Lista 5 Livro-2022 1

CALCULO VETORIAL 991 porque f (x) = 0. Portanto, a area de S é Qn [b A= {| |r, X ry|dA = | fo)VT + LF @OL dx do D a b =2n |’ fv + TF OP ax a Isso é precisamente a f6rmula que usamos para definir a drea de uma superficie de revolugao no calculo com uma tnica variavel (8.2.4). ca Exercicios 1-2 Determine se os pontos P e Q estao na superficie dada. 17. x = cos*u cos*v, y = sen*u cos*v, z = sen?v 1. r(u, v) = (2u + 30,1 + 5u—0,2+u+) _ _ _ PT, 10, 4), O(5, 22, 5) 18. x =(1 — |ul) cos v, y = (1 — ful) senv, z= u 2 r(u,v)=utv,w—v,u + v) ; : i PB, —1, 5), Q(-1, 3, 4) = z a a LEXTTRS : 3-6 Identifique a superficie que tem a equac4o paramétrica dada. LES oe LON eeepc ae AS GN \ | i ‘ USE) MSI \ | JJ 30 ortuv)=(ut+ vit B-vjt+d+4ut 5v)k ITN Pe YE ) L {| \ PAC ee } aa i WS 4. r(u,v) =2senuit+ 3cosuj+vk,0O<v<2 OEE) ‘ Ae WS WY NS WY CW WY XN _ 2_ 2 \ Y Wy 5. rs.) = (s,,2— 8°) : wy . ay 6. r(s, t) = (s, sen 2t, s?, s cos 21) _ : . ul z IV z 7-12 Use um computador para tracar o grafico da superficie para- metrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressao SS = quais s4o as curvas da grade que tém u constante e quais tém v cons- A - = SS 2 rav)=W,v,ut+v), -l<u<1,-l<v<1 ZAIN _ Xx Ww SOE 8 r(u,v) = (u,v, -—v), -—2<u<2,-2<v<2 Wi : a y \i y 9. r(u, v) = (ucosv,usenv,w), -—l1<u<1,0<v<27 10. r(u, v) = (u, sen (u + v), sen v), Vv Z VI Z TT SUS, -TSVST /| p 11. x = sen v, y = cos u sen 4v, z = sen 2u sen 4, = =e SSH 4 0<u<2n,-mi2 <0 < ml Sea en SS 12. x=senu, y=cosusenv, z=senp, = y EES : SUTIN O<us 27, O0O<vs27 x a x SS" 13-18 Faga uma correspondéncia entre as equacgées e os graficos ww identificados por I-VI e justifique sua resposta. Determine quais familias de curvas da grade tém u constante e quais tém v constante. 13. r(u, v) = ucos vi + usenvj + vk 19-26 Determine uma representacAo parametrizada para a superficie. 14. r(u,v) =ucosvitusenvj+senuk, -7SuS7 P sao P P P . . 19. O plano que passa pela origem que contém os vetores i — je 15. r(u, v) = sen vi + cos u sen 2vj + sen u sen 20k ink que P P gem 4 J . x= + 16. x= (1 — WG + cos v) cos 47ru, 20. O plano que passa pelo ponto (0, —1, 5) e contém os vetores y = (1 — w)(3 + cos v) sen 47ru, (2, 1, 4) e (—3, 2, 5) z=3u+(1—u)senv (SE necessario usar uma calculadora gréfica ou computador E necessério usar um sistema de computagao algébrica 1. As Homework Hints estéo disponiveis em www.stewartcalculus.com 992 CALCULO 21. A parte do hiperboloide 4x* — 4y? — 2? = 4 que esté em frente 37. r(u, v) = wit 2usenvj +ucosvk;u=1,v=0 do plano yz 38. ru, v) = (1 —w—v*)i- vj —uk;(-1, -1, -1) 22. A parte do elipsoide x? + 2y? + 3z* = 1 que se encontra a es- querda do plano xz 39-50 Determine a area da superficie. 23. A parte da esfera x2+ y? + 2 = 4 que se situa acima do cone 39. A parte do plano 3x + 2y + z = 6 que esta no primeiro octante = ./y2 + 2 ? * y 40. A parte do plano com equagao vetorial 24. A parte da esfera x°+ y?+ z?