Apostila Texto 1 Comprimento de Arco-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Cee SF Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas SO UFSC Departamento de Matematica MTMS3102 Calculo 2 Unidade 1 Texto 1 Comprimento de arco Assumimos que f é uma fungao diferencidvel em a b e que f seja continua em fa b Seja Co grafico da fungao f definida em a Considere uma divisao de ab em n subintervalos com extremos U1 2 Ln1 In be com comprimentos iguais dados por Az Se y fx entao P 2 y esté em C eo poligono com vértices Py P P 6 uma aproximacéo para C P P yy 5 P rt F 2 P iy INA 4 Pa i Pf 1 4 ht b F YY rk sy Lf EqTrREa C a 0 a x4 Hen x b x Podemos aproximar 0 comprimento de C pelo comprimento do poligono e a aproximagao fica melhor quando n aumenta Portanto definimos o comprimento L da curva C da forma n L lim 7 PP il O comprimento do segmento PP é L Pi1Pi i i1 Fa FtiaP Aplicando o teorema do valor médio 4 fungéo f no intervalo x12 conclufmos que existe x 1 24 tal que f xi fi fa a 1 Logo JPiaP ai 21 f2 ai 41 LFPP ei tea 1 FP Ace Assim ij Ip2 L jim ay fa Az Reconhecemos esse limite como a integral da fungao 1 fx em ab Portanto b L V1 f dx Exemplo Ache o comprimento do grafico da curva y x2 em 05 Resolugao Sabemos que y 3 2 assim 5 2 5 5 1 L 1 3 a yisotae5 4 9x dx 0 2 0 4 2 Jo 1 1 2 32 1 339 2449 4978 22 293 4 F927 57 l 5 Funcao comprimento de arco E titil termos uma fungao que mede o comprimento de arco de uma curva a partir de um ponto inicial particular até outro ponto qualquer na curva Entao se a curva suave C tem a equacao y fz a a b seja sx a distancia ao longo de C do ponto inicial Py a fa ao ponto Q a fx Entao s é uma funcao chamada funcao comprimento de arco e sx V1 fb dt Exemplo Determine a fungaéo comprimento de arco para a curva 1 2 7 yaolnz tomando Po 11 como o ponto inicial Resolugao 1 1 Sendo fx 2 3 Inz entao fx 2x Sr x Assim 1 1 1 1 r 1 97 14 47 P 20 For 3 Ga 1 1 1 477424 2r wot Ga 20 Logo a fungao comprimento de arco é dada por x x 1 sx Vit ft dt 2 x dt 1 1 1 1 P gint a gma 1 Por exemplo 0 comprimento de arco ao longo da curva de 11 a 3 f3 é 1 In3 s3 3 m31 8 8 1373 i P yxdinx 0 l x x