Lista 10 - Cálculo 3 - 2023-1

Universidade Federal de Sao Carlos-Departamento de Matematica 89303-Calculo 3: Lista 10 Prof(a): Alessandra Verri Exercicio 1. Calcule a integral de superficie [ IoF -dS para o campo vetorial F e a superficie orientada S. Em outras palavras determine o fluxo de F através de S. Para superficies fechadas use a orientacao positiva (para fora). (a) F(x,y,z) = ryityzj +zxk, S éa parte do parabaloide z = 4 — x? — y? que esta acima do quadrado 0 <2 <1,0<y <1, com orientacao para cima. (b) F(z,y,z) = xze¥i — xze¥j + zk, S é a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante com orientacao para baixo. (c) F(z, y,z) = vityjt+zk, S éaesfera x2 + y? +22 =9. (d) F(x, y,z) =yj-z k, S éformada pelo paraboloide y = 22+22, 0 < y < 1e pelo circulo 22+2? <1, y=. (e) F(a, y,z) = vi+2yj +32 k, 8 60 cubo com vertices (+1,+1, +1). (f) F(z,y,z) =22i+y?j+27k, S &a fronteira do semi-cilindro sélido < z < V/1—7?,0< 2 <2. Exercicio 2. Um fluido tem densidade 870 kg\m?® e escoa com velocidade v(x, y,z) = zi+y?j +2? k, em que x, y e z sao medidos em metros e as componentes de v em metros por segundo. Encontre a vazao para fora do cilindro 2? + y? = 4,0<2z< 1. Exercicio 3. A temperatura em um ponto (x,y, z) em uma substancia com condutividade K = 6,5 é ula, y,z) = 2y? + 227. Determine a taxa de transmissao de calor nessa substancia para dentro da superficie cilindrica y? + 27 = 6,0 <a <4. Exercicio 4. Seja F(x, y,2) = («/|(x,y, 2)|9)¢+ (y/Il(@¥, DIP) 7+ (2/\(@y, 2)|P)k. Mostre que o fluxo de F' por uma esfera S com centro na origem nao depende do raio de S. Respostas: 1. (a) 713/180 (b) —1/6 (c) 1087 (d) 0 (e) 48 (f) 27 + 8/3 2. 0 3. 12487