Apostila Texto 4 Limites-2022 1

cee Universidade Federal de Santa Catarina 32 Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas SO UFSC Departamento de Matematica MTMS3102 Calculo 2 Unidade 2 Texto 4 Limite e continuidade Um ponto varidvel x no eixo coordenado pode se aproximar de um ponto fixo 2 de dois modos a direita de xg ou a esquerda de x Um ponto varidvel 21 222 em R pode se aproximar de um ponto fixo x 78 2 por um nimero infinito de caminhos Diremos que 21 2n se aproxima de x9 72 se a distancia entre eles tende a zero inde pendentemente do percurso feito por 2122 2p onde a distancia entre 2122 2n e x9 x8 22 é dada por 0 0 Oyj 02 02 2 a1 Va Un 75 I 4 a1 wY2 ae v9 28 Para definir o limite de uma funcgao fx 22p de n varidveis reais quando 21 2n tende a um ponto fixo x9 72 nao é necessdrio que f21220n esteja definida em x9 78x Exigimos apenas que z22 seja um ponto de acumulacao do dominio D de f isto é que cada bola aberta de centro em x9 72 e raio r 0 denotada por Br9 x9 x contenha pelo menos um ponto de D distinto de x9 79 2 onde 0 0 0 n 0 0 0 BXq5L 212 wey In R 21 22 2n 27 5 2 rh Usamos a notacao lim f12n L 21 joey n 09002 para indicar que os valores de f 21 22n de aproximam do ntimero L quando o ponto 21 2p se aproxima do ponto 79 x9 2 ao longo de qualquer caminho contido no dominio da funcao f Em outras palavras podemos tomar os valores de f x1 2p tao préximos de L quanto o desejado escolhendo pontos 21 2 2p suficientemente préximos do ponto rf 72 mas nao iguais a x9 79 2 Definigao 1 Sejam w f21X22n uma fungao real de n varidveis definida em D C R e x r2 um ponto de acumulagao de D Dizemos que o limite de f x1 2 n quando x1 22n tende ax x92 0 ntimero L e escrevemos lim f 21 22 2n L quando 144 2n29 09 lim f 1 V2 L 0 w12 na9a9 9 0 3 2 Exemplo Prove que lim a 0 xy00 U Y Resolugao Dado 0 escolhemos 6 3 Assim 30y 3yy 3 3 Pay 36e qx Xx 5 ep apy aol para todo xy R tal que xy 6 Podemos mostrar através de argumentos semelhantes que todas as propriedades de limite de fungoes de uma varidvel se estendem as funcoes de varias varidveis Propriedades dos Limites Considerando fx 2Un 91 V2 n fungoes de n varidveis tais que lim f12nL e lim gX1 2Ln M 0 1na9 29 1n9 09 Entao se K é uma constante temse 1 lim KkK x41nx9 09 2 lim K fa 2Un K lim f12n KL x41nx9 09 15nr9 09 3 lim f 2122 Un gX1 2n LM 15nx9 09 nn L 4 lim f a1 2 ov 7 x41nx9 09 gX1 XQ 0 In M 5 lim V f122n VL x41nx9 09 As propriedades de subtracao e multiplicagaéo seguem das propriedades acima 2 3 3y Exemplo Seja fxy z 2ayz Calcule lim fxy 2 x y xyz 121 Resolugao Usando as propriedades de limite para funcoes de trés varidveis temos 3y 32 lim 20y2 912212 320 g xy2121 xv Yy l 2 Exemplo Seja f a funcao definida por fx y x2 y2 x2 y2 a Calcule o limite de fx y quando x y tende a 0 0 ao longo de cada um dos seguintes caminhos i eixo dos x ii eixo dos y iii da reta y x