Lista 1 com Gabarito-2021 2

Professor: Edson Cilos Vargas Junior Disciplina: Calculo 3 Lista 1 ”Para Tales... a questao principal nao era o que sabemos, mas como sabe- mos.” (Aristoteles) 0. Estudar as secoes “Integrais Duplas sobre Retangulos” e “Integrais Iteradas” do livro de calculo do James Stwart. Na sexta edicao tais secdes sao: 15.1 e 15.2. Nos exercicios a seguir, calcule a integral iterada. 3 pl 1. [XY | | (1 + 4ay)dxdy 1 JO 2 2 2. [X] | | sen(x)cos(y)dydx 0 Jo 4 p2 3. ere | | (E+) dydx 1/1 \Y 2 T 4. [Yk] | | rsen?(0)d0dr 0 Jo 2 pl 5. [wey] | | (2x + y)*dady 0 Jo 1 pl 6. [vy] | | (u — v)?dudv 0 Jo 1 pl 7. [YY] Dado n natural, quanto é | | (u—v)"dudv? Apés calcular, separe a 0 Jo resposta final em dois casos: n par e n impar. Calcule a integral dupla: 8. [yyy] /I aye” YdA, na qual R = [0,1] x [0,2]. R Nos exercicios a seguir, calcule 0 volume do solido. 9. [¥xv¥] Sdlido que se encontra abaixo do plano 3x + 2y +z = 12 e acima do retangulo R = [0,1] x [—2, 3}. 10. [Yxv¥k] Sdlido que esta abaixo do paraboloide eliptico = + we +z=1eacima do retangulo R = [—1, 1] x [—2, 2]. 1 11. [YXx¥x¥¥] Sdlido que é delimitado pela supeficie z = x sec’y, e pelos panos z = 0, r=0,0=2,y=Ocy=7/4. 12. [Xxvxx¥] Sdlido que é delimitado pelo paraboloide z = 2+ x? + (y — 2)”, e pelos panos z=1,7v¢=1l1,r=-l,y=0ley=4 Use o Wolfram (ou outra ferramenta) para calcular as seguintes integrais e depois responda a pergunta: 1 pl t—Y —§— dydx, LL ww 1 pl t—Y —§— dxdy. | | (x + y)* 13. [¥x¥¥] O teorema de Fubini se aplica a qualquer funcao integravel? Justifique sua resposta, explicando o que acontece nas integrais acima. 14. [Ykxxexkxr¥] Vimos em aula a definicado da integral dupla por somas de Riem- man: Definigao 0.1 Riemman A integral dupla de f : R — R sobre R, na qual R é um retangulo, € dada por: Jf teuyaa = im SY Fey, R , i=1 j=l se esse limite existir. Na igualdade acima, (x;;,y;;) € qualquer ponto da partigdo Rij = [w;-1,2;] X [yj-1, yj] de R, comi € {1,---,n} ej € {1,--- ,m}, sendo (x;) partigao de la, b| e (yj) particao de [c,d], Av = x;,- a4) = boa Ay = yj -Yy-1 = fe eAA= Ardy. Faca a construcao da definicao acima, explicando porque faz sentido definir a inte- gral dessa forma. Além disso, explique a interpretacao geométrica da integral dupla sobre R para quando f é uma fungao nao-negativa. Explique os seus calculos e fagca desenhos para tornar a sua resposta mais completa. 2 Gabarito 1. 10; 2. 1; 3. 21 2 ln(2); 4. π; 5. 261632 45 ; 6. 0; 7. 1+(−1)n (n+1)(n+2), portanto, a integral ´e zero se n ´e impar e vale 2 (n+1)(n+2) se n par; 8. 1 2(e2 − 3); 9. 95 2 ; 10. 166 27 ; 11. 2; 12. 64 3 ; 13. O teorema de Fubini n˜ao se aplica a qualquer fun¸c˜ao, ´e necess´ario algumas condi¸c˜oes para que se o Teorema se aplique. A vers˜ao mostrada em aula, exigia que a fun¸c˜ao fosse cont´ınua no retˆangulo em quest˜ao. No exemplo ilustrado, a fun¸c˜ao claramente n˜ao ´e cont´ınua em (0, 0) e portanto a princ´ıpio n˜ao temos garantia de que o Teorema de Fubini possa ser aplicado (essa fun¸c˜ao ali´as, n˜ao satisfaz as condi¸c˜oes do Teorema de Fubini para fun¸c˜oes descont´ınuas - mas tal assunto n˜ao abordamos em aula). Usando o Wolfram, pode-se ver que as duas integrais possuem valores diferentes e portanto a ordem das integrais iteradas altera o resultado! 14. Ver se¸c˜ao 15.1 do livro C´alculo (James Stwart) ou ent˜ao consultar notas de aula. 3