Lista 7-2021 2

Calculo 2 - Lista 7 Prof. Fermin S$. V. Bazan 1. Encontre uma familia de solugoes (implicitas) a um parémetro para cada EDO abaixo. a. (x — y)dx + xdy = 0 b. xdx + (y — 2x)dy = 0 c. (y? + yx)dx — x*dy = 0 d wate e. —ydx + (a + ,/xy)dy = 0 f. 2a?ydx = (32° + y)dy ge g=5tt h. ys = 2+ Aye 2*/y i. (y+ cot(y/x)) dx — xdy =0 j. (w? + vy — y*)dx + xydy = 0 1. (Qx — 1)dx + (3y + 7)dy = 0 m. (54 + 4y)dzx + (4x — 8y?)dy = 0 n. (2y?x — 3)dx + (2yx” + 4)dy = 0 o. (y? — y?sen(x) — x)dx + (3xy? + 2y cos(x))dy = 0 p. a tu = 2re* — y + 6x? q. (1-3 +y)dx+ (1-3 +2) dy=0 r. (2?y° — mz) ee + xy? =0 s. 6rydx + (4y + 9x?)dy = 0 t. (Qy? + 3x)dx + 2xydy = 0 u. y(xa + y+ 1)dx + (a + 2y)dy = 0 v. (1+ y)dx + xIn(x) dy =0 Respostas: a. eln|2|+y =cx b. (« —y)In|x —y| =y + cla — y) c. ©+yln|2| = cy d. In(a? + y?) + 2arctan(y/x) = c e. 4x = y(In|yl — 0)? f. y® = c(a® + y)? g. (y/x)? =2In|a| +e h. e2x/y = 8 ln |y| + c i. ln | cos (y/x)| = 1 x + c j. y + x = cx2ey/x l. x2 − x + 3 2y2 + 7y = c m. 5 2x2 + 4xy − 2y4 = c n. x2y2 − 3x + 4y = c o. xy3 + y2 cos x − 1 2x2 = c p. xy − 2xex + 2ex − 2x3 = c q. x + y + xy − 3 ln |xy| = c r. x3y3 − arctan(3x) = c s. 3x2y3 + y4 = c t. y2x2 + x3 = c u. xexy + y2ex = c v. x + y ln(x) = c 2. Encontre uma fam´ılia de solu¸c˜oes expl´ıcitas (especificando um intervalo I onde as solu¸c˜oes sejam v´alidas) para cada EDO abaixo a. dy dx + y = e3x b. x2y′ + xy = 1 c. (y + 4x2)dx + 2xdy = 0 d. xdy = (x sen(x) − y)dx e. cos(x) dy dx + y sen(x) = 1 f. x2y′ + x(x + 2)y = ex g. cos2(x) sen(x)dy + (y cos3(x) − 1)dx = 0 h. dy dx + y = 1−e−2x ex+e−x i. (1 + x)y′ − xy = x + x2 Respostas: a. y = 1 4e3x + ce−x, I = (−∞, +∞) b. y = 1 x ln x + c x, I = (0, +∞) c. y = − 4 5x2 + cx−1/2, I = (0, +∞) d. y = − cos(x) + sen(x) x + c x, I = (0, +∞) e. y = sen(x) + c cos(x), I = (−π/2, π/2) f. y = 1 2x2 ex + c x2 e−x, I = (0, +∞) g. y = sec (x) + c cossec(x), I = (0, π/2) h. y = e−x ln(ex + e−x) + ce−x, I = (−∞, +∞) i. y = − x2+3x+3 1+x + c ex 1+x, I = (−1, +∞) 3. Resolva cada PVI abaixo: a. x2 dy dx − 2xy = 3y4, y(1) = 1 2 b. y1/2y′ + y3/2 = 1, y(0) = 4 Respostas: a. y−3 = − 9 5x−1 + 49 5 x−6 b. y3/2 = 1 + 7e−3x/2 4. Seja P a quantidade de habitantes de uma comunidade no tempo t. Assuma que taxa de varia¸c˜ao da popula¸c˜ao satisfaz o modelo 1000 P dP dt = 100 − P. Se a popula¸c˜ao no instante t = 0 ´e 200, decida se as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras: a) A popula¸c˜ao da comunidade jamais excede de 200 individuos. b) A popula¸c˜ao nunca ´e menor que 50. 5. Encontre uma fam´ılia de solu¸c˜oes a um parˆametro para cada EDO abaixo (pode ser na forma impl´ıcita): a. y′ + xy = x3y3 b. 2xyy′ − y2 + x = 0 c. y′ + (2x − 1)y − xy2 = x − 1 d. y′ + y x + y2 x2 = 3 6. O princ´ıpio do empuxo de Arquimedes estabelece que um objeto submerso em um fluido ´e jogado `a tona por uma for¸ca igual ao peso do fluido deslocado. Uma caixa com volume de 0, 5 m3 com massa de 500 kg, ´e solta em um lago de ´aguas paradas e de 200 metros de profundidade. A caixa come¸ca a submergir e a for¸ca de atrito que a ´agua exerce sobre a caixa, no sentido contr´ario ao movimento desta, ´e igual a duas vezes a velocidade da caixa. a) Encontre a