b Existe lim xy00 fx y Em caso afirmativo qual o seu valor Resolucao a i Sobre o eixo x y 0 e fx y fx 0 x2 0 x2 0 1 para x 0 Portanto lim x0 fx 0 1 ii Sobre o eixo y x 0 e fx y f0 y 0 y2 0 y2 1 para y 0 Portanto lim y0 f0 y 1 iii Sobre a reta y x fx y fx x x2 x2 x2 x2 0 para x 0 Portanto lim x0 fx x 0 b Visto que os limites i ii e iii nao coincidem lim xy00 fx y nao existe O exemplo anterior sugere que uma maneira eficiente de se mostrar que lim xyx0y0 fx y nao existe e mostrar que fx y tende a limites diferentes quando x y tende a x0 y0 por dois caminhos diferentes Exemplo Seja f a funcao definida por fx y x2y x4 y2 Existe lim xy00 fx y Resolucao Sobre a reta y mx fx y fx mx mx3 x4 m2x2 mx x2 m2 para x 0 Logo lim x0 fx mx lim x0 mx x2 m2 0 Sobre a parabola y x2 fx y fx x2 x4 x4 x4 1 2 para x 0 Logo lim x0 fx x2 1 2 Visto que os limites acima sao diferentes lim xy00 fx y nao existe Definicao 2 Uma funcao f D Rn R e dita limitada se existir um numero real M 0 tal que fx1 x2 xn M para todo x1 x2 xn D Proposicao 1 Se lim x1 xnx0 1 x0n fx1 x2 xn 0 e gx1 x2 xn M para todo x1 x2 xn V V uma vizinhanca de x0 1 x0 n entao lim x1 xnx0 1 x0n fx1 x2 xn gx1 x2 xn 0 Exemplo Calcule caso exista lim xy00 3x2y x2 y2 Resolucao Observe que 3x2y x2 y2 3y x2 x2 y2 Temos que 2 x lim 3y0 e I 1 ara todo a 00 ophtttyoy BY Prplshp xy 00 Assim pelo Teorema do Confronto 3x7 lim 0 ay00 x y Definicao 3 Sejam f uma fungao real de n varidveis e x 22 um ponto do dominio de f Dizemos que f é continua em x9 22 se lim 1102 n fad v Cor ne a8 f1 22 fxy Dizemos que f é continua em D se f é continua em todos os pontos de D Observacgao 1 Toda funcao racional é continua em seu dominio A soma diferenca produto e quociente de fungdes continuas de varias varidveis sao fungdes continuas desde que nado ocorra uma divisdo por zero 3a2y a se xy F 00 Exemplo Estude a continuidade da funcao fxy Y 0 se xy 00 Resolugao Nos pontos xy 4 00 podemos aplicar a propriedade relativa a quociente de fungoes continuas pois 377y e 27 y sao continuas e y nao se anula nestes pontos Para estudar a continuidade no ponto 00 usamos o exemplo anterior 3x7 lim 4 0 f00 ay00 x7 y Portanto f é continua em R Exemplo Seja f a funcgao definida por 212 212 uy se a ty 1 fxy 0 sea y 1 Mostre que a f écontfnua nos pontos 9 yo R tais que 22 y2 1 b f é descontfnua nos pontos 9 yo R tais que 23 yg 1 Resolucao a Considere um ponto x0 y0 tal que x2 0 y2 0 1 Se x2 0 y2 0 1 lim xyx0y0 fx y x2 0 y2 0 fx0 y0 Se x2 0 y2 0 1 lim xyx0y0 fx y 0 fx0 y0 Logo f e contınua nos pontos x0 y0 tais que x2 0 y2 0 1 b Considere agora um ponto x0 y0 tal que x2 0 y2 0 1 Entao se x2 y2 1 temos que lim xyx0y0 fx y lim xyx0y0x2 y2 x2 0 y2 0 1 1 e se x2 y2 1 temos que lim xyx0y0 fx y lim xyx0y0 0 0 2 Como os limites obtidos em 1 e 2 sao diferentes concluımos que lim xyx0y0 fx y nao existe e portanto f nao e contınua em x0 y0