdx 4A BY AZ 4 A Ben 2ike 4 BB dx AA BB dx 00 Co Co Co Ndo é quadraticamente integravel Pacote de Ondas aaa B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 651 Poco de Potencial Infinito Equacao de Schrédinger Vx 0 0 L x 0 OxL Vx oo xOouxL oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 751 Poco de Potencial Infinito Equacao de Schrédinger Vx 0 0 L x 0 OxL Vx oo xOouxL A particula fica presa na caixa aus x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 751 Poco de Potencial Infinito Equacao de Schrédinger Na caixa a particula esta livre V oo x px Acos kx Bsenkx0xL 0 L x 0 OxL Vx oo xOouxL A particula fica presa na caixa aus B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 751 Poco de Potencial Infinito Equacao de Schrédinger Na caixa a particula esta livre V oo x px Acos kx Bsenkx0xL Fora da caixa ndo ha particula px 0x0exL 0 L x 0 OxL Vx oo xOouxL A particula fica presa na caixa aus B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 751 Poco de Potencial Infinito Equacao de Schrédinger Na caixa a particula esta livre V oo x px Acos kx Bsenkx0xL Fora da caixa ndo ha particula px 0x 0exL Pela continuidade da funcdo de onda 0 L x 0 0 0 OxL Vx oo xOouxL A particula fica presa na caixa aus B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 751 Poco de Potencial Infinito Equacao de Schrédinger Na caixa a particula esta livre Co Vx px Acos kx BsenkxO0xL Fora da caixa ndo ha particula px 0x 0exL Pela continuidade da funcdo de onda x 0 L 0 0 A0 0 OxL Vx oo xOouxL A particula fica presa na caixa aus B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 751 Poco de Potencial Infinito Equacao de Schrédinger Na caixa a particula esta livre Co Vx px Acos kx Bsenkx0xL Fora da caixa ndo ha particula px 0x0exL Pela continuidade da funcdo de onda x 0 L 0 0 A0 0 OxL L 0 Vx vt oo xOouxL A particula fica presa na caixa aus B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 751 Poco de Potencial Infinito Equacao de Schrédinger Na caixa a particula esta livre 0 Vx px Acos kx Bsenkx0xL Fora da caixa ndo ha particula px 0x0exL Pela continuidade da funcdo de onda x 0 L 0 0 A0 0 Oxl yL0 BsenkL0 Vx oo xOouxL A particula fica presa na caixa aus B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 751 Poco de Potencial Infinito Equacao de Schrédinger Na caixa a particula esta livre 0 Vx px Acos kx Bsenkx0xL Fora da caixa ndo ha particula px 0x0exL Pela continuidade da funcdo de onda x 0 L 0 0 A0 0 Oxl yL0 BsenkL0 Vx co xOouxL kLnrn12 A particula fica presa na caixa aus B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 751 Poco de Potencial Infinito Equacao de Schrédinger Na caixa a particula esta livre 0 Vx px Acos kx Bsenkx0xL Fora da caixa ndo ha particula px 0x0exL Pela continuidade da funcdo de onda x 0 L 0 0 A0 0 Oxl yL0 BsenkL0 Vx co xOouxL kLnrn12 A particula fica presa na caixa ee P P nx Bsen x 1 aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 751 Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nv nx Bsen Fx oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nt nx Bsen Fx co yp pdx Co oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nt nx Bsen Fx oo L J vee enloena oo 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nt nx Bsen Fx oo L J vee enloenlxde 1 oo 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nt nx Bsen Fx oo L J vee enloenlxde 1 oo 0 L nt B Bsen Fx dx1 0 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nt nx Bsen Fx oo L J vee enloenlxde 1 oo 0 L nt B Bsen Fx dx1 0 nt ux L ade x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nt nx Bsen Fx oo L J vee enloenlxde 1 oo 0 L nt B Bsen Fx dx1 0 nt nt u x du dx L L ade x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nv 2 L 2 nt B af sen udu 1 nx Bsen Fx 6 oo L J vee enloenlxde 1 oo 0 L nt B Bsen Fx dx1 0 nt nt u x du dx L L ade x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nv 2 L 2 nt B af sen udu 1 nx Bsen Fx 6 nt usen2u J vee enloenlxde 1 sen udu 5 a 0co 0 0 L nt B Bsen Fx dx1 0 nt nt u x du dx L L ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nv 2 L 2 nt B af sen udu 1 nx Bsen Fx 6 nt fu sen2u nm J vee enloenlxde 1 senudu o 4 0co 0 0 L nt B Bsen Fx dx1 0 nt nt u x du dx L L ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nv 2 L 2 nt B senudu 1 nx Bsen Fx mms nt us sen2u ont J vee enloenlxde 1 sen udu a 0co 0 0 L L Bes er Bsen Fx dx1 2 0 n n ux du dx L L ade x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nv 2 L 2 nt B senudu 1 nx Bsen Fx mms nt us sen2u ont J vee enloenlxde 1 sen udu a 0co 0 0 L L 2 B1 B V2 er Bsen Fx dx1 2 L 0 u a du OT ax L L ade x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 kh Normalizaao da Densidade de Probabilidade Poco de Potencial Infinito Normalizado da Densidade de Probabilidade nv 2 L 2 nt B senudu 1 nx Bsen Fx mms nt us sen2u ont J vee enloenlxde 1 sen udu a 0co 0 0 L L 2 BP1 B V2 erBsen x de1 iB 2 L 0 nt nt 2 nw us px du dx Paix V3 sen Tx ws x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 851 Poco de Potencial Infinito Representacao Grafica 09 yjsen7 xj sen x 71 L L V2 L 5 0 0 L oad x B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 951 Poco de Potencial Infinito Representacao Grafica 2 2 y1x yl geen Fx Px I sen Fx 9 2 Vi S 5 Qa 0 0 0 L 0 L x x oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 951 Poco de Potencial Infinito Representacao Grafica 2 2 2 2 p2x psen 7 P2x I sen 9 2 L L S f 2 0 L 0 L 0 L x x oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1051 Poco de Potencial Infinito Representacao Grafica 2 3 2 3 p3x psen P3x I sen 9 2 L L os e 2 0 L 0 L 0 L x x oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1151 Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia E p2 2m ℏ2k2 2m ℏ2π2n2 2mL2 n2 h2 8mL2 En n2E1 E1 h2 8mL2 0 L x E V E1 n 1 4E1 n 2 9E1 n 3 16E1 n 4 Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 12 51 Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia E p2 2m ℏ2k2 2m ℏ2π2n2 2mL2 n2 h2 8mL2 En n2E1 E1 h2 8mL2 0 L x E V E1 n 1 4E1 n 2 9E1 n 3 16E1 n 4 Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 12 51 Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia E p2 2m ℏ2k2 2m ℏ2π2n2 2mL2 n2 h2 8mL2 En n2E1 E1 h2 8mL2 0 L x E V E1 n 1 4E1 n 2 9E1 n 3 16E1 n 4 Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 12 51 Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia E p2 2m ℏ2k2 2m ℏ2π2n2 2mL2 n2 h2 8mL2 En n2E1 E1 h2 8mL2 0 L x E V E1 n 1 4E1 n 2 9E1 n 3 16E1 n 4 Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 12 51 Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia E p2 2m ℏ2k2 2m ℏ2π2n2 2mL2 n2 h2 8mL2 En n2E1 E1 h2 8mL2 0 L x E V E1 n 1 4E1 n 2 9E1 n 3 16E1 n 4 Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 12 51 Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia Poço de Potencial Infinito Autovalores de Energia E p2 2m ℏ2k2 2m ℏ2π2n2 2mL2 n2 h2 8mL2 En n2E1 E1 h2 8mL2 0 L x E V E1 n 1 4E1 n 2 9E1 n 3 16E1 n 4 Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 12 51 Poco de Potencial Infinito Comportamento Classico e A particula pode ter qualquer valor de energia e A particula viaja com velocidade constante mudando de sentido nas paredes e O intervalo de tempo que a particula passa em trechos iguais o mesmo 1 Px F A probabilidade classica é igual 4 média da probabilidade quantica L 1 ePlmed 7 P Pdx 0 gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1351 Poco de Potencial Infinito Comportamento Classico e A particula pode ter qualquer valor de energia e A particula viaja com velocidade constante mudando de sentido nas paredes e O intervalo de tempo que a particula passa em trechos iguais o mesmo 1 Px F A probabilidade classica é igual 4 média da probabilidade quantica L L 1 1 f2 nmx 2 dx sen ax eelmed 7 fete ai ri 0 0 gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1351 Poco de Potencial Infinito Comportamento Classico e A particula pode ter qualquer valor de energia e A particula viaja com velocidade constante mudando de sentido nas paredes e O intervalo de tempo que a particula passa em trechos iguais o mesmo 1 Px F A probabilidade classica é igual 4 média da probabilidade quantica L L DL 1 1 f2 nmx odx sen dx 55 0 0 gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1351 Poco de Potencial Infinito Comportamento Classico e A particula pode ter qualquer valor de energia e A particula viaja com velocidade constante mudando de sentido nas paredes e O intervalo de tempo que a particula passa em trechos iguais o mesmo 1 Px F A probabilidade classica é igual 4 média da probabilidade quantica 2L 1 1 1 f2 nmx pdx sen E dx So F 0 0 gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1351 Poco de Potencial Infinito Fungdo de Onda Completa Evolucdo temporal ot ev iwt eEnht oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1451 Poco de Potencial Infinito Fungdo de Onda Completa e Evolucdo temporal dt e iwt e 7 Enht A funcado de onda completa fica Wx t yxot ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1451 Poco de Potencial Infinito Fungdo de Onda Completa e Evolucdo temporal ot e iwt e 7 Enht e A funcdo de onda completa fica 2 ATX iEnht Wx t vx dt 7sen Fe ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1451 Poco de Potencial Infinito Fungdo de Onda Completa e Evolucdo temporal ot e iwt e 7 Enht e A funcdo de onda completa fica 2 nx 2 Vx t vx et yl geen en ienine yl geen knxe n ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1451 Poco de Potencial Infinito Fungdo de Onda Completa e Evolucdo temporal ot e iwt e 7 Enht e A funcdo de onda completa fica 2 nx 2 Vx t vx et yl geen en ienine yl geen knxe nt e Usando que elknx oe tknx sen kx n 21 ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1451 Poco de Potencial Infinito Fungdo de Onda Completa e Evolucdo temporal dt e iwt e 7 Enht e A funcdo de onda completa fica 2 nx 2 Vx t yxot yl geen en ienine yl geen knxe7 nt e Usando que elknx e7 tknx sen kx n i e Encontramos uma onda estacionaria no poco combinacao da particula indo e voltando Wx t rye jell oox ent e Mhwrant sas i 4 B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1451 Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento L 0 f Beles 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1551 Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento L L 0 eWpeex 0 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1551 Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento L L A 2 nw p pela i 0 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1551 Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento L L 9 2 nt xpyxdx yl geen x ih p expyx T r Dx 0 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1551 Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento 2 O 2 nt nt xpyxdx yl geen x ih yl geen x dx Pp e peb9 i 7 Dx 7 7 0 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1551 Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento 2 O 2 p pela i ins i dx 0 0 2 d ing sen Fx sen x dx 0 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1551 Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento 2 O 2 xp é nn jhe é nn p J x Ppxdx yn ri in yi n ri dx 0 0 2 d 2 nt nt nt nt nt ing sen Fx sen x dx ing f sen x cos x dx 0 0 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1551 Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento 2 O 2 xp é nn jhe é nn p J x Ppxdx yn ri in yi n ri dx 0 0 2 d 2 nt nt nt nt nt ing sen Fx sen x dx ing f sen x cos x dx 0 0 0 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1551 Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento 2 O 2 p pela i ins i dx 0 0 2 d 2 ing sen Fx sen x dx ing f sen x cos x dx 0 0 0 Em média a particula esta parada agg x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1551 kh Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado L 2 a2 d p e xP px dx 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1651 kh Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado L L 2 a2 dx p exP pxdx 0 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1651 kh Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado L L 2 nt 2 a2 p ewe yxdx i 0 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1651 kh Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado L L 9 2 2 nt 2 a2 x xdx sen x ih p eee vi r Dx 0 0 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1651 kh Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado if fp ay 2 9 ev a2 nw V2 x xdx sen x ih sen x dx oP o00 vi a Wi 0 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1651 kh Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado if fp ay 2 2 a2 nT nt x xdx sen x ih psen x dx oP o00 vi oF sen 2 0 0 27 d nt nt fA sen x sen x dx L L dx L 0 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1651 kh Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado if fp a 2 p Pela i ins i dx 0 0 27 d 2 2 f We sen Fx sen Fx dx neo sen Fx dx 0 0 CeS L 2 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1651 kh Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado if fp ay 2 p Pela i ins i dx 0 0 27 d 2 2 f We sen Fx sen Fx dx neo sen Fx dx 0 0 CeS L 2 7 L ade x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1651 kh Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado if fp ay 2 p Pela i ins i dx 0 0 27 d 2 2 f We sen Fx sen Fx dx neo sen Fx dx 0 0 CeS L 2 GY 8E L L ade x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1651 kh Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado Poco de Potencial Infinito Operador e Valor Esperado do Momento ao Quadrado if fp a 2 p Pela i ins i dx 0 0 2 d 2 2 We sen Fx sen Fx dx neo sen Fx dx 0 0 L 2 9 nt2 hr 2 h 7 ndo esta parada de verdade oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1651 Poço Finito Equação de Schrödinger Poço Finito Equação de Schrödinger 0 a a x V x V0 I II III V x 0 a x a V0 x a ou x a Há três regiões I x a II a x a III x a Região II