Slide - Aplicação de Integrais Triplas - Cálculo 3 2022-2

Cálculo 3 Larissa Oliveira larissa.oliveira@ufscar.br *Texto, imagens e exemplos retirados de STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016, v. 2. Aplicações de Integrais Triplas Lembre-se de que, se f (x)  0, então a integral ׬𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 representa a área abaixo da curva y = f (x) de a até b, e se f (x, y)  0, então a integral dupla D f (x, y) dA representa o volume sob a superfície z = f (x, y) acima de D. A interpretação correspondente para a integral tripla E f (x, y, z) dV, onde f (x, y, z)  0, não é muito útil, porque seria um “hipervolume” de um objeto de quatro dimensões e, é claro, de muito difícil visualização. Apesar disso, a integral tripla E f (x, y, z) dV pode ser interpretada de forma diversa em diferentes situações físicas, dependendo das interpretações físicas de x, y, z e f (x, y, z). Vamos começar com o caso especial onde f (x, y, z) = 1 para todos os pontos em E. Nesse caso, a integral tripla representa o volume de E: Por exemplo, você pode ver isso no caso de uma região do tipo 1 colocando f (x, y, z) = 1 na Fórmula 6: sabemos que isso representa o volume que está entre as superfícies z = u1(x, y) e z = u2(x, y). Aplicações de Integrais Triplas Exemplo: Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro T limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Aplicações de Integrais Triplas Todas as aplicações de integrais duplas podem ser imediatamente estendidas para as integrais triplas. Por exemplo, se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a região E é  (x, y, z), em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer ponto (x, y, z), então sua massa é e seus momentos em relação aos três planos de coordenadas são Aplicações de Integrais Triplas O centro de massa está localizado no ponto ( ҧ𝑥, ത𝑦, ҧ𝑧), onde Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centroide de E. Os momentos de inércia em relação aos três eixos coordenados são Aplicações de Integrais Triplas Exemplo: Determine a massa de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico 𝑥 = 𝑦2 e pelos planos 𝑥 = 𝑧, 𝑧 = 0 e 𝑥 = 1. Aplicações de Integrais Triplas Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Existe uma fórmula de mudança de variáveis semelhante para as integrais triplas. Seja T a transformação que leva uma região S no espaço uvw para uma região R no espaço xyz por meio das equações x = g(u, v, w) y = h(u, v, w) z = k(u, v, w) O jacobiano de T é o seguinte determinante 3  3: Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Sob hipóteses semelhantes àquelas do Teorema 9, temos a seguinte fórmula para integrais triplas: Exemplo: Calcule o volume da região envolvida pelo elipsoide 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2+ 𝑧2 𝑐2 = 1. Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Exercício: Calcular a massa do sólido 𝑇 delimitado por 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa de P(𝑥, 𝑦, 𝑧) é proporcional à distância até o plano xy. Aplicações de Integrais Triplas