velocidade da caixa como fun¸c˜ao do tempo t decorrido depois da caixa ter sido solta no lago. b) Determine depois de quanto tempo a caixa atingir´a o fundo do lago (a solu¸c˜ao exige recurso computacional, use o Wolfram Alpha, por exemplo). Obs.: a densidade da ´agua ´e de aproximadamente 997 kg/m3; use g = 10 m/s2. Resposta: a) v(t) = 7, 5(1 − e−t/250); b) ≈ 2 minutos 7. Se um circuito el´etrico tiver uma resistˆencia R (ohms) e um capacitor de capacitˆancia C (farads) em s´erie, e uma f.e.m. E (volts), a carga q (coulombs) do capacitor ´e dada por Rdq dt + q C = E. Achar q sabendo que E(t) = E0 sen(ωt) volts e q(0) = q0. 8. Inicialmente, 50 gramas de sal s˜ao dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de ´agua. Uma solu¸c˜ao salina ´e bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solu¸c˜ao bem misturada ´e ent˜ao drenada na mesma taxa. Se a concentra¸c˜ao da solu¸c˜ao que entra ´e 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantos gramas de sal est˜ao presentes ap´os 50 minutos? E depois de um longo tempo (t → ∞)? Resposta: Q(t) = 600 − 550e−t/100; 600 g. 9. Um tanque tem formato cˆonico com raio igual a 8 metros, altura 20 metros e com o v´ertice para baixo. Inicialmente o tanque est´a cheio de um l´ıquido, mas o mesmo passa a vazar por um orif´ıcio localizado no v´ertice do tanque. A ´area do orif´ıcio ´e de 1/4 m2 e o coeficiente de atrito do l´ıquido com o orif´ıcio ´e 0, 1. Usando g = 9, 8 m/s2, estime em quanto tempo o tanque estar´a vazio. Resposta: t = 8 3,125√19,6205/2 segundos ≈ 17 minutos 10. Suponha que um estudante infectado com o v´ırus da gripe retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encontram 1000 estudantes. Presumindo que a taxa na qual o v´ırus se espalha ´e proporcional ao produto do n´umero de pessoas infectadas pelo n´umero de pessoas n˜ao infectadas, determine o n´umero de alunos infectados ap´os 6 dias, sabendo- se que depois de 4 dias h´a 50 alunos infectados. Suponha que ningu´em saia do campus enquanto durar a epidemia. Resposta: 276 estudantes 11. Um homem est´a em p´e na jun¸c˜ao de duas vias perpendiculares e seu c˜ao esta o vigiando em uma das vias, a uma distˆancia de A metros do homem. Em um dado instante o homem passa a caminhar com velocidade constante v ao longo da outra via, ao mesmo tempo que o c˜ao passa a correr na dire¸c˜ao de seu dono com velocidade 2v. Assuma que o c˜ao n˜ao precisa permanecer na via e que ele sempre se move de maniera a alcan¸car o seu dono, isto ´e, sempre na sua dire¸c˜ao. Determine qual ser´a a trajet´oria do c˜ao. Tamb´em determine se o c˜ao alcan¸c˜ar´a ou n˜ao seu dono. Resposta: y(x) = −A1/2(A − x)1/2 + 1 3A−1/2(A − x)3/2 + 2 3A, em que x denota a abscissa da trajet´oria. O c˜ao alcan¸ca seu dono. 12. Um tanque c´ubico com aresta 5 metros est´a inicialmente cheio de um l´ıquido. O l´ıquido passa ent˜ao a ser drenado por um orif´ıcio circular localizado no fundo do tanque. O raio do orif´ıcio ´e igual a 2 cm e sabe-se, experimentalmente, que o coeficiente de atrito do l´ıquido com o orif´ıcio ´e 0, 6. Usando g = 9, 8 m/s2, estime em quanto tempo o tanque estar´a vazio. Resposta: t = 125000 √ 10 0,6π√19,6 segundos ≈ 13h9min