Lista 3 - Cálculo 3 - 2023-1

Universidade Federal de Sao Carlos-Departamento de Matematica 89303-Calculo 3: Lista 3 Prof(a): Alessandra Verri Exercicio 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral (a) // (a? + yd A, em que R é a regiao limitada pelo cfrculo 2? + y? = 4 R x (b) // Pap: em que R é a regiao anular limitada por x7 + y2 =a? ea? +y?=0?,0<a<b R& y (c) // Vx? + y2dA, em que R é a regiao limitada pelo triangulo de vértices (0,0), (3,0) e (3,3) R a pvVa2—x2 (w24y2) 2 pax 1 2 pr/2y-y? 1 (d) / | e TY) dydax (e) / | ————— dydr (f) [ / ———— drdy _aJo 1 Jo v/a? + y? 0 J-/ay-y? fa? + y? 1/2 pr/1-y? 2 pve, (g) [ / rydady (h) [ | e *~ —¥ dydx 0 V/3y 0 JO Exercicio 2. Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sdélido Q. (a) Q: regiao interior & esfera x? + y? + z? = 25 e exterior ao cilindro x? + y? = 9 (b) Q: delimitado pelo cone z? = x? + y? eo cilindro 2? + y? =a (c) Q: maior regiao interior 4 esfera x? + y? + z? = 16 e ao cilindro x? + y? = 4y (d) Q: sob 0 paraboldide z = x? + y? e acima do disco x? + y? < 25 (e) Q: abaixo do plano 2x + y+ z=4 e acima do disco x? + y? < 1 (f£) Q: é delimitado por uma esfera de raio a (g) Q: acima do cone z = \/x2 + y? e abaixo da esfera x? + y? + 2? =1 (h) Q: interior tanto do cilindro x? + y? = 4 quanto do elipsdide 4x? + 4y? + 2? = 64 Exercicio 3. Esboce a regiado cuja area é dada pela integral 3/4 2 T 2sen 0 (a) | / rdrdé (b) / | rdrdé m/A 1 a/2J0 Exercicio 4. Calcule a Area da regiao D do plano xy definida por D = {(2,y) € R? : x2 + (y—2)? < dex? +y? > 4}. Respostas: 1. (a) 6471/5 (b) (7/2)(b? — a?) (c) (9/2)(V2 + In(V2 + 1)) (d) (7/2)(1 — ew) (e) In(/2 +1) (f) (g) 1/120 (h) (7/4)(1 — e~*) 2. (a) 2567/3 (b) 64/9 (c) (128/9)(3m — 4) (d) 625π/2 (e) 4π (f) 4πa3/3 (g) (π/3)(2 − √ 2) (h) (8π/3)(64 − 24 √ 3) 4. 4π/3 + 2 √ 3 2