partícula livre com L 2a ϕnx Aeikx Beikx Regiões I e III potencial uniforme ℏ2 2m d2ϕ dx2 V0ϕ Eϕ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 17 51 Poço Finito Equação de Schrödinger Poço Finito Equação de Schrödinger 0 a a x V x V0 I II III V x 0 a x a V0 x a ou x a Há três regiões I x a II a x a III x a Região II partícula livre com L 2a ϕnx Aeikx Beikx Regiões I e III potencial uniforme ℏ2 2m d2ϕ dx2 V0ϕ Eϕ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 17 51 Poço Finito Equação de Schrödinger Poço Finito Equação de Schrödinger 0 a a x V x V0 I II III V x 0 a x a V0 x a ou x a Há três regiões I x a II a x a III x a Região II partícula livre com L 2a ϕnx Aeikx Beikx Regiões I e III potencial uniforme ℏ2 2m d2ϕ dx2 V0ϕ Eϕ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 17 51 Poço Finito Equação de Schrödinger Poço Finito Equação de Schrödinger 0 a a x V x V0 I II III V x 0 a x a V0 x a ou x a Há três regiões I x a II a x a III x a Região II partícula livre com L 2a ϕnx Aeikx Beikx Regiões I e III potencial uniforme ℏ2 2m d2ϕ dx2 V0ϕ Eϕ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 17 51 Poço Finito Equação de Schrödinger Poço Finito Equação de Schrödinger 0 a a x V x V0 I II III V x 0 a x a V0 x a ou x a Há três regiões I x a II a x a III x a Região II partícula livre com L 2a ϕnx Aeikx Beikx Regiões I e III potencial uniforme ℏ2 2m d2ϕ dx2 V0ϕ Eϕ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 17 51 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h dyp 2 SP Yo HE 2m dx ow oad ia aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h dyp 2 SP Yo HE 2m dx ow h dy 2 oP WH Ep0 2m dx Yo p oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h dyp 2 SP Yo HE 2m dx ow h dy 2m 2 TP wy Ep 0x 2m dx Yo p h2 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h dyp 2 SP Yo HE 2m dx Mor h dy 2m 2 TP wy Ep 0x 2m dx Vo p h2 dy 2m ae pe iVo Ele 0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h dyp 2 SP Yo HE 2m dx Mor h dy 2m 2 TP wy Ep 0x 2m dx Vo p h2 dy 2m oP My Ee 0 dx2 72 0 y eo ME Vo 0 dx he op oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h dyp 2 SP Yo HE 2m dx Mor h dy 2m 2 TP wy Ep 0x 2m dx Vo p 0x h2 dy 2m ae pe iVo Ele 0 eo ME Vo 0 dx he op 2 0 TE Wp h age x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h dyp 2 SP Yo HE 2m dx Mor 9 dp 2 h dy 2m ae tor O xX 2 TP wy Ep 0x 2m dx2 Vo e dy 2m ae pe iVo Ele 0 eo ME Vo 0 dx he op 2 0 TE Wp h age x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h dyp 2 SP Yo HE 2m dx Mor 9 dp 2 h dy 2m ae tor O xX 2 TP wy Ep 0x 2m dx Vo p 0x h2 9 a 0 dy 2m ae pe iVo Ele 0 do ME Va 0 dx he op 2 0 TE Wp h age x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h dyp 2 SP Yo HE 2m dx Mor 9 dp 2 h dy 2m ae tor O xX 2 SP 1 wy Ep0x 2m dx Vo p 0x h2 9 a0 dy 2m ae Feo Fle 0 V0 dy 2m oP 1 SME Wp 0 dx2 Pom oy 2 0 TE Wp h age x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h dyp 2 SP Yo HE 2m dx Mor 9 dp 2 h dy 2m dx2 Fore 0 xX 2 SP 1 wy Ep0x 2m dx Vo p 0x h2 9 a0 dy 2m ae Feo Fle 0 V0 dy 2m 417 FWvo0 ja seE Vo axe pe E Vode gé4 la seE Vo 2 0 TE Wp h age x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger ii d am at Vor Be dp 250 Se E Vo ha movimento h dy 2m dx2 Fore WY Ep 0x Aeio Be7ix 2m dx he 5 x Ae Be a 0 dy 2m ae Feo Fle 0 V0 dy 2m 417 FWvo0 ja seE Vo dx2 2 0Y la seE Vo 2 0 TE Wp h ade x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poco Finito Soludo Geral da Equado de Schrédinger h d Pe iy ey 2m dx 2 dp 250 Se E Vo ha movimento h dy 2m dx2 Fore WY Ep 0x Apiax iax 2m dx2 h2 px Ae Be a 0 dy 2m Se E Vo evanescéncia ae Feo Fle 0 V0 yx Aellx Be lalx dp 2m 417 FWvo0 ja seE Vo dx2 2 oP la seE Vo 2m oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 1851 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Rápida Poço Finito Partícula Rápida Seja E V0 Geral ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx Feiαx Partícula lançada da esquerda ϕIx Aeiαx Beiαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeiαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeiαa Beiαa Ceika Deika iαAeiαa iαBeiαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Eeiαa ikCeika ikDeika iαEeiαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 19 51 Poço Finito Partícula Lenta Poço Finito Partícula Lenta Seja 0 E V0 partícula presa ϕIx Aeαx Beαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeαx Feαx A função de onda deve ser finita ϕIx Aeαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Feαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeαa Ceika Deika αAeαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Feαa ikCeika ikDeika αFeαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 20 51 Poço Finito Partícula Lenta Poço Finito Partícula Lenta Seja 0 E V0 partícula presa ϕIx Aeαx Beαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeαx Feαx A função de onda deve ser finita ϕIx Aeαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Feαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeαa Ceika Deika αAeαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Feαa ikCeika ikDeika αFeαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 20 51 Poço Finito Partícula Lenta Poço Finito Partícula Lenta Seja 0 E V0 partícula presa ϕIx Aeαx Beαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeαx Feαx A função de onda deve ser finita ϕIx Aeαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Feαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeαa Ceika Deika αAeαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Feαa ikCeika ikDeika αFeαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 20 51 Poço Finito Partícula Lenta Poço Finito Partícula Lenta Seja 0 E V0 partícula presa ϕIx Aeαx Beαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeαx Feαx A função de onda deve ser finita ϕIx Aeαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Feαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeαa Ceika Deika αAeαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Feαa ikCeika ikDeika αFeαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 20 51 Poço Finito Partícula Lenta Poço Finito Partícula Lenta Seja 0 E V0 partícula presa ϕIx Aeαx Beαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeαx Feαx A função de onda deve ser finita ϕIx Aeαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Feαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeαa Ceika Deika αAeαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Feαa ikCeika ikDeika αFeαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 20 51 Poço Finito Partícula Lenta Poço Finito Partícula Lenta Seja 0 E V0 partícula presa ϕIx Aeαx Beαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeαx Feαx A função de onda deve ser finita ϕIx Aeαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Feαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeαa Ceika Deika αAeαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Feαa