Lista e Notas de Aula - Cálculo 3 2021-2

1° \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{n} \newline pelo Teorema de Green \newline \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{n} = \iint_D \left( \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial x} \right) dA = 0. \newline 2° \int_{\gamma_1} \newline \newline \text{Não podemos usar o Teorema de Green diretamente.} \newline \text{Então consideramos a curva } \gamma_4 \text{ que é um círculo} \newline \text{centrado em zero e raio } R \text{ tal que traço de } \gamma_3 \text{ está} \newline \text{contido no interior do traço de } \gamma_1. \newline \gamma_4(t) = (R \cos t, R \sen t), \ t \in [0, 2\pi], \text{ orientada no sentido} \newline \text{anti-horário.} \newline \text{Seja } \gamma_4 \text{ uma curva simples ligando } \gamma_3 \text{ e } \gamma_4. \newline \text{Considere } \eta = \gamma_1 + \gamma_4 - \gamma_3 - \gamma_4. Universidade Federal de S˜ao Carlos C3/CDI3 - Profs. Humberto, Luiz e Marcus 1a Lista de Exerc´ıcios 1) Usando o Teorema de Green, determine a ´area de um pent´agono com v´ertices (0, 0), (2, 1), (1, 3), (− 1 2, 5 2) e (−1, 1). 2) Utilize o Teorema de Green para encontrar ↵ γ −!F · −!n ds e ↵ γ −!F · −!T ds, onde o campo −!F ´e dado por −!F(x, y) = (x + 3y, 2x − y) e a curva ´e uma a elipse centrada na origem com v´ertices ( p 2, 0), (− p 2, 0), (0, 1) e (0, −1). 3) Suponha que uma func¸˜ao n˜ao negativa y = f(x) tenha uma derivada de ordem um cont´ınua em [a, b]. Seja γ a fronteira da regi˜ao do plano xy limitada abaixo pelo eixo x, acima pelo gr´afico de f e dos lados pelas retas x = a e x = b. Mostre que Z b a f(x) dx = − ↵ γ y dx. 4) Encontre o trabalho realizado por −!F para mover uma part´ıcula no sentido anti-hor´ario ao redor da curva dada uma ´unica vez. a) −!F(x, y) = (2xy3, 4x2y2) e a curva ´e a fronteira da regi˜ao triangular no primeiro quadrante delimitada superior- mente pelo eixo x, a reta x = 1 e a curva y = x3. b) −!F(x, y) = (4x − 2y, 2x − 4y) e a curva ´e a circunferˆencia com raio 2 centrada em (2, 2). 5) Calcule a integral Z γ F · dr. (a) F(x, y) = (x3y4, x4y3) e γ(t) = ( pt, 1 + t3), com t 2 [0, 1]. (b) F(x, y) = (e2y, 1 + 2xe2y) e γ(t) = (tet, 1 + t), com t 2 [0, 1]. 6) Mostre que rot−!F = 0 para qualquer campo vetorial da forma −!F(x, y, z) = ( f(x), g(y), h(z)), onde f, g, h s˜ao diferenci´aveis. 7*) Calcule ↵ γ − y x2 + y2 dx + x x2 + y2 dy onde γ ´e a curva ”oito” abaixo. 