= 16 que se encontra entre os pla- ru, v) = (u + v,2 — 3u, 1 + u— 0) que é dada por nosz= —2ez=2 O<uS2,-1sv<1 25. A parte do cilindro y* + z’ = 16 que se encontra entre os planos 41. A parte do plano x + 2y + 3z = 1 que esta dentro do cilindro x=Oex=5 wty=3 26. A parte do plano z = x + 3 que esta dentro do cilindro x? + y’= 1 42. A parte do cone z = x” + y? que se encontra entre o plano TT y=xeocilindro y = x’ 27-28 Use um sistema de computagao algébrica para produzir um . > grafico semelhante ao das figuras. 43. A superficie z = 3(¢7 + y*"),0<x<1,0<y<1 27. _ 28. 44. A parte da superficie z= 1 + 3x + 3y’ que esté acima do trian- 3 a ——— gulo com vértices (0, 0), (0, 1) e (2, 1) fa EES He KES EK 45. A parte da superficie z = xy que esta dentro do cilindro HHH KY a 2 2] FEL (a 0 Ke nes x+y . tee : WES = OTE Wee vo - RA QS 46. A parte do paraboloide x = y? + z* que esta dentro do cilindro WAS SSH 24 229 Wks SQ REEF yrz Rss 4 | -1 3 SSS . 0 0 0. 47. A parte da superficie y = 4x + z* que se encontra entre os pla- ~ y 05 . , 11 * nosx=0,x=1,z=Oez=1 48. helicoid iral ao vetorial 29. Determine as equacGdes paramétricas da superficie obtida pela O he co ¢ (ou ai m “spe ) com equagao vetoria ~ _ . ru, v) =ucosvitusenvjt+vk,0OSu<1,0Sv<7 rotagdo da curva y = e*, 0 < x S 3, em torno do eixo x e use- ~as para tracar o grafico da superficie. 49. A superficie com equacdes paramétricas x = uw’, y = uv, = ; - ae eer z=30,0<u<10<v<2 30. Determine as equacGes paramétricas da superficie obtida pela rotagao da curva x = 4y’— y*, —2 < y < 2, em torno do eixo y 50. A parte da esfera x7 + y? + z? = b* que esta dentro do cilindro e use-as para tracar o grafico da superficie. e+ y=a,onde0<a<b 31. A i j 4 (a) O que acontecera com o tubo espiral do Exemplo 2 (veja a 51. Sea equacao de uma superficie S é z= f(x,y), onde x2 + °< R®, Figura 5) se substituirmos cos u por sen uv e sen u por cos u? - - : ee e vocé sabe que |f,| < 1 e |f| < 1, 0 que vocé pode dizer sobre (b) O que acontece se substituirmos cos u por cos 2u e sen u por A(S)? sen 2u? : AG . _ a 52-53 Encontre a area da superficie com preciséio de quatro casas 32. A superficie com as equagGes paramétricas oo . La: : decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional x = 2 cos 0 + rcos(@/2) e usando sua calculadora para estimar a integral. y = 2 sen @ + rcos(6/2) 52. A parte da superficie z = cos (x? + y’) que esta dentro do cilin- z = rsen(6/2) dro x’ + y?= 1 onde — ; <rs ; e 0 <@ S 27, é chamada Faixa de Mobius. 53. A parte da superficie z = ery que esta acima do circulo Trace o grafico dessa superficie sob varios pontos de vista. O rt+y<4 que ha de estranho nela? : : . ; . ; 54. Determine, com precisado de quatro casas decimais, a 4rea da 33-36 Determine uma equagao do plano tangente a superficie para- parte da superficie z = (1 + x2V/(1 + y?) que esta acima do qua- metrizada dada no ponto especificado. drado |x| + | y| =< 1. Ilustre, tragando o grafico dessa parte de ficie. 