ikCeika ikDeika αFeαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 20 51 Poço Finito Partícula Lenta Poço Finito Partícula Lenta Seja 0 E V0 partícula presa ϕIx Aeαx Beαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Eeαx Feαx A função de onda deve ser finita ϕIx Aeαx ϕIIx Ceikx Deikx ϕIIIx Feαx ϕIa ϕIIa ϕ Ia ϕ IIa ϕIIa ϕIIIa ϕ IIa ϕ IIIa Aeαa Ceika Deika αAeαa ikCeika ikDeika Ceika Deika Feαa ikCeika ikDeika αFeαa Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 20 51 Poço Finito Considerações Poço Finito Considerações Além dessas condições ϕx deve ser quadraticamente integrável Toda a dificuldade é algébrica a solução pode ser obtida numericamente No caso E V0 a partícula está livre e a energia não é quantizada No caso E V0 a partícula está ligada e há quantização da energia No caso E V0 surge um fenômeno quântico as ondas evanescentes Ocorre um fenômeno similar na óptica quando a luz atinge um metal Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 21 51 Oscilador Harménico Simples Equacao de Schrédinger Wdp 1 55 5S 5mxpHE 2m dx2 2 eee 0 0 x 1 1 Vx kx mwx aye 2 2 ia aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2251 Oscilador Harménico Simples Equacao de Schrédinger Wdp 1 55 s GS amu xp HE 2m dx2 2 eee dy mu 2mE 72h X PAH GP S dx h2 h2 0 0 x 1 1 Vx kx mwx aye 2 2 ia aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2251 Oscilador Harménico Simples Equacao de Schrédinger Wdy 1 4 a E Im de gw P EP dp mu 2mE de he RY S dy 2m mu 24 Sf pe de Fe 2 0 0 0 x 1 1 Vx ake amex aye x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2251 Oscilador Harménico Simples Equacao de Schrédinger Wdy 1 4 E Im dx2 2 P EP dp mu 2mE z de fe Ree S dy 2m mu Gite E e0 0 mwx 0 nx Ch exp Hx x 1 1 Vx kx mwx aye 2 2 Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2251 Oscilador Harménico Simples Equacao de Schrédinger he dp 1 22 Fy E Im dx2 2 P EP dp mu 2mE z de fe fe S dy 2m mu Gite E e0 0 mwx 0 nx Ch exp Hx x 141 E 5 hue n Vx ake amex 2 aed Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2251 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Cooordenadas Cartesianas Em trés dimensdes as particulas podem se mover em trés direcdes aed B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2351 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Cooordenadas Cartesianas e Em trés dimensées as particulas podem se mover em trés direcdes O momento linear possui trés componentes P Pxt py pzk gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2351 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Cooordenadas Cartesianas e Em trés dimensées as particulas podem se mover em trés direcdes O momento linear possui trés componentes P Pxt py pzk O operador de momento tera como componentes 0 0 O By ih By ih Bz ih Px Ox Py Oy Pe Oz ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2351 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Cooordenadas Cartesianas o Em trés dimensdes as particulas podem se mover em trés direcdes O momento linear possui trés componentes P Pxt py pzk O operador de momento tera como componentes 0 0 0 6 ih By ih Bz ih Px Ox Py Oy Pz Oz De modo que a O QO 0 p ih 7 jk p Ox Jay ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2351 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Cooordenadas Cartesianas o Em trés dimensdes as particulas podem se mover em trés direcdes O momento linear possui trés componentes P Pxt py pzk O operador de momento tera como componentes 0 0 0 dD jh 6 ih 0 ih Px Ox Py Oy Pz Oz e De modo que A 0 QO 0 p ihtjk ihV P Ox Jay ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2351 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas O operador de energia cinética será ˆK ˆp ˆp 2m ℏ2 2m ℏ2 2m2 O operador de energia potencial dependerá das três dimensões e do tempo ˆV ˆV ˆx ˆy ˆz ˆt O operador de energia total permanece o mesmo ˆE iℏ t Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 24 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas O operador de energia cinética será ˆK ˆp ˆp 2m ℏ2 2m ℏ2 2m2 O operador de energia potencial dependerá das três dimensões e do tempo ˆV ˆV ˆx ˆy ˆz ˆt O operador de energia total permanece o mesmo ˆE iℏ t Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 24 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas O operador de energia cinética será ˆK ˆp ˆp 2m ℏ2 2m ℏ2 2m2 O operador de energia potencial dependerá das três dimensões e do tempo ˆV ˆV ˆx ˆy ˆz ˆt O operador de energia total permanece o mesmo ˆE iℏ t Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 24 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas O operador de energia cinética será ˆK ˆp ˆp 2m ℏ2 2m ℏ2 2m2 O operador de energia potencial dependerá das três dimensões e do tempo ˆV ˆV ˆx ˆy ˆz ˆt O operador de energia total permanece o mesmo ˆE iℏ t Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 24 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas O operador de energia cinética será ˆK ˆp ˆp 2m ℏ2 2m ℏ2 2m2 O operador de energia potencial dependerá das três dimensões e do tempo ˆV ˆV ˆx ˆy ˆz ˆt O operador de energia total permanece o mesmo ˆE iℏ t Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 24 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas ℏ2 2m2Ψx y z t ˆV ˆx ˆy ˆz ˆtΨx y z t iℏΨ t x y z t No caso em que a energia potencial não depende do tempo Ψx y z t ϕx y zφt A parte temporal será idêntica φt eiωt eiEℏt A equação de Schrödinger independente do tempo fica ℏ2 2m2ϕx y z ˆV ˆx ˆy ˆzϕx y z Eϕx y z Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 25 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas ℏ2 2m2Ψx y z t ˆV ˆx ˆy ˆz ˆtΨx y z t iℏΨ t x y z t No caso em que a energia potencial não depende do tempo Ψx y z t ϕx y zφt A parte temporal será idêntica φt eiωt eiEℏt A equação de Schrödinger independente do tempo fica ℏ2 2m2ϕx y z ˆV ˆx ˆy ˆzϕx y z Eϕx y z Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 25 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas ℏ2 2m2Ψx y z t ˆV ˆx ˆy ˆz ˆtΨx y z t iℏΨ t x y z t No caso em que a energia potencial não depende do tempo Ψx y z t ϕx y zφt A parte temporal será idêntica φt eiωt eiEℏt A equação de Schrödinger independente do tempo fica ℏ2 2m2ϕx y z ˆV ˆx ˆy ˆzϕx y z Eϕx y z Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 25 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas Equação de Schrödinger em Três Dimensões Cooordenadas Cartesianas ℏ2 2m2Ψx y z t ˆV ˆx ˆy ˆz ˆtΨx y z t iℏΨ t x y z t No caso em que a energia potencial não depende do tempo Ψx y z t ϕx y zφt A parte temporal será idêntica φt eiωt eiEℏt A equação de Schrödinger independente do tempo fica ℏ2 2m2ϕx y z ˆV ˆx ˆy ˆzϕx y z Eϕx y z Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 25 51 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Tomemos um poco cubico quadrado tridimencional 0 seQxyzL Vx y2 oo caso contrario ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2651 