Atividade em Classe - Geometria Analítica - 2023-2

Geometria Analítica Atividade em Classe - 11/12/2023 NOME:_________________________________________ RA:__________ 1. Considere a função f(x,y) = \frac{|x-2|}{\sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2}} definida para todo (x,y) \neq (2,-1). Resolva as seguintes questões: a) Desenhe os gráficos das curvas a_1(t) = (2+t, -1) e a_2(t) = (2+3t, -1 + 4t). b) Calcule os limites: \lim_{t\to0} a_1(t), \lim_{t\to0} a_2(t) e compare os resultados. c) Calcule os seguintes limites: \lim_{t\to0} f(a_1(t)), \lim_{t\to0} f(a_2(t)). e compare os resultados. d) Use o resultado do item (c) para inferir sobre o seguinte limite: \lim_{(x,y)\to(2,-1)} \frac{|x-2|}{\sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2}}. 2. Considere a função f(x,y) = \frac{4x^2y}{x^4 + y^2} definida para todo (x,y) \neq (0,0). a) Considere a família de curvas a(t) = (ct, dt), com c^2 + d^2 > 0. Escolha um par de pontos (c,d) e desenhe seu gráfico. b) Calcule o limite: \lim_{t\to0} a(t) c) Calcule o limite: \lim_{t\to0} f(a(t)) para cada par de pontos fixo (c,d). 1) Seja f(x,y) = \frac{|x-2|}{\sqrt{(x-2)^2+ (y+1)^2}} para (x,y) \neq (2,-1) a) a_1(t) = (2+t,-1) \begin{cases} x = 2+t \\ y = -1 \end{cases} a_2(t) = (2+3t, -1+4t) \begin{cases} x = 2+3t \\ y = -1 + 4t \end{cases} => x = (y+7)/3 b) \lim_{t\to0} a_1(t) = (\lim_{t\to0} 2+t, \lim_{t\to0} -1) = (2,-1) \lim_{t\to0} a_2(t) = (\lim_{t\to0} 2+3t, \lim_{t\to0} -1+4t) = (2,-1) logo, vemos que os limites são iguais c) f(a_1(t)) = \frac{1+t}{\sqrt{t^2}} = 1 \rightarrow \lim_{t\to0} f(a_1(t)) = \lim_{t\to0} 1 = 1 f(a_2(t)) = \frac{3t+1}{\sqrt{(3t)^2+(4t)^2}} = \frac{3t+1}{\sqrt{9t^2+16t^2}} = \frac{3t+1}{5t} \rightarrow \lim_{t\to0} \frac{3t+1}{5t} = \lim_{t\to0} \frac{3}{5} = \frac{3}{5} d) o \lim_{(x,y)\to(2,-1)} \frac{|x-2|}{\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}} não existe pois o limite para parametrizações diferentes da mesma função são diferentes. 2) Seja f(x,y) = \frac{4x^2y}{x^4+y^2} para (x,y) \neq (0,0) a) Seja a(t) = (ct, dt) \begin{cases} x = ct \\ y = dt \end{cases} \text{se c=d=1} Logo, x = y b) \lim_{t\to0} a(t) = (\lim_{t\to0} ct, \lim_{t\to0} dt) = (0,0) c) f(a(t)) = \frac{4t^2t}{t^4+t^2} = \frac{4t^3}{t^2(t^2+1)} = \frac{4t}{t^2+1} \rightarrow \lim_{t\to0} \frac{4t}{t^2+1} = 0 d) \beta(t) = (t,t^2)\rightarrow \begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases} \rightarrow x^2 = y \lim_{t\to0} \beta(t) = (\lim_{t\to0} t, \lim_{t\to0} t^2) = (0,0) e) f(\beta(t)) = \frac{4t^2t^2}{t^4+t^2} = \frac{4t^4}{t^2(1+t^2)} = 2 \rightarrow \lim_{t\to0} f(\beta(t)) = \lim_{t\to0} 2 = 2 f) \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4x^2y}{x^4+y^2} não existe, pois os limites para parametrizações diferentes da mesma função são diferentes. 3) f(x,y) = \frac{4x^2y}{x^4y^2} \frac{4x^2y}{x^4y^2} = C 1° ponto: verifico o búe existência de limites, a partir de análise de curvas da grual da função no "vanguardço" do limite escolhido. 4) f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^2 + (x-1)^2}{(x-1)^2 + y^2} & \text{se } (x,y) \neq (1,0) \\ A & \text{se } (x,y) = (1,0) \end{cases} * \lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{xy^2 + (x-1)^2}{(x-1)^2 + y^2} Sjó \sigma(t) = (T+1,T) f(\sigma(t)) = \frac{(t+1)^2 + t^2}{t^2 + t^2} = \frac{(T+1)^2 + 1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{(T+1)^2 + 1}{2} = 1 obs: como a função não continua onde os limites não pode proximização existe e é igual a 1. Logo, \lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{xy^2 + (x-1)^2}{(x-1)^2 + y^2} = A = 1 Logo, A = \Delta