33. x=utv, y=3W, c=u-v; (2,3,0) eee 55. (a) Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a 4 x=w+l, ysl, c=urto; (5, 2, 3) Segdo 15.1) com seis quadrados para estimar a area da su- 35 _ i+ ttpk w=Lv=aB perficiez = VU +x? +y),05x<6,0<y4. - ru.v)=ucosvitusenvj tok; u= loam (b) Use um sistema de computagio algébrica para aproximar 36. r(u,v) =senui+cosusenvj+senvk; u= 7/6, = 7/6 area de superficie da parte (a) até a quarta casa decimal. I Compare com sua resposta para a parte (a). 37-38 Determine uma equagao do plano tangente a superficie para- . . .. . . metrizada dada no ponto especificado. Desenhe a superficie e o 56. Determine a area da superficie de equagao vetorial plano tangente r(u, Vv) = (cos*u cos*v, sen3u cos3v, sen2v), 0 <u < 7, CALCULO VETORIAL 993 0 < v S 27. Dé sua resposta com precis4o de quatro casas de- 62. A figura mostra a superficie criada quando o cilindro cimais. y? + 2 = | intercepta o cilindro x* + 2 = 1. Encontre a drea desta superficie. 57. Determine a drea exata da superficie z = 1 + 2x + 3y + 4y’, . 1<x<4,0<y<l. ” _— 58. (a) Determine, mas nfo calcule, a integral dupla da area da su- a perficie com as equacGes paramétricas x = au cos BD, [ y = busenv,z=w,0<uS2,0<0 S27. (b) Elimine os parametros para mostrar que a superficie é um x ‘ir paraboloide eliptico e escreva outra integral dupla que for- y nega sua area. (c) Use as equacgdes paramétricas da parte (a) com a = 2 e b = 3 para tracar o grafico da superficie. 63. Encontre a drea da parte da esfera x? + y? + 2? = a? que esta (d) Para 0 caso a = 2, b = 3, use um sistema de computacao al- dentro do cilindro x” + y’ = ax. gébrica para achar a drea da superficie com preciso de qua- 64. (a) Determine a representacao parametrizada do toro obtido ao tro casas decimais. girar pelo eixo zo circulo no plano xz com centro (b, 0, 0) e 59. (a) Mostre que as equacGes paramétricas x = a sen u cos v, raio a < b. [Dica: Tome-se como parametros os angulos 6 e y=bsenusenv,z=ccosu,0 Su<7,0 Sv S 27, re- = a mostrados na figura.] .. presentam um elipsoide. (b) Use as equacoes paramétricas encontradas na parte (a) para mo ~ ce . tragar o grafico do toro para diversos valores de ae b. (b) Use as eqnagoes paramétricas da parte (a) para tragar 0 gra- (c) Use a representag4o parametrizada da parte (a) para achar a fico do elipsoide para o caso a = 1,b = 2,c = 3. Z . : . too area do toro. (c) Determine, mas nao calcule, uma integral dupla que da a area de superficie da parte do elipsoide da parte (b). : 60. (a) Mostre que as equag6es paramétricas x = a cosh u cos v, y = bcosh u sen », z = c senh u representam um hiperbo- (x, z) loide de uma folha. (b) Use as equagées paramétricas da parte (a) para tragar o gra- fico do hiperboloide para 0 caso a = 1,b = 2,c =3. (c) Determine, mas nao calcule, a integral dupla que da a area de y superficie da porg4o do hiperboloide da parte (b) que esta entre os planos z = —3 ez = 3. 