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Tomemos um pogo ctbico quadrado tridimencional 0 se0OxyzL Vx yz 00 Caso contrario e Fora do poco y 0 gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2651 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Tomemos um poco cubico quadrado tridimencional 0 se0OxyzL Vx yZ 00 Caso contrario Fora do poco y 0 e Dentro do pogo Welxysz Epsy2 XYZ XVZ om AXY PXY gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2651 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Tomemos um pogo ctbico quadrado tridimencional 0 se0OxyzL Vx yz 00 Caso contrario Fora do poco y 0 e Dentro do pogo h a vx yZ Ex yzZ Usaremos o método de separacdo de variaveis novamente ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2651 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito px yz XxYyZz dag Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2751 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito px yz XxYyZz 0 0 0 2 Vex2Z ss dy a Xx yZz dag ww aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2751 Ee Poco CUbico Infinite Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Px yz XxYyZz 0 0 0 2 Vb n2 2a 59 oa XOIYVIZE dX dY dZ YZ XZ XY dx dy dz dag ww aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2751 I Re P50 Cibico Infinite Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Px yZz XxYyZz oO Oo Oo 2 Vb n2 2a 59 oa XOIYVIZE dX d2Y dZ YZ XZ XY dx dy dz hi dX d2Y dZ YZ 4 XZ XY EXYZ 2m cet dy oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2751 I Re P50 Cibico Infinite Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Px yZz XxYyZz oO Oo Oo 2 Vb n2 2a 59 oa XOIYVIZE dX d2Y dZ YZ XZ XY dx dy dz hi dX d2Y dZ YZ 4 XZ XY EXYZXYZ 2m cet dy oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2751 eR Poco Cubico Infinito Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Px yz XxYyZz 0 0 0 2 Vb n2 2a 59 oa XOIYVIZE dX dY dZ YZ XZ XY dx dy dz hi dX dY dZ YZ XZ 4 XY EXYZXYZ 2m cet dy he 1dX 1dY 1dZ 445556 2m X dx Y dy Z dz aye ww aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2751 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Px yz XxYyZz h2 1 dxX Ec 02 a a 5 y 4y2 x Vb 12 Sa oe oa XWIYVIZE 2m X dx Piey 2 2 2 mY dy yzt yzt yy TZ mY dy dx dy dz 5 5 MwidZ h d2X d2y d2Z 2nZ dz 2 YZ 4 XZ XY EXYZXYZ 2m cet dy he 1dX 1dY 1dZ F 4557556 2m X dx Y dy Z dz aye Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2751 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito 9xZ Xx YyZz h 1 dx E 02 a a 5 y 4y2 x Vb 12 Sa oe oa XWIYVIZE 2m X dx Piey 2x 2y 2Z 2mY dy yzt 4 xzT xy FZ mr ey dx dy dz 5 5 WidZ h d2X d2y d2Z 2m Z dz 2 YZ XZ XY EXYZXYZ 2m cet dy EE46 Ez R idx idy 102 E 2m X dx Y dy2 Zdz2 aye B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2751 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito ℏ2 2m d2X dx2 ExX ℏ2 2m d2Y dy2 EyY ℏ2 2m d2Z dz2 EzZ d2X dx2 2mEx ℏ2 X d2Y dy2 2mEy ℏ2 Y d2Z dz2 2mEz ℏ2 Z d2X dx2 k2 x X 0 d2Y dy2 k2 y Y 0 d2Z dz2 k2 z Z 0 k2 x 2mEx ℏ2 k2 y 2mEy ℏ2 k2 z 2mEz ℏ2 k2 k2 x k2 y k2 z Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 28 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito ℏ2 2m d2X dx2 ExX ℏ2 2m d2Y dy2 EyY ℏ2 2m d2Z dz2 EzZ d2X dx2 2mEx ℏ2 X d2Y dy2 2mEy ℏ2 Y d2Z dz2 2mEz ℏ2 Z d2X dx2 k2 x X 0 d2Y dy2 k2 y Y 0 d2Z dz2 k2 z Z 0 k2 x 2mEx ℏ2 k2 y 2mEy ℏ2 k2 z 2mEz ℏ2 k2 k2 x k2 y k2 z Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 28 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito ℏ2 2m d2X dx2 ExX ℏ2 2m d2Y dy2 EyY ℏ2 2m d2Z dz2 EzZ d2X dx2 2mEx ℏ2 X d2Y dy2 2mEy ℏ2 Y d2Z dz2 2mEz ℏ2 Z d2X dx2 k2 x X 0 d2Y dy2 k2 y Y 0 d2Z dz2 k2 z Z 0 k2 x 2mEx ℏ2 k2 y 2mEy ℏ2 k2 z 2mEz ℏ2 k2 k2 x k2 y k2 z Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 28 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito ℏ2 2m d2X dx2 ExX ℏ2 2m d2Y dy2 EyY ℏ2 2m d2Z dz2 EzZ d2X dx2 2mEx ℏ2 X d2Y dy2 2mEy ℏ2 Y d2Z dz2 2mEz ℏ2 Z d2X dx2 k2 x X 0 d2Y dy2 k2 y Y 0 d2Z dz2 k2 z Z 0 k2 x 2mEx ℏ2 k2 y 2mEy ℏ2 k2 z 2mEz ℏ2 k2 k2 x k2 y k2 z Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 28 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito ℏ2 2m d2X dx2 ExX ℏ2 2m d2Y dy2 EyY ℏ2 2m d2Z dz2 EzZ d2X dx2 2mEx ℏ2 X d2Y dy2 2mEy ℏ2 Y d2Z dz2 2mEz ℏ2 Z d2X dx2 k2 x X 0 d2Y dy2 k2 y Y 0 d2Z dz2 k2 z Z 0 k2 x 2mEx ℏ2 k2 y 2mEy ℏ2 k2 z 2mEz ℏ2 k2 k2 x k2 y k2 z Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 28 51 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Xx Ax sen kx Yy Ay sen kyy Zz Az sen kz gee B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2951 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Xx Ax sen kyx Yy Ay sen kyy Zz Az sen kzz Tv Tv TT k MT ky eT Nee oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2951 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Xx Ax sen kyx Yy Ay sen kyy Zz Az sen kzz 7 7 7 k MT ky eT Nee A n n4x n ny zy n nz xyz Asen nx x sen ny Ty sen nz 7z gud B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2951 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Xx Ax sen kyx Yy Ay sen kyy Zz Az sen kzz T T T k MT ky eT Nee T T T x yZ Asen nFx sen n Fy sen n72 LLe II dxdydz 0 0 0 gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2951 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Xx Ax sen kyx Yy Ay sen kyy Zz Az sen kzz 1 1 1 k MT ky eT Nee 1 1 1 x yZ Asen nFx sen n Fy sen n72 LLL L L L II ydxdydz a sen nF ds sen n Fy ay sen n 2 dz 0 0 0 0 0 0 aed B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2951 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Xx Ax sen kyx Yy Ay sen kyy Zz Az sen kzz 1 1 1 k MT ky eT Nee 1 1 1 x yZ Asen nFx sen n Fy sen n72 LLL L L L II ydxdydz a sen nF ds sen n Fy ay sen n 2 dz 0 0 0 0 0 0 LLL Aros 222 gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2951 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Xx Ax sen kyx Yy Ay sen kyy Zz Az sen kzz 1 1 1 k MT ky eT Nee 1 1 1 x yZ Asen nFx sen n Fy sen n72 LLL L L L II ydxdydz a sen nF ds sen n Fy ay sen n 2 dz 0 0 0 0 0 0 LLL V AAi Ar 1 222 8 aed B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2951 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Xx Ax sen kyx Yy Ay sen kyy Zz Az sen kzz 1 1 1 k MT ky eT Nee 1 1 1 x yZ Asen nFx sen n Fy sen n72 LLL L L L II ydxdydz a sen nF ds sen n Fy ay sen n 2 dz 0 0 0 0 0 0 LLL V 8 A A 1 A 4 222 8 7 VV aed x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2951 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Xx Ax sen kyx Yy Ay sen kyy Zz Az sen kzz 1 1 1 k MT ky eT Nee 1 1 1 x yZ Asen nFx sen n Fy sen n72 LLL L L L II ydxdydz a sen nF ds sen n Fy ay sen n 2 dz 0 0 0 0 0 0 LLL V 8 A A 1 A 4 222 8 7 7 VV 8 7 7 7 px yZ 4 ysen 14 sen n7y sen n2 ut aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 2951 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Os autovalores de energia serão Enxnynz Ex Ey Ez ℏ2 2mk2 x k2 y k2 z ℏ2π2 2mL2 n2 