1 Cálculo 3 e CDI 3 \newline \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i,j} f(\bar{x}_i, \bar{y}_j) \Delta x_i \Delta y_j = \iint_B f(x,y) \ dx \ dy \newline \iint_B \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) dx dy = \oint_{\partial B} \vec{F} \cdot d\vec{r} \newline Professores: Humberto \newline Luiz \newline Marcus \newline \text{Encontro Síncrono} \newline 09/03/2022 Ex 7: \int_C \frac{-y^2}{x^2+y^2}dx + \frac{x^2}{x^2+y^2}dy, \newline \text{Temos} \newline F(x,y) = \left(\frac{-y^2}{x^2+y^2}, \frac{x^2}{x^2+y^2}\right) \newline Enc. Síncrono Passado \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}, \newline \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \backslash \{(0,0)\}, \newline \newline \gamma = \gamma_1 + \gamma_2 \ e \ entao \newline \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{n} = \int_{\gamma_1} \vec{F} \cdot d\vec{n} + \int_{\gamma_2} \vec{F} \cdot d\vec{n} Em η podemos usar o Teorema de Green. Logo ∮_η F⃗ ⋅dl = ∬_D_1 (∂L/∂y - ∂M/∂x) da = 0 ⇒ 0 = ∮ F⃗ ⋅dl = ∮ F⃗ ⋅dl + ∮ F⃗ ⋅dl + ∮ F⃗ ⋅dl _η1 _η4 _η3 + ∫ F⃗ ⋅dl ⇒ _η4^-1 0 = ∮ F⃗ ⋅dl + ∮ F⃗ ⋅dl ⇒ ∮ F⃗ dl = ∮ F⃗ dl ⇒ _η1 _η3 _η1 _η3 ∮_η F⃗ dl = ∮ F⃗ dl = ∮ F⃗ dl _η1 _η3 = ∫_0^2π ⟨ F⃗ ∘ γ̇_3(t), γ̈_3(t)⟩ dt = ∫_0^2π ⟨(-Rsen(t), Rcos(t)), (-Rsen(t), Rcos(t))⟩dt/R², R² _0^2π sen²t + cos²t dt = 2π. f(√(x²+y²)) = e^{x²+y²} G⃗ (x,y) = (xe^{x²+y²}, ye^{x²+y²}) Exemplo: Seja G⃗ (x,y) = f(||F⃗ ||)⋅F⃗ , onde f:ℝ → ℝ é a função f(x) = e^x² e o campo F⃗ (x,y) = (x,y). Considere γ_1 a curva abaixo : \[ y 1 _1/8 __1 x Determine a circulação de G⃗ ao longo de γ_1. Sol: ∫_γ G⃗ ⋅T dt = ∫_γ ⟨G⃗ ,γ̇⟩dt. \[ y 1 _1/8 __1 x γ_1 γ_2 ∫ G⃗ ⋅ T dt = ∬_D rot G⃗ ⋅ k da ⇒ ∫ G⃗ ⋅ T dt = ∬_D (not G⃗ ⋅ k) da ⇒ ∫_γ_1+γ_1_+γ_2 G⃗ ⋅ T dt = ∬_D rot G⃗ ⋅ k da ∫_γ G⃗ ⋅ T dt = -∫_γ_1 G⃗ ⋅ T dt - ∫_γ_2 G⃗ ⋅ T dt + ∬_D (not G⃗ ⋅ k) da ⟨ G(x,y) = f(||G||) ⋅ (t,0), (1,0)⟩ = f(||(1,0)||) ⋅ t/t⋅e^{t} (1) = -∫_γ_1 G⃗ ⋅ T ds - ∫_γ_2 G⃗ ⋅ T d = -∫_1/8^1 f(||(1,0)||) ⋅ t dt - ∫_0^1 f(||(1,t)||) ⋅ t dt = ∫_1/8^1 t ⋅ e^{t²} dt - ∫_0^1 t ⋅ e^{t²+1} dt = -1/2e^{t²} |_1/8 - 1/2 |_0 = -1/2 e + e^{1/4} - e^{1/2} + e/2 = 1/2 (e^{1/4} - e^{1/2}) (2) not G⃗ = |î ĵ k̂| |∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z\| ∂/∂x (f(||F⃗||) x ĵ) + ∂/∂x (f(||F⃗||) y k̂) - ∂/∂y (f(||F⃗||) x к) - ∂/∂z (f(||F⃗||) y) Note que, \partial_z (f(||\vec{r}||) x) = \partial_z (f(||\vec{r}||) y) = 0 \text{ pois não dependeem de z}. \partial_x (f(||\vec{r}||) y) = \partial_x \left( f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) y \right) \quad\quad\quad\quad\quad\quads = \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{2 x f(||\vec{r}||) }{\sqrt{x^2+y^2}} = 0 y \left( f(||\vec{r}||) x\right) \therefore \not \vec{G} = \vec{0}. Logo \int_γ \vec{G} \cdot \tau \; dt = \frac{1}{2} \left(e^{\overline{t}_a} - e^{t^2}\right).