61. Encontre a drea da parte da esfera x? + y* + 2? = 4z que esta den- x (b, 0, 0) tro do paraboloide z = x* + y’. ci Integrais de Superficie A relacado entre integral de superficie e area de superficie é semelhante aquela entre a inte- gral de linha e o comprimento de arco. Suponha que f seja uma funcao de trés variaveis cujo dominio inclui uma superficie S. Definiremos a integral de superficie de f sobre S de tal forma que, no caso em que f (x, y, z) = 1, o valor da integral de superficie seja igual a area da superficie de S$. Comecamos com superficies parametrizadas e trataremos em seguida o caso especial onde S é 0 grafico de uma funcao de duas variaveis. M8 Superficies parametrizadas Suponha que a superficie S tenha equagao vetorial r(u, V) = x(u, v) i+ yu, v) j + z(u, v)k (u,v) € D Vamos admitir inicialmente que 0 dominio dos parametros D seja um retangulo e vamos divi- di-lo em sub-retangulos Rj; com dimensdes Au e A v. Entao, a superficie S é dividida em reta- lhos correspondentes S;,, como na Figura 1. Calculamos fem um ponto P; de cada retalho, multiplicamos pela area AS; do retalho e formamos a soma de Riemann » df (Pi) ASi; i=1 j= APENDICES A85 BQ) a = Mx > 0 EXERCICIOS 16.5 LLLIANIWANNNS 1. (a) —x?i + 3xy j — xzk (b) yz LIT ARS 3. (a) ze"i + (aye® — yze")j—xek —(b) ye +e’) ee OE 5. (a) 0 (b) 2/Vx2 + y2+ 22 sat of epee 7. (a) (—e’ cos z, —e® cos x, —e*cos y) REM \ tl Ao (b) e*sen y + e’ sen z + esen x SON) oe 9. (a) Negativa (b) rotF =0 NANA Pree 11. (a) Zero (b) rot F pontos na direc4o negativa de z y= Cx 13. f(x, y,z) = xy’ + K 15. Nao conservativo EXERCICIOS 16.2 1 f@&yo= xe + K 19. Nao 1.3(145"-1) 3. 16384 BP EXERCICIOS 16.6 aV7r WgV4e-1) 22(e-1l 6. % 1. P: nao: Q: sim 17. (a) Positiva (b) Negativa 19. 45 3. Plano por (0, 3, 1) contendo os vetores (1, 0, 4), (1, —l, 5) 21. $ — cos 1 — sen 1 23. 1,9633 25. 15,0074 5. Paraboloide hiperbdlico 21. 30 + 5 25 7. rs SST FF sey ZS Ss 0 FFE aS PIN JELLIES wats ELL II IIS “75 LEE RII TILES il -2 LOSES x 29. (a)! — Le (b) 017 ava 2.1 u constante y 1 1 Fi(r(1)) 8. u constant Ke F((4)) We ey v2 RH Zo” REE ~v constante o LPO) 21 7° SS Lo (EAN) _ IRE FFE) 172 704 \2 ne EEEEFRE 31. = G45 705V2(1 — e 47) 33. 27k, (4/77, 0) - =1 5632705 1 Pie 35. (a) x= (I/m) | xp(x, y, z) ds, 0 ok x y = (lim) |. yp, y, 2) ds, 1 1 A KON 0, 0, 3 a ANY HNN, ZS eee gh? +g? YEW Pa 7. h=k7-3)h=koa-3) 3.27 A 3 RYENIVesecconierth 43. (a) 2mait+ 6mbtj,0<t<1 — (b) 2ma? + 3 mb? 20 HNN Pee TR 45. ~1,67 X 10‘ pés-Ib 47. (b) Sim) 51. ~22.J vconsame / WEEg ROSS RT RAST z - SY \Y Q RY] Ly EXERCICIOS 16.3 “i YR 1.40 3. f(x,y) =x? — 3xy + 2y?- By + K o ai 0. x . a 1 ’ 5. Nao conservativo 7. f(x y) = yes + xsenyt+ K sconstante 9 fay =xInytxry+K 5. @foyd=act2 ()77 nya ennxe Maye =ycr= = 24 122 7. @fyd=ye" 4 19.2 A. y=yz=4x= Vit yt gz 21. Nao importa qual curva é escolhida. 23. x = 2 sen cos , y = 2 sen d sen 8, 23. 30 25. Nao 27. Conservativo z= 2c0s $, 056 < W/4,0 50 S27 31. (a)Sim = (b)Sim_~—(c) Sim foux=x,y=y,7=V4—2-y, e+ <2] 33. (a) Nao (b) Sim (c) Sim 3. x =x,y =4cos 6,2 =4sen0,0<x<5,0<6<27 . 