x n2 y n2 z n2 x n2 y n2 zE1 E221 E122 E212 9E1 E211 E121 E112 6E1 E111 3E1 Estados Degenerados Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 30 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Os autovalores de energia serão Enxnynz Ex Ey Ez ℏ2 2mk2 x k2 y k2 z ℏ2π2 2mL2 n2 x n2 y n2 z n2 x n2 y n2 zE1 E221 E122 E212 9E1 E211 E121 E112 6E1 E111 3E1 Estados Degenerados Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 30 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Os autovalores de energia serão Enxnynz Ex Ey Ez ℏ2 2mk2 x k2 y k2 z ℏ2π2 2mL2 n2 x n2 y n2 z n2 x n2 y n2 zE1 E221 E122 E212 9E1 E211 E121 E112 6E1 E111 3E1 Estados Degenerados Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 30 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Os autovalores de energia serão Enxnynz Ex Ey Ez ℏ2 2mk2 x k2 y k2 z ℏ2π2 2mL2 n2 x n2 y n2 z n2 x n2 y n2 zE1 E221 E122 E212 9E1 E211 E121 E112 6E1 E111 3E1 Estados Degenerados Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 30 51 Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Equação de Schrödinger em Três Dimensões Poço Cúbico Infinito Os autovalores de energia serão Enxnynz Ex Ey Ez ℏ2 2mk2 x k2 y k2 z ℏ2π2 2mL2 n2 x n2 y n2 z n2 x n2 y n2 zE1 E221 E122 E212 9E1 E211 E121 E112 6E1 E111 3E1 Estados Degenerados Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 30 51 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito LLL Lx Ly L Rene n2 2p am 2 2 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3151 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito L L L Lx Ly L 2 E hen nm 4 ny ne 2m l2 Le 12 cee A 4i1 Om BB BB oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3151 Equacdo de Schrodinger em Trés Dimensdes Pogo Cabico Infinito Lly b E913 L L L Lx Ly L E512 oo E199 2 E hen nm 4 ny ne 2m L2 L L2 a E43 hen 1 1 1 E213 Fin a taa ttt 2m 4 Le 3 Fig Ei Quebra de Degenerescéncia ues B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3151 Atomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Para aplicar o formalismo ao estudo do atomo o potencial é do tipo Ze Vr k r i w aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3251 Atomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Para aplicar o formalismo ao estudo do atomo o potencial é do tipo Ze Vr k r Em coordenadas cartesianas ficaria Ze Vx y Zz k 5 3 2 Vx ty Z agg iia ee aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3251 Atomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Para aplicar o formalismo ao estudo do atomo o potencial é do tipo Ze Vr k r e Em coordenadas cartesianas ficaria Ze VOGy2 k eS Xe Yo Z E melhor usar coordenadas esféricas por causa da simentria de V so depende de r age ia es aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3251 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Definição x y z r θ φ ˆr ˆθ ˆφ x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ A Ar ˆr Aθˆθ Aφ ˆφ ˆr sen θ cos φˆx sen θ sen φˆy cos θˆz ˆθ cos θ cos φˆx cos θ sen φˆy sen θˆz ˆφ sen φˆx cos φˆy Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 33 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Definição x y z r θ φ ˆr ˆθ ˆφ x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ A Ar ˆr Aθˆθ Aφ ˆφ ˆr sen θ cos φˆx sen θ sen φˆy cos θˆz ˆθ cos θ cos φˆx cos θ sen φˆy sen θˆz ˆφ sen φˆx cos φˆy Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 33 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Definição x y z r θ φ ˆr ˆθ ˆφ x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ A Ar ˆr Aθˆθ Aφ ˆφ ˆr sen θ cos φˆx sen θ sen φˆy cos θˆz ˆθ cos θ cos φˆx cos θ sen φˆy sen θˆz ˆφ sen φˆx cos φˆy Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 33 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Definição x y z r θ φ ˆr ˆθ ˆφ x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ A Ar ˆr Aθˆθ Aφ ˆφ ˆr sen θ cos φˆx sen θ sen φˆy cos θˆz ˆθ cos θ cos φˆx cos θ sen φˆy sen θˆz ˆφ sen φˆx cos φˆy Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 33 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Definição x y z r θ φ ˆr ˆθ ˆφ x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ A Ar ˆr Aθˆθ Aφ ˆφ ˆr sen θ cos φˆx sen θ sen φˆy cos θˆz ˆθ cos θ cos φˆx cos θ sen φˆy sen θˆz ˆφ sen φˆx cos φˆy Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 33 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Definição x y z r θ φ ˆr ˆθ ˆφ x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ A Ar ˆr Aθˆθ Aφ ˆφ ˆr sen θ cos φˆx sen θ sen φˆy cos θˆz ˆθ cos θ cos φˆx cos θ sen φˆy sen θˆz ˆφ sen φˆx cos φˆy Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 33 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Definição x y z r θ φ ˆr ˆθ ˆφ x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ A Ar ˆr Aθˆθ Aφ ˆφ ˆr sen θ cos φˆx sen θ sen φˆy cos θˆz ˆθ cos θ cos φˆx cos θ sen φˆy sen θˆz ˆφ sen φˆx cos φˆy Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 33 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Definição x y z r θ φ ˆr ˆθ ˆφ x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ A Ar ˆr Aθˆθ Aφ ˆφ ˆr sen θ cos φˆx sen θ sen φˆy cos θˆz ˆθ cos θ cos φˆx cos θ sen φˆy sen θˆz ˆφ sen φˆx cos φˆy Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 33 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Definição x y z r θ φ ˆr ˆθ ˆφ x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ A Ar ˆr Aθˆθ Aφ ˆφ ˆr sen θ cos φˆx sen θ sen φˆy cos θˆz ˆθ cos θ cos φˆx cos θ sen φˆy sen θˆz ˆφ sen φˆx cos φˆy Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 33 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Definição x y z r θ φ ˆr ˆθ ˆφ x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ A Ar ˆr Aθˆθ Aφ ˆφ ˆr sen θ cos φˆx sen θ sen φˆy cos θˆz ˆθ cos θ cos φˆx cos θ sen φˆy sen θˆz ˆφ sen φˆx cos φˆy Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 33 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de caminho x y z r r sen θ θ φ dr dr dr dθ dφ rdθ r sen θdφ dl Posição r dlr dr dlθ rdθ dlφ r sen θdφ dl dr ˆr rdθˆθ r sen θdφˆφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 34 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de caminho x y z r r sen θ θ φ dr dr dr dθ dφ rdθ r sen θdφ dl Passo na direção ˆr dlr dr dlθ rdθ dlφ r sen θdφ dl dr ˆr rdθˆθ r sen θdφˆφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 34 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de caminho x y z r r sen θ θ φ dr dr dr dθ dφ rdθ r sen θdφ dl Passo na direção ˆθ dlr dr dlθ rdθ dlφ r sen θdφ dl dr ˆr rdθˆθ r sen θdφˆφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 34 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de caminho x y z r r sen θ θ φ dr dr dr dθ dφ rdθ r sen θdφ dl Passo na direção ˆθ dlr dr dlθ rdθ dlφ r sen θdφ dl dr ˆr rdθˆθ r sen θdφˆφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 34 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de caminho x