Apostila Texto 3 Sistema de Coordenadas Tridimensionais-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica MTM3102 Calculo 2 Unidade 2 Texto 3 Sistema de Coordenadas Tridimensionais Para localizar um ponto no espaco necessitamos de trˆes numeros Representamos qualquer ponto no espaco pela tripla ordenada a b c de numeros reais Para representar pontos no espaco precisamos inicialmente fixar um ponto 0 origem e trˆes retas orientadas passando por 0 que sejam perpendiculares entre si que chamaremos eixos coordenados denotados por eixo x eixo y e eixo z Geralmente colocamos os eixos x e y como retas horizontais e a reta vertical como o eixo z e indicamos a orientacao dos eixos como mostrado na figura abaixo O sentido do eixo z e determinado pela regra da mao direita como ilustrado abaixo Se vocˆe arredondar os dedos de sua mao direita ao redor do eixo z de forma a rodar de 90 no sentido antihorario do eixo x para o eixo y o polegar apontara para o sentido positivo do eixo z Para localizar o ponto a b c comecamos da origem 0 e movemos a unidades ao longo do eixo x em seguida b unidades paralelamente ao eixo y e por fim c unidades paralelamente ao eixo z Como ilustracao numerica os pontos 4 3 5 e 3 2 6 estao indicados na Figura 6 Em geometria analıtica bidimensional o grafico de uma equacao envolvendo x e y e uma curva em R2 Em geometria analıtica tridimensional uma equacao envolvendo x y e z representa uma superfıcie em R3 Exemplo Qual superfıcie do R3 z 3 representa Resolucao A equacao z 3 representa o conjunto x y z z 3 que e o conjunto de todos os pontos de R3 com coordenada z igual a 3 Isso representa um plano horizontal paralelo ao plano xy e trˆes unidades acima dele Em R3 uma equacao da forma x2 y2 z2 r2 e uma equacao da esfera com centro na origem e raio r A equacao da esfera com centro no ponto a b c e raio r e x a2 y b2 z c2 r2 Uma outra superficie bastante usada é definida pela equacao z x y A seccdo transversal da superficie no plano z k paralelo ao plano zy é um circulo com seu centro no eixo z e raio Vk Com essa informacao podemos fazer um esboco dessa superficie ket MTom Pie C DD Re 3 CN 1 z27y fxy 2 y k Funcoes de Varias Variaveis Anteriormente foi estudado o calculo de funcdes de uma varidvel Vamos agora generalizar a nocao de funcao para funcoes de mais de uma varidvel independente Tais funcoes ocorrem frequentemente em situagoes praticas Por exemplo o custo de um certo produto pode depender do custo da maodeobra do preco dos materiais e de despesas gerais Definigao 1 Uma fungao real f den varidveis associa a cada nupla 11 2 n D C R um tinico numero real w fx n O subconjunto D de R chamado dominio da fungao f Podemos denotar a funcao f por fDcRR 1 5 Ln w fx Ln O conjunto Im f f1 ER x41 tn D é a imagem de f Por simplificagao deixaremos muitas vezes de especificar o dominio ficando implicito entao que se trata do maior subconjunto do R para o qual faz sentido a regra em questao 1 we pes Exemplo A funcgéo z fxy 6 uma fungao de duas varidveis cujo dominio séo todos os tY pontos xy R tais que x y isto é todos os pontos do plano xy que nao estao na reta x y Exemplo A fungao de duas varidveis x e y esta definida por fxy 25 2 y O dominio de f é 0 conjunto de todas as duplas ordenadas xy para as quais 25 x y 0 Este é 0 conjunto de todos os pontos no plano xy sobre o circulo x y 25 e no interior da regiao limitada pelo circulo A imagem é o conjunto z ERO0O2z25 De fato como 25 x y 25 sabemos que a imagem de f esté contida em 05 Além disso dado a 05 podemos encontrar xy Domf tal que 25 x y a por exemplo y0e x V25a Exemplo Represente graficamente o dominio da fungao f dada por fay VytV1y O dominio de f é o conjunto de todos os pares y com yx 0etl1y 0 DryeR yxe y 1 AA yf 7 E y ahaha x Se f DC R R 0 grafico de f denotado por G 6 0 subconjunto de R formado por todos os pares x fz onde x D No caso geral temos a seguinte definicao Definigao 2 Seja f D C R R uma fungcao de n varidveis Definimos o grafico de f denotado por G como o subconjunto de R formado por todos os pontos da forma 2X1 Un f 1 Un RR onde 1 tn D ou seja Gr x1 En f1 In R a1 2n Dt No caso n 2 0 grafico de f 6 uma superficie de R Quando n 3 nao é possivel visualizar 0 grafico da f visto que este 6 um subconjunto de R Zz Y Ss 6559 a Y 1 1 x o i x o Exemplo A temperatura em um ponto x y de uma placa de metal plana e Tx y 9x2 4y2 graus a Encontre a temperatura no ponto 1 2 b Encontre a equacao da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 36 graus c Esboce a curva do item b Resolucao a T1 2 9 16 25 graus b Tx y 36 isto e 9x2 4y2 36 ou x2 4 y2 9 1 c A curva de equacao x2 4 y2 9 1 e a elipse Uma funcao polinomial de duas variaveis x e y e uma funcao f tal que fx y e a soma de termos da forma c xnym onde c e um numero real e n e m sao inteiros nao negativos O grau da funcao polinomial e dado pelo maior valor obtido da soma dos expoentes de x e y Assim a funcao f definida por fx y 6x3y2 5xy3 7x2y 2x2 y e uma funcao polinomial de grau 5 Uma funcao racional de duas variaveis e uma funcao h tal que hx y fx ygx y onde f e g sao duas funcoes polinomiais Por exemplo a funcao h definida por hx y x2y2 x2 y2 e uma funcao racional Curvas de Nıvel O conjunto de nıvel de f com valor c R e definido por x Domf fx c Em particular Se n 2 o conjunto de nıvel C e dito curva de nıvel c de f Cc x y Domf fx y c Se n 3 o conjunto de nıvel S e dito superfıcie de nıvel c de f Sc x y z Domf fx y z c As curvas de nıvel sao obtidas pelas projecoes no plano xy das curvas obtidas pela intersecao do plano z c com a superfıcie Gf No caso n 3 Gf R4 portanto somente poderemos exibir esbocos de suas secoes Exemplo Encontre as curvas de nıvel e esboce o grafico da funcao z fx y 1 x2 y2 Resolucao A curva de nıvel k da funcao f e dada por 1 x2 y2 k Observe que se k 1 entao o conjunto dos pontos x y tal que 1 x2 y2 k e vazio Isso mostra que o grafico da funcao esta acima do plano z 1 Algumas curvas de nıvel Se k 1 entao C1 0 0 Se k 2 entao C2 x y R2 x2 y2 1 Se k 4 entao C4 x y R2 x2 y2 3 Usando as informacoes dadas pelas curvas de nıvel podemos esbocar o grafico da funcao f