29. x =x, y = e* cos 8, x EXERCICIOS 16.4 oe teen b0<x=3 eS 1.8 33 5612 24 9M 1. -% 0<0<2m | HEE eee Zz Co 13.4 15. —8e + 48e% 1 19. BS 0) Nanna a 23. (4a/377, 4a/377) se a regiao € a porcao do disco x? + y* = a’ no pri- SSA a meiro quadrante oy SZ 2 5 5 27. 0 y x A86 CALCULO 31. (a) Direcdo reversa (b) Numero de bobinas duplas CAPITULO 16 REVIS AO 33. 3x-y+3z=3 35. BY _ ty t7= Teste Verdadeiro-Falso 2 2 3 1. Falso 3. Verdadeiro 5. Falso 37. —x+2z2=1 39.3V14 9 4. Vide 7. Falso 9. Verdadeiro —11.._ Verdadeiro 43. 75 (3-241) 45. (27/3)(2 V2 — 1) Exercicios a7. 3 V21 + 2n(2 + V21)—InvVI7] 49. 4 ; wa 1 2 4 . 1. (a) Negativa (b) Positiva 3. 6 V10 5. 55 2 BI. A(S) <V37R? 88. 13,9783 Ley 8 p-4e MW f@&y=et+rxe” 13.0 55. (a) 24,2055 —(b) 24,2476 _ Logg rid + mci 4 3070 CNS + VFO) 1-84 B. 527 5V5) 27. (w/60)(391V17 + 1) 3 16 29. 647/333. -$— 37.4 9. 21 59. (b) | AES CAPITULO 17 fA —_TJT_",WdJT HA EXERCICIOS 17.1 20 oH 1 y=cae*+oe* 3. y=cicos4x + ~ sen 4x Re 5. y = ce? + cr xe? 2y=a + me? -2 HY 9. y = e*(c; cos 3x + co sen 3x) Sy 1. y= CyeOB- D2 4 Eege7 3+ Dir ~? yo 2d o;! 13. P= ee: cos(i5 t) + 2 sen( io t)| 15. 10 Todas as solucdes de tendem a (c) an V36 sen4u cos?v + 9 sen4u sen2u + 4 cos2u sen2u du du NY 0 ou +~ a medida que x > +o. 61.4763. 2a — 2) 4 - , 1.49,09 3.9007 «= 55. I1Vl4 7. = (2V2 — 1) = 9. 171V14 11. -V21/3 13. 364-V2 77/3 VW. y=2e tek 1, yao 4 Axe 28 15. (7/60)(391V17 +1) 17. 167——s*92:«1 ssi 4 ny =c%0 ; a3 4 § y= er cos x — 3 sen x) 23. tg = 25. am 2 8 BH. Ar + 3 2B. y= e456 — 25. y = 5 cos 2x + 3 sen 2x 33. 4.5822 35. 3,4895 Mo ya2e de® yn 22 e 37. {| F- dS = |f [P(ah/ax) — Q + R(ah/az)|dA, onde ym ee Oxe 1 + o- 1 D = projegao de S no plano xz 31. Sem solucdo 39. (0, 0, a/2) 33. (b) A = n?7°/L’, n um inteiro positivo; y = C sen(n7rx/L) = 2 M1. @)L= i, (et ye, y, z) dS (b) 4 329V2a/5 35. (a) b — a A nm, n qualquer inteiro 43. Okg/s 45. Sara’en 47.1: 248 C cos a . (b)b-a=n7e a F sb a menos que cos b = 0, entao EXERCICIOS 16.8 cos 30 50 2-1 9 807 Eg gap SEMA d sen b 11. (a) 8177/2 bo —Z c cos a eee (c)b —a=nte— = e*’—— amenos que cos b = 0, entio 5 f= ey d cos b SS SSS Se, SSS SS sen b NSS Sees >| BeSSege ao SO EXERCICIOS 17.2 * 1. y=cie* + oe — XE cos 2x — & sen 2x 3. y = ci cos 3x + cosen 3x+ je" (c) x = 3 cos t, y = 3 sent, a 5. y =e(cr cos x + csenx) + pew z= 1— 3(cost + sen 2), 4 7. y=cosx+4senxt3et x — 6x 0<1<2n 2 9. y= e(3°-x +2) “0 11. 3 As solug6es sao assintdticas a -2 y= a cos x + 3 sen x quando —2 0 5 50 ~2 x— 0, Exceto por y,, todas as so- x y 3 8 lucdes aproximam-se de © ou 17. 3 *p —o quando x > —», EXERCICIOS 16.9 3 5. 3 7. 97/2 an) 1. 3277/3 13. 27 13. y, = Ae* + (Bx? + Cx + D) cos x + (Ex? + Fx + G) sen x 15. 3412/60 + u arcsen(V3/3) 15. yp, = Axe* + Bcos x + Csenx 17. 137/20 19. Negativa em P), positiva em P2 17. y, = xe~ [(Ax? +Bx + C) cos 3x + (Dx? + Ex + F)sen 3x] 21. div F > 0 em quadrantes I, I; div F < 0 em quadrantes II, [V 19. y=c, cos(5 x) + 2 sen(3 x) - £ cos x