y z r r sen θ θ φ dr dr dr dθ dφ rdθ r sen θdφ dl Passo na direção ˆθ dlr dr dlθ rdθ dlφ r sen θdφ dl dr ˆr rdθˆθ r sen θdφˆφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 34 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de caminho x y z r r sen θ θ φ dr dr dr dθ dφ rdθ r sen θdφ dl Passo na direção ˆφ dlr dr dlθ rdθ dlφ r sen θdφ dl dr ˆr rdθˆθ r sen θdφˆφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 34 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de caminho x y z r r sen θ θ φ dr dr dr dθ dφ rdθ r sen θdφ dl Passo na direção ˆφ dlr dr dlθ rdθ dlφ r sen θdφ dl dr ˆr rdθˆθ r sen θdφˆφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 34 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de caminho x y z r r sen θ θ φ dr dr dr dθ dφ rdθ r sen θdφ dl Passo na direção ˆφ dlr dr dlθ rdθ dlφ r sen θdφ dl dr ˆr rdθˆθ r sen θdφˆφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 34 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de caminho x y z r r sen θ θ φ dr dr dr dθ dφ rdθ r sen θdφ dl Somando dlr dr dlθ rdθ dlφ r sen θdφ dl dr ˆr rdθˆθ r sen θdφˆφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 34 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de área x y z r r sen θ θ φ dθ dφ rdθ r sen θdφ rdθ r sen θdφ da r2 sen θdθdφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 35 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de área x y z r r sen θ θ φ dθ dφ rdθ r sen θdφ rdθ r sen θdφ da r2 sen θdθdφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 35 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de área x y z r r sen θ θ φ dθ dφ rdθ r sen θdφ rdθ r sen θdφ da r2 sen θdθdφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 35 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de área x y z r r sen θ θ φ dθ dφ rdθ r sen θdφ rdθ r sen θdφ da r2 sen θdθdφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 35 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de volume x y z r r sen θ θ φ dθ dφ rdθ r sen θdφ dr r sen θdφ rdθ dr dτ r2 sen θdrdθdφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 36 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de volume x y z r r sen θ θ φ dθ dφ rdθ r sen θdφ dr r sen θdφ rdθ dr dτ r2 sen θdrdθdφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 36 51 Átomos de um Elétron Potencial Central e Coordenadas Esféricas Coordenadas polares esféricas Elemento de volume x y z r r sen θ θ φ dθ dφ rdθ r sen θdφ dr r sen θdφ rdθ dr dτ r2 sen θdrdθdφ Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 36 51 Se Potencial Central e Coordenadas Esféricas Operadores Diferencias em coordenadas esféricas o2 Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3751 Se Potencial Central e Coordenadas Esféricas Operadores Diferencias em coordenadas esféricas OT 10Tx 1 OT VT fr d Or r OO rsend Od age x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3751 Se Potencial Central e Coordenadas Esféricas Operadores Diferencias em coordenadas esféricas OT 10T 1 OT VI 4a dr rao Fsend d0 10 1 O 1 OA A r A 0A Vv ar een o 00 65 0 Tena Od gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3751 Se Potencial Central e Coordenadas Esféricas Operadores Diferencias em coordenadas esféricas OT 10T 1 OT Ta py oS 64 Vv dr rao Fsend d0 10 1 O 1 OA A rA A Vv ar Feend 996 59 0 Tena Od 10 OT 1 0 OT 1 8 T 2 2 T 2 PR oe Vv r Or x sen a0 sen rsen 0 A gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3751 Se Potencial Central e Coordenadas Esféricas Operadores Diferencias em coordenadas esféricas OT 10T 1 OT Ta py oS 64 Vv dr rao Fsend d0 10 1 O 1 OA A rA A Vv ar Feend 996 59 0 Tena Od 10 OT 1 O OT 1 T 2 2 T 2 PR oe a Vv r2 Or x sen a0 sen r2sen0 A2 gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3751 Atomos de um Elétron Equacao de Schrédinger h Ve Viry Ep 2h oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3851 Atomos de um Elétron Equacao de Schrédinger h Py VinyE yy et rp Ey 10 Oy 1 O Oy 1 Oy Voeslrs4 5 snp 5 ear x r2sen0 00 00 r2sen0 0 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3851 Atomos de um Elétron Equacao de Schrédinger h mY p Viry Ep 10 Oy 1 O Oy 1 Oy V2 oe 2Vr a gz sr UY ear x send 00 sen a r2sen0 0 h 10 09 i 1 O Oy hi 1 Oy nor x Dy send 06 sen 2 sendy age Vide Ee age ww aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3851 Atomos de um Elétron Equacao de Schrédinger h a p Viry Ep 10 Oy 1 O Oy 1 Oy ear x send 00 sno r2sen0 0 h 10 09 i 1 O Oy hi 1 Oy nor x Dy send 06 sen 2 sendy age Vide Ee W210 500 hl 1 O Oy 1 y Dn Or x ne saa sen ane Vie Ee abe x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3851 Atomos de um Elétron Equacao de Schrédinger h mY p Viry Ep 10 Oy 1 O Oy 1 Oy V2 2Vr g ear x send 00 sen a r2sen0 0 h 10 09 i 1 O Oy hi 1 Oy nor x Dy send 06 sen 2 sendy age Vide Ee W210 500 hl 1 O Oy 1 y Dn Or x ne saa sen ane Vie Ee Parece complicado 6 mesmo mas da pra fazer aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3851 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis pr 4 RrFAg dag Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3951 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis pr 4 RrFAg 1 ddR RR 1 d df 1 g ser3a87 sfS Vin Rfe ERS Qu re dr 7 Qu r2 aes sen Sen20 a VrRfe 6 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3951 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis pr 4 RrFAg hid dR h R 1 d df 1 dg sers3a8z sf VNR ERS Qu re dr 7 Qu r2 aes sen Sen20 VrRfe 6 he lidndR hW1f 1 id df 1 ldg Dp ZR dr Oy lara sno ate wel VNE ade Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3951 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis or0 RrFAg R12 d5dR RR 1 d df 1 dg ser3a87 sf S Vin Rfg ERA Qu re or 7 Qu r2 ata sen Sen20 VRie 6 he liddR fh 1f 1 1d df 1 ldg Oa ZR dr Oa lara sno ate al VQE 1d dR 1 ld df 1 ldg 2ur Pr i 4 8 yw Fy R dr aa7a sen aie wel pe Vr E0 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3951 RR SP272C50 cle Variaveis Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis pr 4 RrFAg R1iddR WR 1d df 1 dg ser3a87 sf S Vin Rfg ERA Qu re or 7 Qu r2 ata sen Sen20 VRie 6 h lid dR fh 1f 1 1d df 1 ldg 2p ZR dr Oy lara sno ate al VNE 1d dR 1 1d df 1 ldg 2Qur Pp oe 8 FE wp FE R dr aa7a5 sen aie ae pe Vr E0 1 d 5dR 2Qur 1 1d df 1 1 dg Po wy ey a Rr dr pe Vr EI am do sen 0S sen 20 g de oad Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3951 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis or 06 RrFAg hei d dR A Rol d df 1 dg ser3a87 sf S Vin Rfg ERA Qu re or 7 Qu r2 ata sen Sen20 VRie 6 h lid dR fh 1f 1 1d df 1 ldg 2p ZR dr Oy lara sno ate al VNE 1d dR 1 ld df 1 ldg 2ur 2 Pp i 4 2 22 8 FF wey fy R dr aa7a sen aie wel pe Vr E0 1 d 5dR 2Qur 1 1d df 1 1 dg Po SE wey fy a 2 Rr dr pe Vr EI am do sen 055 sen 20 g de Primeiro membro so depende de r segundo s6 depende de 6 e aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 3951 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis Ld 5dR 2pr r Vr E 241 pa 7S He MON E e 1 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4051 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis Ld odR 2ur 1 1d df 1 1 dg 2 1 sen 0 F8 dd sno Sen20 ga dee 9 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4051 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis Ld odR 2ur 1 1d df 1 1 dg er p 8 1 sen 0 F8 dd sno Sen20 ga dee 9 send d df 1 dg 5 2 1 0 dO sen 7558 e 1sen0 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4051 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis 1d 5dR Quur 1 1d df 1 1 dg se OL 1 sen 0 F8 dd sno Sen20 ga dee 9 send d df 1 dg 5 ne 1 0 dO sen 7558 e 1sen0 1 dg sené d df 2 Fe eS 1 alo de 0 do sen 5 e 1send ade Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4051 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis 1d 5dR Quur 1 1d df 1 1 dg send ayaa 5G5 sent giayact ETD send d df 1 dg 5 F0 dO sen 05 alode l 1sen0 1 dg sené d df 2 9 oe 1 a alo de 0 do sen 5 1send m ade Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4051 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis 1d 5dR Quur 1 1d df 1 1 dg send ayaa 5G5 sent giayact ETD send d df 1 dg 5 F0 dO sen 05 alode l 1sen0 1 dg sené d df 2 9 oe 1 a alo de 0 do sen 5 1send m 1 dg 2 7 WD m g dé ade Bw aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4051 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis 1d dR Quur 1 1d df 1 1 dg send Fyn 05 senzv tay aot 7 MED send d df 1 dg 5 F0 dO sen 05 alode l 1sen0 1 dg sené d df 2 9 8 1 alo de 0 do sen 5 1send m 1 dg 2 7 WD m g dé sené d df 27 2 ite way ag 8200Gq E sen dm 1 aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4051 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Átomos de um Elétron Separação de Variáveis Átomos de um Elétron Separação de Variáveis d2g dφ2 m2gφ d2g dφ2 m2gφ 0 λ2 m2 0 λ im gφ eimφ gφ 2π gφ eimφ2π eimφ eimφei2mπ eimφ ei2mπ 1 cos 2mπ i sen 2mπ 1 cos 2mπ 1 m 0 1 2 Número quântico m quantização da componente z do momento angular Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 41 51 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis d df sen O75 sen 0 1 sen20F0 mF 6 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4251 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis f sen 0 sen 0 1sen20F0 mF0 d df 2 2 sen 0 sen 6 1sen6 mf0 0 oad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4251 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis f sen 0 sen 0 1sen20F0 mF0 d df 2 2 sen O75 sen ar 1 sen6 mf0 0 Equagdo Associada de Legendre aed B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4251 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis f sen 0 sen 0 1sen0F0 mF0 d df 2 2 sen O75 sen ar 1 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Separacdo de Variaveis Para a fundo de onda ser finita em 06 0 e 0 am necessario 012e m 1 0 m0 Yoo0 4n age x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4351 Atomos de um Elétron Separacdo de Variaveis Para a fundo de onda ser finita em 06 0 e 0 am necessario 012e m 1 0 m0 Yoo0 4n m1 Yi19 sen dei oN 8 1 m0 190 6 2 cosd 109 4 47 cos m1 Yi10 1 2 sen de Sir Estao normalizadas e formam uma base ube ww aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4351 Atomos de um Elétron Interpretacdo Fisica Equacdo de Schrédinger W100p W1f 1 a sen 902 1 1 Oy LVNpE r J Qu r Or Or 2 r send 06 00 sen0 07 ade aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4451 Atomos de um Elétron Interpretado Fisica e Equacdo de Schrodinger W1009 W1f 1 a dy 1 Ay s vr JSs send 5 VinpE Qu r2 Or Or 22pr send 00 a0 sen20 dg Vye Representa a energia Cinética ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4451 Atomos de um Elétron Interpretado Fisica e Equacdo de Schrodinger W1009 W1f 1 a dy 1 Ay sS rr J SS I send J SI TH Ve Hie Qu r2 Or Or 22pr send 00 00 sen 20 A2 ie Representa a energia Cinética Representa a energia Potencial ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4451 Atomos de um Elétron Interpretado Fisica e Equacdo de Schrodinger W1009 W1f 1 a dy 1 Ay sS rr J SS I send J SS TH Ve HE Qu r2 Or Or 22pr send 00 00 sen 20 A2 ie Representa a energia Cinética Representa a energia Potencial e Representa a energia Total ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4451 Atomos de um Elétron Interpretacdo Fisica e Equacdo de Schrodinger W7100p W1f 1 a dy 1 Ay Se fr J SS I sen J SS TVG HE Qu r2 Or Or 2Qpr send 00 00 sen 20 A2 ie Representa a energia Cinética Representa a energia Potencial e Representa a energia Total Energia Cinética de Translacdo ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4451 Atomos de um Elétron Interpretacdo Fisica e Equacdo de Schrodinger W7100p W1f 1 a Oy 1 Ay r JS send VirjpE Qu r Or Or 2mr send 00 00 Sen26 a Me Representa a energia Cinética Representa a energia Potencial e Representa a energia Total Energia Cinética de Translacdo Energia Cinética de Rotacdo age B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4451 Atomos de um Elétron Interpretacdo Fisica e Equacdo de Schrodinger W7100p W1f 1 a Oy 1 Ay 5 vr send VinkgpE Qu r Or Or 2mr send 00 00 Sen26 a Me Representa a energia Cinética Representa a energia Potencial e Representa a energia Total Energia Cinética de Translacdo Energia Cinética de Rotacdo e Classicamente pr L 44 VrE Qu Qur r age B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4451 Atomos de um Elétron Momento Angular Orbital Operador do quadrado do momento radial p 72 2 peo r2Or Or ade B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4551 Atomos de um Elétron Momento Angular Orbital Operador do quadrado do momento radial p 72 2 peo r2 Or Or Operador do quadrado do momento angular A 1 O O 1 h seno sen 6 06 00 sen6 O ade x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4551 Atomos de um Elétron Momento Angular Orbital 1 O O 1 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Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4651 Atomos de um Elétron Momento Angular Orbital a 1 O O 1 2 42 4 Oo oa t Ler h laa sen sen 26 lr 80 1 O O 1 42 a og So n sam sen Send a RU Yem 4 1 O 0 1 hR ly n nf 55 sno Sen 26 oa in 00 WPRr 00 1 YomO0 EL Dh gr 8 Lr0 gad x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4651 Atomos de um Elétron Momento Angular Orbital a 1 O O 1 2 2 Ler h laa sen sen 26 lr 80 1 O O 1 72 7 a 7 n sam sen Send a RU Yem 4 1 O 0 1 hR ly n nf 55 sno Sen 26 oa tm9 oy WPRr 00 1 YomO0 EL Dh gr 8 L9r 04 L 001h L 1h Lz mh ry x aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4651 Átomos de um Elétron Momento Angular Orbital Átomos de um Elétron Momento Angular Orbital Gustavo UFPE Física Moderna 1 07 de dezembro de 2021 47 51 Atomos de um Elétron Fundo Radial e Quantizado da Energia Ld 5dR 2p 5 2 wr ey ee 41 var n pe WI EL te 1 oad B aa ee Fisica Moderna 1 07 de dezembro de 2021 4851 Atomos de um Elétron Fundo Radial e Quantizagdo da Energia Ld 5dR 2pr 22 po ET wr Ey 1 wa ge ge MO E 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